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Unvollkommenheit im Kern der Mathematik


Unsere Sprache ist unvollkommen, denn sie ist nicht frei von inneren Widersprüchen. Gemeint sind nicht sinnwidrige, aber eingebürgerte Wortbildungen oder inkonsequente Grammatikregeln, sondern Widersprüche des Denkens, die sich in der Sprache äußern.

Ist der selbstbezügliche Satz "Ich lüge" eine Lüge? Wenn ja, trifft die Behauptung des Sprechers zu – also lügt er nicht; wenn nein, sagt der Sprecher die Wahrheit, woraus nach dem Wortlaut des Satzes folgt, daß er doch lügt. Es ist darum unmöglich zu sagen, ob der Satz "Ich lüge" wahr oder falsch ist. Obwohl unsere Alltagssprache solche inneren Widersprüche zuläßt, können wir in ihr kommunizieren.

Unentscheidbare Behauptungen dieser Art (vergleiche "Mathematische Unterhaltungen", Spektrum der Wissenschaft, Februar 1994, Seite 14) haben ihre Wurzel in einem Problem grundsätzlicher Natur. Sie finden sich auch in der Mathematik, die entgegen den üblichen Vorstellungen durchaus nicht das Reich der absoluten Perfektion und Klarheit ist. Gleichwohl bleibt sie, wohlgemerkt, eines der wichtigsten Werkzeuge wissenschaftlicher Arbeit.

Die Mathematiker untersuchen im Lichte ihrer Theorien auch ihre eigenen Beweistechniken. Wenn Perfektion in ihrem Fach gleichbedeutend ist mit der Fähigkeit, die Richtigkeit oder Unrichtigkeit jeder mathematischen Aussage zu beweisen, dann haben sie seit 1931 die Gewißheit, daß sie nie perfekt sein werden: Die Arbeiten des österreichischen Mathematikers und Logikers Kurt Gödel (1906 bis 1978) haben jede Hoffnung darauf zunichte gemacht (vergleiche Spektrum der Wissenschaft, September 1988, Seite 62).

Die Mathematik ist nachweislich unvollkommen, unvollständig in dem Sinne, daß gewisse Probleme mit keiner gegenwärtig oder in der Zukunft verfügbaren Methode je gelöst werden können. Beispielsweise ist es unmöglich, anhand eines systematischen und festgelegten Verfahrens (eines Algorithmus) zu ermitteln, ob man mit einem gegebenen Satz von Vielecken die Ebene lückenlos und überlappungsfrei pflastern kann (Bild links).

Gödels berühmte Unvollständigkeitssätze besagen unwiderlegbar, daß ein formales Axiomensystem, mit dem sich alle wahren arithmetischen Aussagen beweisen lassen, zwangsläufig widersprüchlich – und somit in höchstem Maße unvollkommen – ist. (Für diese formale Betrachtungsweise gilt jede Zeichenkette als arithmetische Aussage, in der nur die logischen Symbole "und", "oder", "nicht", "daraus folgt", die Quantoren "für alle" und "es gibt", die Symbole "=", "+", "0", "1" sowie Bezeichner für Variable wie x, y und so weiter vorkommen dürfen. Ein Beweis einer arithmetischen Aussage besteht darin, sie durch erlaubte Umformungen auf Axiome oder bereits bewiesene Aussagen zurückzuführen. Die erlaubten Umformungen sind ihrerseits Formalisierungen von Gesetzen der Arithmetik wie etwa des Kommutativgesetzes.)

Entweder akzeptieren also die Mathematiker, daß sie nicht alles beweisen können, oder sie haben hinzunehmen, daß ihre Aussagen widersprüchlich sind. Selbstverständlich wählen sie immer die erste Möglichkeit, was bedeutet, daß sie wohl oder übel mit der Unvollkommenheit leben müssen.


Es gibt keine alles beweisende Maschine

Wenn Perfektion für die Mathematiker gleichbedeutend ist mit einer so kristallenen Klarheit der Gedanken, daß ein Computer sie nachvollziehen kann, dann wissen sie spätestens seit den Arbeiten des Amerikaners Alonzo Church von 1936, daß sie unvollkommen sind. Das von ihm bewiesene Theorem besagt nämlich zweifelsfrei, daß es kein Computerprogramm geben kann, das alles, was sich beweisen läßt (im Rahmen der üblichen Mengenlehre oder einer anderen formalisierten Theorie), in endlicher Zeit beweist. Es kann noch nicht einmal ein Programm geben, das für jede denkbare Formel angibt, ob sie im formalen System der Mengenlehre beweisbar ist oder nicht (wobei die Existenz unbeweisbarer Behauptungen ja bereits durch den Gödelschen Satz bewiesen ist).

Die Mathematiker müssen also erstens wohl oder übel die Unvollkommenheit ihrer formalen Beweissysteme akzeptieren – nicht jede Aussage ist beweisbar oder widerlegbar –, denn nur über die Formalisierung läßt sich mit hinreichender Klarheit definieren, was ein Beweis überhaupt ist. Zweitens aber müssen sie sich damit abfinden, daß sie – oder ein Computerprogramm – auch die Menge der überhaupt einem Beweis zugänglichen Aussagen nie werden ausschöpfen können.


Der induktive Schluß

Jeder Naturwissenschaftler ist bestrebt, aus einer Sammlung vorliegender Daten eine allgemeingültige Gesetzmäßigkeit abzuleiten. So wird er beispielsweise aus den ersten Gliedern der Zahlenfolge 1, 4, 9, 16,... schließen, das n-te Element der Folge sei die Zahl n2. Die Möglichkeiten dieses induktiven Schließens sind jedoch beeinträchtigt, wenn man auf allzugroßer Perfektion besteht.

Wer beispielsweise nur solche Regeln in Erwägung zieht, die den beobachteten Fakten in keinem einzigen Falle widersprechen, wird häufig daran gehindert sein, ein an sich richtiges Gesetz auszusprechen. Zuweilen muß man also zumindest vorübergehend eine gewisse Unvollkommenheit akzeptieren. Ein Physiker, der bei einem Experiment die Zahlenfolge 1, 4, 9, 15, 25 beobachtet, wird trotz der 15 auf das Bildungsgesetz n2 schließen – schließlich weiß er, wie unvollkommen seine Beobachtungen sind.

Nach der Theorie des österreichischen Philosophen und Soziologen Karl Popper gehört Falsifizierbarkeit zu den Qualitätsmerkmalen einer guten Theorie. Da eine Regel um so größere Angriffsmöglichkeiten bietet, je allgemeiner sie ist, müßte man sich darauf beschränken, nur die jeweils allgemeinsten unter allen denkbaren Regeln zur Diskussion zu stellen. Aber auch dieses Vorgehen erweist sich als unvorteilhaft, denn es schränkt die Möglichkeiten einer induktiven Beweisführung deutlich ein.


Spieltheorie

In vielen Situationen kann sich das Streben nach Perfektion gar als schädlich erweisen. Die Spieltheorie hat ergeben, daß die bestmögliche Strategie häufig darin besteht, den Zufall zum Zuge kommen zu lassen. Wenn man Perfektion dadurch zu erreichen sucht, daß man im voraus für jede Situation genau weiß, was man tun will, macht man sich zugleich berechenbar für den Gegner und damit angreifbar. Die mathematische Lösung dieses Dilemmas ist die sogenannte gemischte Strategie, die auf den ungarisch-amerikanischen Mathematiker John von Neumann (1903 bis 1957) zurückgeht. Hier bestimmt der Zufall mit über den jeweils nächsten Spielzug.

Das vieldiskutierte iterierte Gefangenendilemma ist paradigmatisch für eine Situation, in der perfektes Spiel im Prinzip nicht möglich ist: Zwei Gegner müssen immer wieder unabhängig voneinander entscheiden, ob sie zusammenarbeiten oder einander betrügen wollen. Entschließen sich beide Spieler zur Kooperation, erhalten sie je drei Punkte. Wenn jeder den anderen zu betrügen versucht, erhalten sie je einen Punkt. Wenn jedoch nur einer der Spieler kooperiert, gewinnt der Betrüger fünf Punkte, während der Betrogene leer ausgeht. Welches ist nun die beste Strategie?

Wie sich zeigt, zahlt sich prinzipielle Ehrlichkeit ebensowenig aus wie prinzipielles Betrügen. Am erfolgreichsten sind die Strategien, bei denen der eigene Zug von den vorangegangenen Entscheidungen des Gegners abhängig gemacht wird (so etwa "Tit-for-Tat", das einfache Nachmachen des vorangegangenen Zuges). Ist die Kommunikation unter den Spielern gestört, erweist sich selbst Tit-for-Tat wegen seiner Starrheit als nicht optimal. Vielmehr ist es am besten, wenn man seinem Gegner gelegentlich – zufallsbestimmt – einen Fehltritt verzeiht (Spektrum der Wissenschaft, Mai 1992, Seite 30).


Aus: Spektrum der Wissenschaft 7 / 1994, Seite 97
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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