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Unendlichkeiten: Wie viele reelle Zahlen gibt es?

Seit mehr als 50 Jahren gehen Mathematikerinnen und Mathematiker davon aus, dass die Anzahl der Punkte auf dem Zahlenstrahl unbestimmbar ist. Doch ein neuer Beweis bringt die Fachwelt dazu, ihre Auffassung zu überdenken.
Unendlichkeit

Während eines Urlaubs im Oktober 2018 blickte David Asperó gedankenversunken aus dem Autofenster auf die italienische Landschaft, als ihm plötzlich die zündende Idee zu dem fehlenden Puzzleteil eines Rätsels kam, das ihn schon lange beschäftigte: Er hatte gerade den letzten Schritt eines bahnbrechenden neuen Beweises gefunden, der Aufschluss über die Größen von Unendlichkeiten gibt.

Der Mathematiker an der University of East Anglia in Großbritannien kontaktierte daraufhin sofort seinen Kollegen Ralf Schindler von der Universität Münster, mit dem er das Thema seit einigen Jahren verfolgte, und beschrieb seine Erkenntnis. »Für mich klang alles völlig unverständlich«, erinnert sich Schindler. Aber schließlich gelang es beiden Forschern, Asperós Gedanken zu entwirren und in nachvollziehbare logische Schlüsse zu verwandeln.

Ihr Beweis, den sie im Mai 2021 im renommierten Fachjournal »Annals of Mathematics« veröffentlichten, vereint zwei rivalisierende Grundaussagen, so genannte Axiome, die jeweils das Fundament der Mathematik erweitern sollten. Bisher hatten Fachleute angenommen, man müsse sich zwischen beiden Annahmen entscheiden, weil sie sich gegenseitig ausschließen würden. Doch wie Asperó und Schindler zeigen konnten, folgt aus einer der Aussagen die andere. Das deutet darauf hin, dass beide wahr sind – und damit auch alles, was sie für die Welt der Unendlichkeiten besagen.

Das Ergebnis schlägt hohe Wellen, denn es verstärkt die Argumente gegen die berühmte Kontinuumshypothese …

Von »Spektrum der Wissenschaft« übersetzte und bearbeitete Fassung des Artikels »How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer« aus »Quanta Magazine«, einem inhaltlich unabhängigen Magazin der Simons Foundation, die sich die Verbreitung von Forschungsergebnissen aus Mathematik und den Naturwissenschaften zum Ziel gesetzt hat.

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  • Quellen

Asperó, D., Schindler, R.: Martin's Maximum++ implies Woodin's axiom (*). Annals of Mathematics 193, 2021

Foreman, M. D. et al.: Martin's Maximum, saturated ideals, and nonregular ultrafilters. Part I. Annals of Mathematics 127, 1988

Woodin, H.: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. Walter de Gruyter, 2010