Im August 2025 erschien eine Arbeit, die ein wichtiges Problem der algebraischen Geometrie mit völlig neuen Methoden zu lösen verspricht. Das hat in der Fachwelt für Aufsehen gesorgt. Doch während einige Forschende darin die Zukunft ihres Fachgebiets sehen, zeigen sich andere skeptisch, ob die Veröffentlichung wirklich das halten kann, was sie in Aussicht stellt.

Die Arbeit dreht sich um sogenannte Polynomgleichungen, die zu den einfachsten und verbreitetsten Gleichungen der Mathematik gehören. Obwohl es unendlich viele Varianten davon gibt, lassen sich alle in eine von zwei Kategorien einordnen: Polynomgleichungen, die sich durch eine simple Rechenvorschrift lösen lassen, und solche, deren Lösungen eine deutlich kompliziertere Struktur besitzen. Letztere machen den Kern der Algebra aus. Auf sie richten Fachleute ihre Aufmerksamkeit, um bedeutende Fortschritte zu erzielen.

Schon vor etlichen Jahrzehnten begannen Mathematikerinnen und Mathematiker mit der Einteilung von Polynomen in die Kategorien »einfach« und »kompliziert«. Doch schnell steckten sie fest; ihre Forschung kam zum Stillstand. Denn selbst einfach erscheinende Polynome widersetzten sich einer Klassifizierung.

Doch die im Sommer 2025 erschienene Arbeit lässt auf einen Ausweg hoffen. Sie stellt eine neue Methode vor, um selbst jene Polynome zu klassifizieren, die völlig unerreichbar schienen. Das Problem: Kaum jemand versteht die neue Publikation. Zumindest noch nicht. Denn der Beweis stützt sich auf Ideen, die aus der Stringtheorie stammen und denen, die ihre Karriere der Klassifizierung von Polynomen gewidmet haben, völlig fremd sind.

Einige Fachleute vertrauen auf den Ruf eines der Autoren, des renommierten Mathematikers Maxim Kontsevich, der 1998 mit der Fields-Medaille ausgezeichnet wurde – einem der wichtigsten Preise des Fachs. Aber anders als viele seiner Kollegen hat Kontsevich eine Vorliebe für gewagte Behauptungen, weshalb sich einige Fachleute vor voreiligem Jubel hüten.

Auf der ganzen Welt tun sich nun Fachleute zusammen, um das neue Ergebnis in die Sprache der algebraischen Geometrie zu übersetzen – und zu überprüfen. Es kann jedoch mehrere Jahre dauern, bis Klarheit herrscht.

»Die allgemeine Wahrnehmung ist, dass wir mit dem neuen Beweis ein Stück Mathematik der Zukunft vor uns haben könnten«Paolo Stellari, Mathematiker

So oder so weckt die Arbeit neue Hoffnung für ein Forschungsgebiet, das vor Jahrzehnten ins Stocken geriet. Und sie markiert einen wichtigen Schritt für ein breiter angelegtes Forschungsprogramm, für das sich Kontsevich seit Jahrzehnten einsetzt: ein Vorhaben, das Brücken zwischen Algebra, Geometrie und Physik schlagen soll. »Die allgemeine Wahrnehmung ist, dass wir mit dem neuen Beweis ein Stück Mathematik der Zukunft vor uns haben könnten«, sagt der Mathematiker Paolo Stellari von der Universität Mailand, der nicht an der Arbeit beteiligt war.

Einfach oder kompliziert?

Der Versuch, Polynome zu klassifizieren, entspringt den ältesten mathematischen Bemühungen der Menschheit: dem Lösen von Gleichungen. Um zum Beispiel y = 2x zu lösen, muss man alle Werte von x und y bestimmen, die diese Formel erfüllen. Davon gibt es unendlich viele, etwa x = 1 und y = 2. Wenn man alle solche Lösungen in einem Koordinatensystem einzeichnet, erhält man eine Gerade.

Andere Polynomgleichungen sind deutlich schwieriger zu lösen, und sie beschreiben kompliziertere, höherdimensionale geometrische Formen. Für einige dieser Gleichungen gibt es jedoch eine einfache Methode, um sie zu lösen. Anstatt verschiedene Zahlen in jede Variable einzusetzen, kann man alle Lösungen auf einen Schlag erhalten, wenn man die Variablen durch eine neue Variable t ausdrückt.

Das lässt sich an der Kreisgleichung x² + y² = 1 veranschaulichen, die einen Kreis von Radius 1 mit Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems beschreibt. Wenn man x gleich 2t/(1 + t²) und y gleich (1 − t²)/(1 + t²) in die Gleichung einsetzt, erhält man 1 = 1, eine wahre Aussage, die unabhängig vom Wert von t zutrifft. Das heißt: Egal, welchen Wert man für t einsetzt, man bekommt dadurch eine Lösung der Kreisgleichung. Für t = 1 ergeben sich zum Beispiel x = 2/(1 + 1) = 1 und y = 0; und tatsächlich erfüllen diese beiden Werte die ursprüngliche Gleichung: 1² + 0² = 1.

Diese einfache Art, Lösungen auszudrücken, wird als »rationale Parametrisierung« bezeichnet und lässt sich auch geometrisch interpretieren. Wenn eine Gleichung parametrisierbar ist, dann kann man jeden Punkt auf dem zugehörigen Graphen (zum Beispiel einem Kreis) eindeutig einem Punkt einer einfachen Struktur zuordnen, etwa einer Geraden.

Jede Polynomgleichung vom Grad 1 – also jedes Polynom, dessen Terme höchstens eine Potenz von eins haben – lässt sich parametrisieren. Dabei spielt es keine Rolle, wie viele Variablen die Gleichung hat. Falls sie mehr als zwei Variablen hat, bilden die Lösungen zwar komplizierte höherdimensionale Formen; trotzdem kann man jeden Punkt auf einen besonders einfachen Raum mit der gleichen Anzahl von Dimensionen (etwa eine Gerade) abbilden. Damit sind die Lösungen ziemlich leicht zu berechnen.

In ähnlicher Weise hat auch jedes Polynom vom Grad zwei (dessen Terme höchstens eine Potenz von zwei besitzen) eine rationale Parametrisierung. Wenn eine Gleichung jedoch einen Grad von drei oder mehr hat, wird es komplizierter. Diese Gleichungen lassen sich nicht immer parametrisieren. Es hängt dann davon ab, wie viele Variablen sie haben.

Ein prominentes Beispiel für Polynome dritten Grades sind elliptische Kurven wie y² = x³ + 1, die nur zwei Variablen besitzen. »Elliptische Kurven sind wunderbar, aber man kann sie unmöglich parametrisieren«, bilanziert Brendan Hassett von der Brown University. Es gibt keine einfache Formel für x und y, die alle Lösungen einer elliptischen Kurve liefert; also gibt es auch keine Möglichkeit, die Kurve auf eine Gerade abzubilden. »Wenn man das könnte, würden sie nicht so viel Spaß machen«, sagt Hassett. Die Lösungen einer elliptischen Gleichung haben eine viel reichhaltigere Struktur, die in der Zahlentheorie seit Jahrhunderten eine wichtige Rolle spielt und die Kryptografen nutzen, um Nachrichten zu verschlüsseln.

Aber wie steht es um Gleichungen dritten Grades mit mehr als zwei Variablen? Sind sie parametrisierbar?

1866 bewies der Mathematiker Alfred Clebsch, dass Gleichungen dritten Grades mit drei Variablen – deren Lösungen zweidimensionale Flächen bilden – in der Regel parametrisierbar sind. Mehr als 100 Jahre später veröffentlichten Herbert Clemens und Phillip Griffiths einen monumentalen Beweis, der belegt, dass sich die meisten Gleichungen dritten Grades mit vier Variablen nicht parametrisieren lassen. Diese Gleichungen beschreiben das dreidimensionale Analogon einer Fläche, eine dreidimensionale »Mannigfaltigkeit«, die sich nicht auf einen einfachen 3D-Raum abbilden lässt.

Infolgedessen gingen viele Fachleute davon aus, dass Polynomgleichungen dritten Grades mit fünf Variablen, die vierdimensionale Mannigfaltigkeiten beschreiben, auch nicht parametrisierbar sind. Die Beweismethode von Clemens und Griffiths lässt sich allerdings nicht auf den vierdimensionalen Fall übertragen. Und so kamen die Klassifizierungsbemühungen zum Erliegen.

Das Programm eines Propheten

Maxim Kontsevich sorgte 2019 auf einer Konferenz in Moskau für eine Überraschung, als er einen Vortrag über die Klassifizierung von vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten hielt. Der Mathematiker ist eigentlich dafür bekannt, Fragestellungen auf höchstem Niveau anzugehen. Er zieht es vor, ehrgeizige Vermutungen aufzustellen und umfassende Forschungsprogramme zu skizzieren, während er die subtileren Details eines konkreten Problems anderen überlässt. Er hat sich in der Vergangenheit als Mischung aus Prophet und Tagträumer beschrieben.

Seit rund 30 Jahren arbeitet Kontsevich unermüdlich an der Entwicklung einer Theorie, die er als homologische Spiegelsymmetrie bezeichnet und die ihre Wurzeln in der Stringtheorie hat.

In den 1980er-Jahren untersuchten Stringtheoretiker, wie sich winzige Fäden, die Grundbausteine ihrer Theorie, durch die Raumzeit bewegen. Aus mathematischer Sicht mussten sie dafür Kurven auf hochdimensionalen Mannigfaltigkeiten zählen – eine extrem komplexe Aufgabe. Die Forschenden betrachteten dafür eine Art geometrisches »Spiegelbild«: eine andere Mannigfaltigkeit, die sich zwar stark von der ursprünglichen unterscheidet, aber dennoch ähnliche Eigenschaften besitzt. Dabei fanden sie heraus, dass sich die Anzahl der Kurven durch ein mit dem Spiegelbild verbundenes algebraisches Objekt namens »Hodge-Struktur« bestimmen lässt. Und umgekehrt: Zählt man die Kurven auf dem Spiegelbild, erhält man Informationen über die Hodge-Struktur der ursprünglichen Mannigfaltigkeit. Das war eine Sensation, denn Mathematikerinnen und Mathematiker hatten nichts von einer solchen Verbindung geahnt.

Die Stringtheorie hatte diese Beziehung zwar aufgedeckt, konnte sie jedoch nicht erklären. Deshalb entwarf Kontsevich 1994 ein Forschungsprogramm, das sie ergründen sollte. Und er vermutete, dass sich die Verbindung über alle Mannigfaltigkeiten erstreckt – auch auf jene, die für die Stringtheorie nicht relevant sind.

Gemeinsam mit anderen Fachleuten hat Kontsevich in den vergangenen Jahren stetig Fortschritte gemacht und untersucht, welche Folgen eine solche Verbindung mit sich bringen würde. Aber bis jetzt weiß niemand, wie sich Kontsevichs ehrgeiziges Vorhaben umsetzen lässt. »Das wird die Mathematik des nächsten Jahrhunderts sein«, sagt er.

Spiegelsymmetrie für Polynome

2002 stellte Ludmil Katzarkov von der University of Miami eine gewagte Vermutung über eine Konsequenz der Spiegelsymmetrie auf: Sie könnte dabei helfen, Polynomgleichungen zu klassifizieren.

Katzarkov kannte den Beweis von Clemens und Griffiths aus dem Jahr 1972, in dem sie gezeigt hatten, dass dreidimensionale Mannigfaltigkeiten nicht parametrisierbar sind. Dafür hatten die beiden Forscher die Hodge-Struktur einer gegebenen Mannigfaltigkeit untersucht und damit bewiesen, dass sich die 3D-Mannigfaltigkeit nicht auf einen einfachen dreidimensionalen Raum abbilden lässt. Dieser Ansatz ließ sich aber nicht verallgemeinern, weil die Hodge-Strukturen von 4D-Mannigfaltigkeiten zu kompliziert sind.

Daher schlug Katzarkov vor, die Hodge-Struktur der 4D-Mannigfaltigkeiten indirekt mithilfe der Spiegelsymmetrie zu untersuchen. Und zwar indem man zählt, wie viele Kurven eines bestimmten Typs auf dem Spiegelbild der Mannigfaltigkeit leben. Das war ein völlig neuer Ansatz, denn das Zählen von Kurven spielt in diesem Bereich der Mathematik eigentlich keine Rolle. Doch wenn das von Kontsevich angestoßene Programm erfolgreich wäre, dann sollte die Anzahl der Kurven auf dem Spiegelbild gewisse Merkmale der Hodge-Struktur der 4D-Mannigfaltigkeit beleuchten.

»Ich hatte nicht die technischen Möglichkeiten, um das zu beweisen«Ludmil Katzarkov, Mathematiker

Die Idee von Katzarkov bestand darin, die Kurven des Spiegelbilds in Teilstücke zu zerlegen und dann mit der Spiegelsymmetrie zu beweisen, dass sich auch die Hodge-Struktur der Mannigfaltigkeit zerteilen lässt. Anstatt mit der furchtbar komplizierten Hodge-Struktur als Ganzem zu arbeiten, könnte man ihre Bruchstücke nutzen, um zu zeigen, dass die 4D-Mannigfaltigkeiten nicht parametrisierbar sind. Dafür müsste er bloß demonstrieren, dass sich eines der Teile nicht auf einen einfachen vierdimensionalen Raum abbilden lässt.

Dieses Vorhaben setzte allerdings voraus, dass Kontsevichs Spiegelsymmetrieprogramm für vierdimensionale Mannigfaltigkeiten gilt. »Ich hatte aber nicht die technischen Möglichkeiten, um das zu beweisen«, sagt Katzarkov. Er kannte jedoch jemanden, der diese Fähigkeit besitzen könnte: Kontsevich. Aber dieser war nicht an diesem Problem interessiert.

Ein Missverständnis

Jahrelang versuchte Katzarkov, seinen Kollegen davon zu überzeugen, die Spiegelsymmetrie auf die Klassifizierung von Polynomen anzuwenden – vergeblich. Kontsevich wollte sich auf das gesamte Programm konzentrieren und nicht nur auf ein spezielles Teilproblem.

Das änderte sich im Jahr 2018, als die beiden zusammen mit Tony Pantev von der University of Pennsylvania an einem anderen Thema arbeiteten, bei dem es auch um die Zerlegung von Hodge-Strukturen und Kurvenzahlen ging. Im Anschluss daran ging Katzarkov mit seinen Kollegen erneut seine Idee durch, das Forschungsprogramm zur Polynomklassifizierung zu nutzen.

Dieses Mal war Kontsevich angefixt. Er erkannte sofort eine Möglichkeit, die Katzarkov lange gesucht, aber nie gefunden hatte: Man könnte sich von der Spiegelsymmetrie inspirieren lassen, ohne sich tatsächlich auf sie verlassen zu müssen. »Das war ein spektakulärer Moment«, erinnert sich Katzarkov.

Laut Kontsevich sollten sich die Kurven der 4D-Mannigfaltigkeit – und nicht die des Spiegelbilds – nutzen lassen, um die Hodge-Struktur aufzubrechen. Sie mussten nur herausfinden, wie sie die Mannigfaltigkeit und ihr Spiegelbild in Beziehung zueinander setzen mussten, um die benötigten Teile zu erhalten. Dann wäre es möglich, sich auf jedes einzelne Bruchstück der Hodge-Struktur (ein »Atom«, wie sie es bezeichnen) separat zu konzentrieren.

Diesen Plan stellte Kontsevich auf der 2019 stattfindenden Konferenz in Moskau vor. Für das Publikum hörte es sich so an, als stünde der Beweis kurz bevor. Denn Mathematiker sind in der Regel eher konservativ: Erst wenn sie sich absolut sicher sind, stellen sie neue Ideen vor. Doch Kontsevich war schon immer anders. »Er geht sehr offen mit seinen Ideen um und denkt sehr vorausschauend«, sagt Daniel Pomerleano von der University of Massachusetts.

Zu dieser Zeit gab es aber noch einen wichtigen Punkt, von dem Kontsevich keine Ahnung hatte, wie er ihn angehen sollte. Er brauchte eine Formel, die beschreibt, wie sich jedes Atom verändert, wenn man die 4D-Mannigfaltigkeit auf neue Räume überträgt. Nur mit einer solchen Formel ließe sich beweisen, dass man ein Atom nicht auf einen einfachen 4D-Raum übertragen kann – und die zugehörige 4D-Mannigfaltigkeit daher nicht parametrisierbar ist. »Während des Vortrags hatten die Zuschauer jedoch irgendwie den Eindruck, dass Kontsevich das Problem gelöst hat«, sagte Pomerleano. Die Fachwelt erwartete einen baldigen Beweis.

Zweifel an den Versprechungen

Als dieser nicht kam, begannen einige daran zu zweifeln, ob Kontsevich wirklich eine Lösung hatte. In der Zwischenzeit stieß Tony Yue Yu, damals am Centre national de la recherche scientifique in Frankreich, zum Team des Mathematikers. Sein frischer Blick und seine akribische Art der Beweisführung erwiesen sich laut Kontsevich als entscheidend für das Projekt.

Während der Coronapandemie besuchte Yu seinen Kollegen im nahe gelegenen französischen Institut. Er und Kontsevich genossen die Ruhe und verbrachten viele Stunden in leeren Hörsälen mit vielen großen Tafeln. Dabei tauschten sie sich regelmäßig mit Katzarkov und Tony Pantev über Videocalls aus. Und so konnten sie den ersten Teil ihres Beweises beenden. Die Forscher fanden heraus, wie sich die Kurvenzahl auf einer 4D-Mannigfaltigkeit nutzen lässt, um die zugehörige Hodge-Struktur in Atome zu zerlegen. Ihnen fehlte aber noch die entscheidende Formel, die beschreibt, wie sich die Atome umwandeln.

Damit steht nun fest: 4D-Mannigfaltigkeiten sind nicht parametrisierbar

Ohne dass es das Team um Kontsevich wusste, hatte sich ein anderer Mathematiker, Hiroshi Iritani von der Universität Kyoto, unabhängig davon mit dem Problem beschäftigt. Dieser hatte zuvor dem Vortrag von Kontsevich in Moskau begeistert gelauscht. »Ich wusste es nicht, aber er begann auch daran zu arbeiten«, erzählt Kontsevich. Mit Erfolg: Im Juli 2023 bewies Iritani, wie sich die Atome verändern, wenn man die 4D-Mannigfaltigkeiten auf neue Räume abbildet.

Die Arbeit lieferte allerdings nicht alle Informationen, die Kontsevich und seine Kollegen brauchten. Doch die Mathematiker konnten in den nächsten zwei Jahren Iritanis Methoden erweitern und so schließlich beweisen, dass jede 4D-Mannigfaltigkeit mindestens ein Atom enthält, das sich nicht auf einen einfachen vierdimensionalen Raum abbilden lässt. Damit steht nun fest: 4D-Mannigfaltigkeiten sind nicht parametrisierbar.

Endlich ein Fortschritt!

Das im Sommer 2025 veröffentlichte Ergebnis löste Begeisterung aus. Es war seit Jahrzehnten der größte Fortschritt im Bereich der Polynomklassifizierung. Zudem zeigt die Arbeit einen neuen Weg auf, um Polynome weit über 4D-Mannigfaltigkeiten hinaus zu klassifizieren.

Aber nicht alle Fachleute sind davon überzeugt. Seit Kontsevichs Vortrag in Moskau sind sechs Jahre vergangen. Hat er mit seiner Arbeit sein Versprechen jetzt endlich eingelöst, oder gibt es noch Details zu klären? Das können die Expertinnen und Experten des Gebiets nicht beurteilen. »Plötzlich kommen sie mit diesem völlig neuen Ansatz und verwenden Werkzeuge, von denen man bisher glaubte, dass sie nichts mit diesem Thema zu tun haben«, sagt Shaoyun Bai vom Massachusetts Institute of Technology. »Die Leute, die das Problem kennen, verstehen die Methode nicht.«

Bai ist einer von mehreren Fachleuten, die jetzt versuchen, die Verständnislücken zu schließen. Er hat ein Seminar für interessierte Studierende, wissenschaftliche Mitarbeiter und Professoren mitorganisiert, in dem die Teilnehmenden jede Woche einen Aspekt des Beweises auseinandernehmen und vorstellen. Aber selbst nach elf dieser 90-minütigen Sitzungen kann die Gruppe noch immer nicht die wichtigsten Details der Arbeit nachvollziehen. »Das Paper enthält brillante, originelle Ideen«, so Bai. »Es braucht viel Zeit, diese zu verinnerlichen.«

»Es wird Widerstand geben, aber ich bin mir sicher, dass die Arbeit richtig ist«Ludmil Katzarkov, Mathematiker

Ähnliche Gruppen haben sich unter anderem in Paris, Peking und Südkorea zusammengefunden. »Überall auf der Welt beschäftigen sich Menschen mit derselben Arbeit«, sagt Stellari. »Das ist etwas Besonderes.« Brendan Hassett vergleicht die Situation mit Grigori Perelmans Beweis der Poincaré-Vermutung im Jahr 2003, als ebenfalls völlig neue Techniken zum Einsatz kamen. Erst nachdem andere Fachleute Perelmans Beweis mit bekannten Methoden reproduziert hatten, wurde er von der Fachwelt akzeptiert. »Es wird Widerstand geben«, sagt Katzarkov, »doch ich bin mir sicher, dass die Arbeit richtig ist.«

Er und Kontsevich sehen in ihrem Ergebnis einen großen Gewinn für das Spiegelsymmetrieprogramm: Zwar sind sie einem Beweis nicht näher gekommen, aber das Resultat erhärtet die Annahme, dass sie etwas Großem auf der Spur sind. »Ich bin sehr alt und sehr müde«, sagt Katzarkov. »Aber ich möchte diese Theorie weiterentwickeln, solange ich noch lebe.«