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Zahlentheorie: Vom Rubik-Würfel zu hyperelliptischen Kurven

Der indischstämmige Mathematiker Manjul Bhargava erhielt die Fields-Medaille 2014 für seine bahnbrechenden Resultate in der Zahlentheorie und der Theorie der elliptischen Kurven.
Manjul Bhargava

Kurz vorm Schlafengehen fällt der Blick des Studenten auf einen der vielen Rubik-Würfel, mit denen er zu spielen pflegt. Man kann sich das populäre Spielzeug entstanden denken, indem man einen großen Würfel mit sechs Schnitten zersägt, davon je zwei parallel zu einem der drei Paare Seitenflächen und auf einem Drittel der Kantenlänge, so dass der Würfel am Ende in 27 kleine Würfelchen zerfällt. Was wäre, wenn man nur jeweils einen Schnitt durch die drei Mittelebenen führen würde? Dann ergeben sich nur acht Würfelchen, und jedes hat einen Anteil an einer Ecke des großen Würfels. Schreibt man an jede der acht Ecken eine Zahl, dann liefern die drei Sägeschnitte drei verschiedene Möglichkeiten, diese acht Zahlen in zwei Teilmengen zu je vier Zahlen zu zerlegen.

Das ist alles nicht wirklich tiefsinnig – aber wenn der Student, der sich diese Gedanken macht, Manjul Bhargava heißt, kann selbst ein trivialer Anlass die genialsten Ideen auslösen. Gerade erst hat sich Bhargava erfolgreich durch die "Disquisitiones arithmeticae" gekämpft, jenes Werk, mit dem Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) die Zahlentheorie auf eine neue Basis stellte und zugleich den Grundstein zu seinem Weltruhm legte. Deswegen kommt der Student mitten in der Nacht auf die Idee, die vier Zahlen jeder Würfelhälfte in eine Matrix zu schreiben und mit diesen Matrizen verschiedene Rechenoperationen auszuführen. Und siehe da: Der Zusammenhang, der sich unter diesen Matrizen auftut, ist genau derselbe, den Gauß in den "Disquisitiones" unter dem Namen "Komposition quadratischer Formen" beschreibt. ...

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