99-jährige Mathematikerin löst jahrhundertealtes Rätsel

Mathematik: 99-jährige Mathematikerin löst jahrzehntealtes Rätsel

Seit den 1930er-Jahren suchten Mathematikerinnen und Mathematiker weltweit nach einem Gegenbeispiel. Jetzt hat ein Team um die 99-jährige Joan Birman ein wichtiges Kapitel der Zopf- und Knotentheorie abgeschlossen.

von Lyndie Chiou

Bunte Faserstruktur — © PamelaJoeMcFarlane / Getty Images / iStock (Ausschnitt)
Joan Birman hat ein wichtiges Rätsel rund um das Verflechten von Strängen gelöst.

In den 1930er-Jahren stellte der deutsche Mathematiker Werner Burau ein verworrenes geometrisches Rätsel vor, das fast 100 Jahre lang ungelöst blieb. Zuvor hatten Fachleute gezeigt, dass sich mathematische Knoten in eine einfachere Form übertragen lassen, nämlich in Zöpfe. Diese bestehen aus einer Sammlung von Strängen, die senkrecht herabhängen und miteinander verwebt werden. Jede Art von Knoten – egal wie kompliziert – lässt sich als Zopf darstellen.

Im Rahmen seiner Untersuchungen konnte Burau die Zopfstrukturen in algebraische Objekte übersetzen, die einfacher zu handhaben sind. Diese Objekte, sogenannte Matrizen, sind Tabellen aus Zahlen. Doch Fachleute jener Zeit befürchteten, dass bei dieser eleganten Übersetzung Informationen verloren gehen: Entsprechen die Matrizen manchmal mehr als einem Zopf? Falls ja, bezeichnet man sie als »nichttreu«. Die Frage lautete also, welche Zopfdarstellungen – wenn überhaupt – nichttreu sind.

Schon lange war bekannt, dass Matrizen, die einem Zopf mit ein, zwei oder drei Strängen entsprechen, immer treu sind. Das heißt: Zwischen ihrem Zopfmuster und den Matrizen gibt es eine Eins-zu-eins-Beziehung. Seit den 1990er-Jahren war ebenfalls bekannt, dass bei fünf oder mehr Strängen alle Matrizen nichttreu sind. Doch der Fall mit vier Strängen war offen.

Bereits in den 1960er-Jahren trug die Mathematikerin Joan Birman von der Columbia University dazu bei, das Treue-Problem von Zöpfen bekannt zu machen. Und nun hat die mittlerweile 99-Jährige mithilfe zweier Kolleginnen, Tara Brendle von der University of Glasgow und Vasudha Bharathram von der Princeton University, eine Lösung erarbeitet. Die drei Mathematikerinnen konnten in einer noch nicht begutachteten Veröffentlichung beweisen, dass Zöpfe mit vier Strängen stets treue Matrizen aufweisen.

»Das ist ziemlich verrückt«, sagt der Mathematiker Yang-Hui He vom London Institute for Mathematical Sciences, der ebenfalls an dem Problem gearbeitet hat. »Es ist eine der interessantesten Geschichten der letzten Jahre – nicht nur, weil es diesen Beweis gibt, sondern auch, weil sich in den letzten 70 Jahren so viele Menschen damit beschäftigt haben. Es ist einer der größten Fortschritte auf dem Gebiet der Gruppen- und Knotentheorie.«

Ein ungeahntes mathematisches Hobby

Als junges Mädchen teilte Birman ein Interesse mit ihrer Großmutter: das Stricken. Erst als sie ihr Mathematikstudium begann, entdeckte sie die mathematischen Aspekte ihres Hobbys. Auch wenn ihre Forschungsarbeit kaum praktische Anwendungen auf das Stricken hat, wurde das Thema zu Birmans lebenslanger Leidenschaft.

In den 1970er-Jahren verfasste die Mathematikerin das Buch »Braids, Links, and Mapping Class Groups«. Darin zeigte sie, dass sich die Frage um die Treue der Burau-Matrizen für Zöpfe aus vier Strängen in eine Suche nach Beziehungen zwischen speziellen 3×3-Matrizen umwandeln lässt. Diese Entdeckung lenkte die Aufmerksamkeit der Fachwelt wieder auf Buraus ungelöstes Problem. »Zöpfe waren damals ein Randgebiet der Topologie«, sagt Birman. »Plötzlich wurden sie sehr populär.«

Ein Zopf aus einem einzigen Strang ist trivialerweise treu. Ebenso zeigte sich schnell, dass dies auch für zwei Stränge gilt, die ein sich wiederholendes Muster aus einzelnen Kreuzungen darstellen. Etwa zur gleichen Zeit, als Birmans Buch erschien, konnten zwei Mathematiker nachweisen, dass auch die Matrizen von dreisträngigen Zöpfen treu sind. Zwei Jahrzehnte später kam die Überraschung: Laut mehreren Arbeiten, die auf einem geometrischen Ansatz des Mathematikers John Moody fußen, sind alle Darstellungen von Zöpfen mit fünf oder mehr Strängen nichttreu.

Damit blieb nur noch der Fall von Zöpfen mit vier Strängen offen. Einige Forschende waren überzeugt, dass auch diese Gruppe nichttreu sei, und suchten nach einem ähnlichen Beweis wie für die anderen Fälle. Manche Fachleute wollten hingegen mit Birmans Ansatz der 3×3-Matrizen die Treue beweisen. Das Wettrennen begann.

KI scheitert an einem Beweis

»Ich wurde von Emmanuel Breuillard und Sasha Kosyak an das Problem herangeführt«, sagt He – zwei bekannte Mathematiker, die sich seit mehr als 20 Jahren mit diesem Rätsel beschäftigen. Die Forschenden verbrachten sechs Monate damit, verschiedene KI-Modelle mit Birmans Ansatz zu betrauen, um eine Lösung zu finden. »Dann, zack, an einem Mittwochmorgen, verkündeten Joan Birman und ihre zwei Kolleginnen, dass sie das Problem gelöst hatten«, erzählt er.

Letztendlich hatte sich der Ansatz mit den 3×3-Matrizen als Sackgasse erwiesen – ebenso wie Moodys Methode. Die Mathematikerin Bharathram vermutete, dass viersträngige Zöpfe treu sind, und wollte daher eine neue Methode für den Beweis entwickeln.

Um die Idee hinter der neuen Arbeit nachzuvollziehen, kann man sich Folgendes vorstellen: Man zeichne auf ein Blatt Papier mehrere Punkte und umkreise einige davon mit Schleifen. Die Punkte entsprechen den Strängen, während die Schleifen alle möglichen Wechselwirkungen dieser Stränge erfassen. Die Innenbereiche der Schleifen geben dabei an, wie man die Burau-Matrizen berechnet. »Je mehr Punkte, desto mehr verschiedene Schleifen kann man zeichnen«, sagt Brendle. »Man kann sich fragen, welche verschiedenen Arten von Innenbereichen man erhalten kann.« Wie die drei Mathematikerinnen dabei feststellten, nimmt die Wahrscheinlichkeit für eine eindeutige Matrix mit zunehmender Vielfalt der Innenbereiche ab. »Das bedeutet, dass bei der Übersetzung von Zöpfen in Matrizen Informationen verloren gehen«, sagt Bharathram.

Mit dieser Methode konnten die Mathematikerinnen die Treue aller möglichen Zöpfe prüfen. Bei dreisträngigen Zöpfen sind die Möglichkeiten so begrenzt, dass den Matrizen nichts anderes übrig bleibt, als treu zu sein. Die viersträngigen Zöpfe werfen einige knifflige Szenarien auf, doch das Trio konnte diese bewältigen und zeigen, dass die Matrizen treu bleiben. Wenn die Zöpfe jedoch fünf oder mehr Stränge haben, vervielfachen sich die Möglichkeiten der Innenbereiche: Daher sind die zugehörigen Matrizen nicht treu. Genauso wie Wasser beim Gefrieren einen Phasenübergang durchläuft, so Brendle, stellt der Fall mit vier Strängen einen wichtigen Wendepunkt für Zöpfe dar.

»Es gab viele Leute, die versucht haben, dies zu beweisen. Es hat einfach nicht funktioniert, weil sie nach einem Gegenbeispiel zur Treue gesucht haben«, sagt Birrman. Die drei Mathematikerinnen haben den Abschluss ihres Beweises nicht gefeiert. Sie sind über verschiedene Kontinente in der Welt verstreut und sehen es als Belohnung genug an, dieses jahrzehntealte Problem gelöst zu haben.