Kommen die natürlichen Zahlen in der Natur vor? Offensichtlich nicht. Noch nie ist jemandem die Sieben leibhaftig über den Weg gelaufen, gar nicht zu reden davon, dass man die Drei mit der Fünf – oder gar mit sich selbst – beim Multiplizieren beobachtet hätte. Gleichwohl tragen die natürlichen Zahlen ihren Namen irgendwie zu Recht. Man findet nicht die Sieben in der Natur, aber sehr häufig sieben Dinge. Es gibt viele Vorgänge in der realen Welt, die durch eine Addition oder Multiplikation natürlicher Zahlen zu beschreiben sind. Streng genommen sind natürliche Zahlen nur Abstraktionen; aber sie sind so nützliche und universelle Hilfsmittel zum Verständnis der realen Welt, dass man geneigt ist, ihnen selbst eine Realität zuzugestehen – nicht in der beobachtbaren Welt, sondern in der Welt der Ideen, die der antike Philosoph Platon für realer erklärte als die handgreifliche Realität.

Das bedeutet insbesondere, dass die natürlichen Zahlen nicht nur im Kopf irgendwelcher Menschen existieren, sondern außerhalb von ihnen: nicht persönliches Hirngespinst, nicht bloße soziale Konvention, sondern Objekte eigenen Rechts. Gleiches gilt für die reellen und sogar die komplexen Zahlen; auch sie haben ihre Unentbehrlichkeit für die Beschreibung der Natur über jeden Zweifel erhaben unter Beweis gestellt. Das passt zu der alltäglichen Erfahrung der Mathematiker: Sie erleben ihre Funktionen, Operatoren und natürlich auch die natürlichen Zahlen als Gegenstände, die nicht der Willkür des Betrachters, sondern – häufig zu dessen Unmut – ihren eigenen Gesetzen folgen.

Es passt allerdings nicht zur offiziellen Lehrbuchweisheit. Angesichts der Frage »Was genau sind denn nun die natürlichen Zahlen?« greifen die Mathematiker ausdrücklich nicht auf irgendwelche Beobachtungen in der Realwelt zurück oder nehmen einen besonderen Zugang zur platonischen Ideenwelt für sich in Anspruch. Vielmehr berufen sie sich auf Axiome. Das sind möglichst einfach gehaltene Aussagen, die ohne Beweis zu glauben einem nicht sonderlich schwerfallen sollte. Aus ihnen leiten die Mathematiker durch logische Schlussfolgerungen die ganze reichhaltige Vielfalt an Sätzen her, die – in diesem Fall – die Arithmetik und die Zahlentheorie ausmachen.

Das Problem ist nur: Ein Axiomensystem ist ohne Zweifel eine soziale Konvention. Für die natürlichen Zahlen wurden verschiedene Systeme diskutiert ...