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Lernen: Abstrakt lernt sich's besser

Äpfel und Birnen soll man nicht vergleichen, aber man kann anschaulich mit ihnen rechnen. Besser womöglich, als mit reinen Symbolen wie Kreisen oder Quadraten. Doch wirken sie offenbar reichlich kontraproduktiv, wenn es um die Struktur hinter den Dingen geht.
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Schwaben kennen das Problem: Ihre Zeitangaben versteht kaum jemand – es sei denn, es handelt sich ebenfalls um Schwaben, Franken oder sonst Eingeweihte. "Dreiviertel sieben" ist nicht viertel nach sieben und auch nicht viertel nach sechs, sondern einfach viertel vor sieben. Gern wird zur Erklärung ein Kuchen oder ein Wasserglas herangezogen, das ja drei Viertel voll sein kann. Dasselbe gilt im süddeutschen Dialekt für die Stunde: Drei Viertel der 60 Minuten von sechs bis sieben haben sich schon angesammelt, also ist es 6.45 Uhr. Klingt doch eigentlich ganz logisch.

Dass diese Regel trotzdem regelmäßig Rätselraten hervorruft, mag vielleicht an der zu anschaulichen Erklärungstaktik liegen. Dieser Schluss zumindest liegt nahe nach den Erkenntnissen von Jennifer Kaminski von der Ohio State University und ihren Kollegen. Den Forschern ging es dabei zwar nicht um missverständliche Uhrenbetrachtungen, sondern um grundlegenden Mathematikunterricht, aber dabei vor allem um den Transfer von Gelerntem. Und da liegen schwäbische Zeitangaben vielleicht gar nicht so fern.

Die Wissenschaftler erklären, dass Menschen anhand von Symbolen zu Grunde liegende Regeln leichter erfassen und auf andere Aufgaben übertragen können, als wenn sie die Strukturen aus Aufgaben herausfiltern sollen, die sie mit Alltäglichem konfrontieren. Das erscheint zunächst einmal gegen jede Intuition – gerade der Schritt ins Abstrakte fällt vielen Kindern in der Schule schwer, und auch Erwachsene neigen dazu, anderen komplexe Fragestellungen mit vereinfachenden Beispielen oder "Milchmädchenrechnungen" zu verdeutlichen.

Anschaulich ist gut, ...

Doch der Vorteil gegenständlicher Umschreibungen ist so eindeutig nicht. Schließlich wäre es möglich, dass die flankierende, anschaulich formulierte Aufgabe den Blick auf die dahinter stehende Regel verschleiert. Wenn es dann auch im Folgenden gelingt, diese eine Lösung zu finden, müsste das noch lange nicht für eine andere Fragestellung gelten, die auf demselben Prinzip beruht, aber anders formuliert wurde. Hier erst zeigt sich, ob nicht nur ein Einzelfall, sondern das Konzept an sich verstanden wurde.

Und genau an diesem Punkt setzten Kaminski und ihre Kollegen an. Sie entwickelten Umschreibungen für eine Gruppe von drei Elementen, die in verschiedener Weise kombiniert zu einem vorhersagbaren Ergebnis führten. In einem Fall beließen es die Forscher bei Symbolen: Ein so genanntes neutrales Element war in Form einer Welle dargestellt, die beiden anderen, zueinander inversen Charaktere als Kreis und Raute. Invers bedeutet: Kombiniert man Raute und Kreis, ergibt sich das neutrale Element "Welle". Im anderen Fall verdeutlichten die Forscher die drei Elemente durch Wasserkaraffen, die zu einem Drittel, zu zwei Dritteln oder – wieder als neutrales Element – ganz gefüllt waren. Als weiteres gegenständliches Anschauungsmaterial verwendeten sie Pizzastücke und Tennisbälle.

Daraus generierte Aufgaben setzten sie nun 80 Studenten vor, die sich entweder nur mit der abstrakten oder der anschaulichen Variante auseinander setzten mussten, wobei ihnen hier ein, zwei oder alle drei Beispiele vorgelegt wurden. So sollten sie die Regeln erkennen und anwenden lernen. Nach der Übungsphase erhielten dann alle Freiwilligen ein und dieselbe Aufgabe gestellt: Sie beobachteten in einem Video Kinder, die nacheinander auf verschiedene Objekte zeigten, bis ein letztes das Ergebnis der Abfolge präsentierte. Das Spiel folgte dabei denselben Kombinationsvorschriften wie zuvor geübt, und genau das sollten die Prüflinge erkennen und schließlich erfolgreich als Vorhersage anwenden können.

... abstrakt aber besser

Doch in diesem Abschlusstest schnitten jene Studenten deutlich besser ab, die zuvor nur mit Symbolen hantiert hatten. Den Gruppen mit anschaulichen Umschreibungen half es sogar nicht einmal, wenn sie an mehreren Varianten üben konnten – ihre Trefferquote überstieg kaum den Zufall. Auch als sie zuvor ausdrücklich die verschiedenen gegenständlichen Darstellungen und ihre Rolle vergleichen sollten, um so den Transfereffekt zu fördern, blieben sie schwach, nur einzelne profitierten davon. Lernziel also ganz klar verfehlt.

Die Forscher starteten einen zweiten Versuch: Während eine Gruppe nur die abstrakten Aufgaben bekam, erhielt die andere darauf folgend auch noch eine konkrete Fragestellung – nach der allgemeinen Einführung also sozusagen ein anschauliches Anwendungsbeispiel. Doch wieder übertrumpften die rein Symbolgeprägten ihre Lerngenossen deutlich.

"Unseren Ergebnissen zufolge mag es nicht der effizienteste Weg sein, Schülern und Studenten Transferdenken mittels vieler konkreter Aufgaben beizubringen", erklären Kaminski und Co daraufhin. Und diese Erkenntnis gelte sicher nicht nur für den verwendeten Aufgabentyp, sondern weite Bereiche der Mathematik. Das Umschreiben eines abstrakten Konzeptes mit anschaulichen Beispielen scheine es zu behindern, dieselbe Struktur woanders wiederzuerkennen und blockiere damit, das erworbene Wissen zu übertragen. Im Vergleich dazu sei die abstrakte Anweisung frei von belanglosen und eventuell ablenkenden Informationen und präsentiere so das Wesentliche deutlich klarer – wie man sieht, mit Erfolg.

Dies gelte insbesondere auch für Schüler, die noch größere Schwierigkeiten haben, sich in einer Menge von Informationen auf Einzelnes zu konzentrieren. "Wenn es das Ziel des Mathematikunterrichts ist, Schüler mit Kenntnissen auszustatten, die sie in einer Vielzahl von Situationen anwenden können, dann könnte die Vermittlung auf Basis abstrakter Konzepte sinnvoller sein als eine Fülle 'guter Beispiele'", folgern die Forscher. Man wolle entsprechende anschauliche Aufgaben damit keineswegs abschaffen, sondern nur darauf verweisen, dass tief in konkreten Zusammenhängen verankerter Mathematik-Unterricht seine Anwendbarkeit schmälert.

Mit welchem abstrakten Konzept Schwaben nun aber ihre Zeitangaben besser vermitteln könnten, wird damit auch klar: Sie sollten statt mit Kuchen oder Wassergläsern mit Rauten und Kreisen argumentieren. Auf den Erfolg darf man gespannt sein.
25.04.2008

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 25.04.2008

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  • Quellen
Kaminski, J. A. et al.: The Advantage of Abstract Examples in Learning Math. In: Science 320(5875), S. 454–455, 2008.

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