Eine neue Geometrie: Die Mathematik, über die niemand sprechen will
Im Norden von Kyoto steht ein grau-rotes, vierstöckiges Gebäude, das von Kirschbäumen gesäumt ist. Es hebt sich kaum von der modernen Architektur der anderen Universitätsgebäude ab. Doch darin passiert etwas Besonderes: Hier am RIMS (Research Institute for Mathematical Sciences) arbeiten zwei Mathematiker isoliert an einer Theorie, über die kaum jemand sprechen möchte. Ein Großteil der Fachwelt ignoriert ihre Beiträge, und sie werden immer wieder harsch kritisiert.
Der Grund: 2012 behauptete der in Kyoto ansässige Mathematiker Shinichi Mochizuki, mithilfe seiner eigens entwickelten Theorie ein wichtiges Problem der Zahlentheorie gelöst zu haben, die sogenannte abc‑Vermutung. Aus ihr würden zahlreiche bedeutende Aussagen über ganze Zahlen folgen. Aber zwei renommierte deutsche Mathematiker, Peter Scholze von der Universität Bonn und Jakob Stix von der Goethe-Universität Frankfurt, glaubten, eine Ungereimtheit in Mochizukis Arbeiten gefunden zu haben. Eine, die nicht nur den vermeintlichen Beweis der abc-Vermutung zunichtemacht, sondern auch die gesamte Theorie von Mochizuki, die interuniverselle Teichmüller-Theorie (kurz: IUT), ins Wanken bringt.
Es folgte ein heftiger Schlagabtausch, aus dem Scholze und Stix als vermeintliche Gewinner hervorgingen – zumindest ist ein Großteil der Fachwelt der Meinung, die abc-Vermutung sei noch immer offen und die IUT fehlerhaft. Auch die Presse hat die Debatte befeuert. Inzwischen will sich kaum ein Experte noch dazu äußern. Die beiden Hauptprotagonisten, Mochizuki und Stix, lehnen es kategorisch ab, mit Journalisten zu sprechen. »Man kann sich glücklich schätzen, wenn man überhaupt eine Absage erhält«, sagt ein Pressesprecher der Universität Kyoto, »oft antwortet Mochizuki nicht einmal auf Anfragen.«
Das Forschungsgebäude hebt sich kaum von den anderen auf dem Campus der Universität in Kyoto ab.
Die Situation scheint festgefahren, die Mathewelt gespalten. Doch nicht alle wollen sich mit dieser Situation zufriedengeben. Zu ihnen gehört der französische Mathematiker Benjamin Collas, der seit 2019 an der Universität Kyoto arbeitet. Er sieht viele Konzepte der IUT als hilfreich an – ist aber ebenso bestrebt, sich mit einem breiteren Kollegenkreis über Ansätze abseits der strittigen IUT auszutauschen. Denn das übergeordnete Forschungsgebiet mit dem Ziel, eine – allgemein akzeptierte – neue Form der Geometrie zu schaffen, könnte von einer großflächigen Zusammenarbeit profitieren.
Deshalb organisiert Collas ein internationales Forschungsjahr, das in den Jahren 2027 und 2028 Fachleute aus aller Welt zusammenbringen soll, um ihnen Gelegenheit zu bieten, sich auszutauschen. »Ziel ist es, ein Umfeld zu schaffen, in dem neue Kooperationen entstehen können«, sagt Collas.
Aber das wird nicht einfach. »Die aktuelle Situation hat nicht nur eine fachliche, sondern auch eine soziale Komponente.« Und genau das mache den Diskurs so schwer. Sowohl mit der Presse und der Öffentlichkeit als auch unter den Forschenden selbst. Dabei fußt die »neue Geometrie« auf einer Idee, die schon seit langer Zeit tief in der Mathematik verankert ist
Wie vereint man das Diskrete und das Kontinuierliche?
Außerhalb der heiligen Hallen des RIMS-Gebäudes, in dem Journalisten nur ungern gesehen sind, sitzt Collas in einem gemütlichen Sessel im Besucherzimmer der Universität. Die Wände sind mit Bücherregalen und Kunstwerken verziert. Während er mit ruhiger Stimme über die Besonderheiten seines Forschungsbereichs spricht, läuft im Hintergrund klassische Musik.
Das Gebiet habe einen zutiefst philosophischen Kern: »Es betrifft die Versöhnung zweier gegensätzlicher Prinzipien: des Diskreten und des Kontinuierlichen«, erklärt Collas.
Seit Jahrtausenden beschäftigen sich Gelehrte mit dem Kontinuum, das unter anderem die Geometrie prägt, wo Kurven und Oberflächen glatt und flexibel erscheinen. Aber auch das diskrete Reich der Zahlen birgt viele Geheimnisse, die Menschen bis heute faszinieren.
Beide bringen Vor- und Nachteile mit sich. Die große Flexibilität der Geometrie hat es Fachleuten ermöglicht, viele verschiedene Methoden zu entwickeln: Formen können kontinuierlich verformt, auseinandergeschnitten, wieder zusammengeklebt oder punktuell durch etwas Einfacheres ersetzt werden. »Aber diese Fülle an Möglichkeiten kann manchmal auch ein Hindernis sein«, erklärt Collas. »Sie überwältigt einen geradezu, und man wünscht sich ein wenig mehr Strenge, wie man sie in der Zahlentheorie findet.« Dort ist nichts davon möglich – zwischen den Werten 2 und 3 gibt es beispielsweise nichts –, weshalb selbst die grundlegendsten Fragen zu Primzahlen nach Jahrhunderten noch immer unbeantwortet bleiben.
Eine Verbindung zwischen den so grundsätzlich verschiedenen Konzepten, dem Diskreten und dem Kontinuum, ist daher seit Langem ein ehrgeiziges Ziel der Mathematik. Fachleute hoffen, damit einige der bestgehüteten Geheimnisse der Mathematik zu lüften, etwa die riemannsche Vermutung oder besagte abc‑Vermutung.
Einen wichtigen Beitrag auf diesem Weg schuf Alexander Grothendieck, einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts.
Er schlug eine »neue Geometrie« vor, die »eine Synthese aus beiden Welten ist, die bis dahin zwar nebeneinander bestanden und eng miteinander verflochten, aber dennoch voneinander getrennt waren«. Er arbeitete seine Idee allerdings nicht aus. Vor ihrer Vollendung zog er sich überraschend aus der Forschungswelt zurück und lebte fortan bis zu seinem Tod 2014 isoliert in einer Berghütte in den Pyrenäen. Doch er hinterließ ein ehrgeiziges Projekt, das bis heute andauert.
Es ist eine Weiterführung des Gedankens von René Descartes im 17. Jahrhundert, der heute allen Schülerinnen und Schülern in der Mittelstufe begegnet: Man kann Gleichungen – Objekte aus der Algebra – nutzen, um geometrische Strukturen zu untersuchen, und umgekehrt. So lässt sich einer linearen Gleichung wie 2x + y = 5 eine Gerade zuordnen, einer quadratischen Gleichung wie x2 + 3x – 5 = 0 eine Parabel, und so weiter. Für kompliziertere Gleichungen kann man entsprechend Ebenen oder drei- und höherdimensionale Räume definieren. Möchte man Letztere untersuchen, bietet es sich an, die zugehörigen Gleichungen heranzuziehen.
Grothendieck beschäftigte sich mit einer abstrakteren Version dieser Verbindung. Neben Gleichungen gibt es nämlich auch andere algebraische Objekte, mit denen man geometrische Figuren untersuchen kann: sogenannte Gruppen. Dabei handelt es sich um Mengen, die die Symmetrien eines bestimmten Objekts enthalten. Und Grothendieck erkannte, dass diese Gruppen eine viel wichtigere Rolle in der Geometrie einnehmen können als bis dahin angenommen.
Die Macht der Gruppen
Gruppentheorie für Einsteiger
Am einfachsten lässt sich eine Gruppe als Menge von Symmetrietransformationen veranschaulichen. Rotiert man beispielsweise ein gleichseitiges Dreieck um 120°, ändert sich dessen Form nicht. Ein solches Dreieck kann um insgesamt drei Winkel gedreht werden (0°, 120° und 240°). Jede dieser Drehungen ist eine Symmetrietransformation. Zusammen bilden sie eine endliche Gruppe.
Neben den Drehungen kann das Dreieck auch entlang seiner Mittelachse gespiegelt werden. Die genannten Drehungen und Spiegelungen bilden jeweils für sich »Untergruppen« der gesamten Symmetriegruppe des Dreiecks.
Streng genommen ist eine Gruppe aber abstrakter definiert. Sie definiert eine Menge, deren Elemente gewissen Regeln genügen: Die Verknüpfung zweier Elemente (etwa die Hintereinanderausführung zweier Drehungen) muss wieder ein Gruppenelement ergeben. Jede Gruppe enthält zudem ein »neutrales Element«, das jedes andere unverändert lässt, wie etwa die Multiplikation mit eins oder die Addition mit null. Darüber hinaus muss jedes Element auch ein Gegenstück (»inverses Element«) besitzen, sodass die Verknüpfung beider wieder das neutrale erzeugt – zum Beispiel muss man jede Drehung auch in umgekehrter Richtung ausführen können.
Was genau die Elemente der Gruppe sind, spielt dabei keine Rolle. Es kann sich um Symmetrietransformationen wie Drehungen und Spiegelungen handeln, aber auch um Zahlen. So bilden etwa die rationalen Zahlen (ohne die Null) mit der Multiplikation eine Gruppe: Die Verknüpfung (das Produkt) zweier rationaler Zahlen liefert stets ein rationales Ergebnis; das neutrale Element ist die Eins und das inverse Element der Kehrwert einer Zahl.
Kenne man die Symmetrien eines Objekts, davon war Grothendieck überzeugt, lasse sich daraus die geometrische Figur rekonstruieren. Das war ein revolutionärer Gedanke, der ein ganzes Forschungsgebiet erschaffen sollte.
Ein konkretes Beispiel dafür sind sogenannte Homotopiegruppen. Diese geben unter anderem Aufschluss darüber, ob und wie viele Löcher ein geometrisches Objekt hat. Sie beschreiben die Symmetrien aller geschlossenen Pfade, sogenannter Schleifen, die auf einer geometrischen Oberfläche verlaufen können. Hierbei werden die Schleifen danach gruppiert, wie sie sich zusammenziehen lassen. Eine Homotopiegruppe kategorisiert anschaulich gesprochen also alle verschiedenen Formen, die ein Lasso-Seil auf einer Oberfläche annehmen kann.
Auf einer Kugeloberfläche kann man alle geschlossenen Kurven zu einem Punkt zusammenziehen.
Auf einer Kugeloberfläche lassen sich etwa alle geschlossenen Pfade zu einem Punkt zusammenziehen. Gleiches gilt für jede andere zweidimensionale Oberfläche ohne Loch. Bei einem Donut hingegen oder einer Tasse gibt es zwei verschiedene Arten von geschlossenen Pfaden, die sich nicht zusammenziehen oder ineinander verformen lassen: Einer umkreist praktisch das Loch des Donuts, wie eine Glasur. Der andere umrundet hingegen den Donut seitlich um das Loch.
Auf einem Torus gibt es zwei verschiedene Arten von Schleifen (a und b), die sich nicht zu einem Punkt zusammenziehen lassen, im Gegensatz zu c.
»Anstatt den Raum direkt zu untersuchen, genügt es laut Grothendieck, die Symmetrien all seiner Überdeckungen zu betrachten«, erklärt Collas. Aus dieser Idee entstand eine »neue Geometrie«, wie Grothendieck sie nannte. Heute ist der Forschungsbereich als anabelsche Geometrie bekannt. Während man in der klassischen Geometrie einen Raum direkt untersucht, das heißt Punkte, Kurven oder zugehörige Gleichungen, fragt man sich in der anabelschen Geometrie: Wie viel eines geometrischen Raums steckt bereits in seiner Homotopiegruppe, also in den Symmetrien seiner Überdeckungen?
Von Geometrie zu Zahlen
Grothendieck verallgemeinerte die Idee auch auf diskrete Objekte – und errichtete so eine Verbindung von diesen zum kontinuierlichen Reich.
Dafür wandte er sich Problemen aus der Zahlentheorie zu, die etwa beim Lösen von Gleichungen auftauchen. Anders als in der Algebra ist man hierbei meist an sehr speziellen Lösungen einer Gleichung interessiert, beispielsweise: Was sind die ganzzahligen Lösungen? Oder: Welche Lösungen entsprechen Primzahlen? Solche Fragen sind notorisch schwer zu beantworten.
1983 bewies Gerd Faltings, dass auch bei solchen Problemen die kontinuierliche geometrische Gestalt der zugehörigen Gleichungen eine Rolle spielt. Dafür wurde er 2026 mit dem hoch angesehenen Abelpreis ausgezeichnet. Wenn man die zu den Gleichungen gehörenden geometrischen Objekte betrachtet, dann entscheidet die Anzahl ihrer Löcher darüber, wie viele rationale Lösungen (Lösungen, die sich als Bruchzahlen darstellen lassen) die Gleichungen besitzen: unendlich viele, endlich viele oder keine. Der Satz von Faltings verbindet demnach bereits das Reich des Diskreten mit dem Kontinuum: Die Anzahl der rationalen Lösungen hängt von den Homotopiegruppen ab, da diese Aufschluss über die Anzahl der Löcher geben.
Eine Geometrie für rationale Zahlen
Wenn man in eine Gleichung f(x, y) = 0 für reelle Zahlen x, y einsetzt, ergeben sich Kurven, die man mit Geometrie und Analysis untersuchen kann. Das führt jedoch bei Fragen rund um ganzzahlige oder rationale Lösungen von f(x, y) = 0 nicht weiter. Wie sich allerdings herausstellt, ändert sich die Situation, wenn man für x und y imaginäre Zahlenwerte einsetzt, das heißt Wurzeln aus negativen Zahlen.
Indem man reelle Zahlen und imaginäre Werte verbindet, erhält man »komplexe« Zahlen a + ib, wobei a und b jeweils reelle Werte sind und i die Wurzel aus minus eins. Solche Zahlen lassen sich wie Punkte in einer Ebene verstehen: a entspricht dann der x-Koordinate und b der y-Koordinate. Wenn man komplexe Werte in eine Polynomgleichung einsetzt, ist der dazugehörige Graph keine Kurve mehr, sondern eine Oberfläche. Und die Gestalt dieser Oberfläche gibt an, wie viele rationale Lösungen die zugrunde liegende Gleichung besitzt.
So konnte der Mathematiker Helmut Hasse im Jahr 1921 beweisen, dass Oberflächen ohne Loch aus Gleichungen hervorgehen, die entweder keine oder unendlich viele rationale Lösungen haben. Das ist sehr hilfreich zu wissen: Hat man beispielsweise eine rationale Lösung gefunden, dann weiß man automatisch, dass es unendlich viele weitere gibt.
Ein Jahr später bewies Mordell, dass sogenannte elliptische Kurven, das sind Oberflächen mit einem Loch, entweder endlich oder unendlich viele rationale Lösungen besitzen. Damit ist klar, dass diese Art von Gleichung mindestens eine rationale Lösung hat.
Für Oberflächen mit mehr Löchern vermutete der Mathematiker, dass sie stets nur endlich viele rationale Punkte besitzen. Beweisen konnte er das aber nicht. Es wurde zu einem zentralen Problem des Fachs. Erst 1983 gelang es Gerd Faltings, diese Vermutung zu beweisen – sie wurde als Satz von Faltings bekannt.
Grothendieck ging einen Schritt weiter. Da die Lösungen der Gleichungen einer geometrischen Struktur entsprechen, vermutete er ein Zusammenspiel zwischen den diskreten Gruppen der Zahlentheorie, den Galoisgruppen, sowie den kontinuierlichen Homotopiegruppen. Das bildet den Kern der anabelschen Geometrie.
»Die bemerkenswerte Erkenntnis besteht darin, dass diese Informationen über solche Symmetrien manchmal reichhaltig genug sind, um den ursprünglichen geometrischen Raum selbst zu rekonstruieren«, sagt Collas – und damit auch die Lösungen der zugrunde liegenden Gleichungen zu berechnen. Grothendieck hinterließ der Fachwelt vor seinem Verschwinden eine ganze Reihe von Vermutungen, die sie bis heute beschäftigen.
Galoisgruppen
Der Mathematiker und Revolutionär Évariste Galois begründete im 19. Jahrhundert die Gruppentheorie und schuf eine völlig neue Art der Mathematik, bevor er im Alter von nur 20 Jahren in einem Duell starb.
Galois hatte sich Polynomgleichungen gewidmet, doch statt diese direkt zu untersuchen, widmete er sich deren Lösungen. Betrachten Sie zum Beispiel die quadratische Gleichung x2 − 2 = 0. Die Nullstellen x1/2 = ±√2 sind schnell gefunden. Markiert man die zwei Werte auf einem Zahlenstrahl, fällt auf, dass sie symmetrisch um die Null verteilt sind. Galois gelang es, die geometrische Symmetrie auf algebraischer Ebene zu erweitern: Er fand Symmetrien in Gleichungen.
Obwohl das Polynom x2 − 2 bloß aus ganzzahligen Koeffizienten (1·x2 und 2) besteht, enthalten die Nullstellen irrationale Werte, nämlich √2. Um das Polynom zu beschreiben, braucht man also lediglich den »Körper« der rationalen Zahlen: Damit bezeichnet man in der Mathematik eine Menge von Zahlen, die man miteinander addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann, ohne die Menge zu verlassen. Galois untersuchte, wie sich der Körper, mit dem man die Polynomgleichung aufbaut, von jenem Körper unterscheidet, in dem die dazugehörigen Nullstellen liegen. Anders ausgedrückt: Wie kann man die rationalen Zahlen erweitern, damit auch die Nullstellen darin enthalten sind?
Eine Möglichkeit besteht darin, zu den reellen Zahlen zu wechseln: Denn auch sie bilden einen Körper. Doch die reellen Zahlen sind deutlich größer als die rationalen. Galois suchte nach der kleinstmöglichen Erweiterung. Für das genannte Beispiel könnte man damit beginnen, die rationalen Zahlen ℚ einfach um die beiden Werte √2 und −√2 zu erweitern. Das Problem: Wenn man bloß diese zwei Zahlen hinzufügt, ist die erweiterte Menge kein Körper mehr. Wenn man √2 nämlich mit anderen Elementen aus den rationalen Zahlen verknüpft (wie √2 + 1 oder 3·√2), liegen die Ergebnisse nicht mehr in der erweiterten Menge.
Die Nullstellen dieser Parabel liegen bei +√2 und -√2. Das heißt, die Lösungen der zugehörigen Gleichung x2 – 2 = 0 sind irrational, obwohl die Gleichung bloß rationale Komponenten besitzt.
Galois‘ Lösung: Man konstruiert eine ganz neue Menge, ähnlich wie die der komplexen Zahlen: Man definiert ℚ(√2) als jene Menge, die alle Elemente der Art a + b·√2 enthält, wobei a und b rationale Zahlen sind. Damit liegen in ℚ(√2) alle rationalen Zahlen sowie alle Vielfachen und Summen aus rationalen Werten und √2. Es lässt sich leicht überprüfen, dass ℚ(√2) ein Körper ist – tatsächlich handelt es sich um den kleinsten Körper, der die Nullstellen des Polynoms x2 − 2 umfasst.
Es stellt sich heraus, dass die kleinstmögliche Körpererweiterung Informationen über das dazugehörige Polynom enthält. Um das zu erkennen, muss man allerdings noch einen Schritt weiter gehen. Wie bereits erwähnt, besitzt das Polynom x2 − 2 zwei Lösungen: √2 und −√2. Wenn man nun die eine Nullstelle im erweiterten Körper ℚ(√2) durch die andere ersetzt (was einer Spiegelung entspricht), muss man entsprechend a + b·√2 in a − b·√2 überführen. Diese Operation lässt sich durch eine Funktion f ausdrücken, die den einen Ausdruck auf den anderen abbildet, also: f(a + b·√2) = a − b·√2.
Offenbar entspricht f einer Symmetrietransformation: Führt man f zweimal hintereinander aus, erhält man wieder den ursprünglichen Ausdruck: f(f(a + b·√2)) = a + b·√2. Es ist wie eine doppelte Spiegelung, die eine geometrische Figur unverändert lässt. Die Symmetrietransformationen zu einem Objekt – sei es eine geometrische Form wie ein Kreis oder eine abstraktere algebraische Struktur wie ein Körper – bilden eine Gruppe. Im Fall des erweiterten Körpers ℚ(√2) kann man zwei Symmetrietransformationen definieren: f und eine sehr langweilige Funktion e, die alle Ausdrücke unverändert lässt: e(a + b·√2) = a + b·√2. Die Transformationen e und f bilden zusammen eine Gruppe. Und wie Galois entdeckte, kann man jeder Art von Polynom eine entsprechende Gruppe zuordnen: das ist die sogenannte Galoisgruppe.
Die neue Geometrie nimmt Fahrt auf
Anlass für Grothendiecks Vermutungen war unter anderem ein 1977 veröffentlichtes Ergebnis von Jürgen Neukirch und Kôji Uchida, die »nulldimensionale geometrische Räume« untersucht hatten: Gleichungen mit nur einer Variablen, die einzelne Zahlen als Lösung haben. Die Menge all dieser Zahlen bildet einen mathematischen Raum. Für diese konnten die beiden Mathematiker beweisen, dass sie sich allein aus ihren Symmetrien rekonstruieren lassen. »Das war ein bedeutender konzeptioneller Durchbruch«, sagt Collas.
Grothendieck ging davon aus, dass dies auch für höherdimensionale Fälle funktionieren sollte. Fachleute nahmen sich zunächst Kurven vor, also Gleichungen mit zwei Variablen, die eindimensionale Räume beschreiben, etwa y – x2 = 3 (eine Parabel). Hierbei ging es nur schleppend voran. Der Erfolg ließ fast 20 Jahre auf sich warten – bis Shinichi Mochizuki im Jahr 1999 mit seinem bahnbrechenden Beweis die mathematische Bühne betrat.
»Das war einer seiner bedeutendsten Beiträge zur anabelschen Geometrie«, so der Mathematiker Minhyong Kim von der University of Edinburgh. Auch Kim forscht auf diesem Gebiet und engagiert sich im Bereich der Wissenschaftskommunikation. »Jeder weiß, dass das eine unglaublich tiefgründige und wichtige Arbeit ist. Und genau diese Arbeit hat Mochizukis Ruf in der mathematischen Fachwelt begründet«, erklärt Kim weiter.
Der entscheidende Schritt, der Mochizuki sein erstaunliches Ergebnis ermöglichte, war ein Perspektivenwechsel: Anstatt die Kurve über den gesamten Bereich der rationalen Zahlen zu betrachten, konzentrierte er sich auf den Abdruck, den eine einzelne Primzahl hinterlässt. Und wie sich herausstellte, bewahrt dieser weitaus mehr von der Geometrie, als irgendjemand erwartet hatte. »Dieser Wechsel von Grothendiecks ursprünglicher globaler Vision hin zur Arbeit über lokale Körper hat sich seitdem als der natürlichste anabelsche Rahmen erwiesen – und zu einer Fülle von Fortschritten geführt«, sagt Collas.
Dies fiel mit einem Wandel in der Forschungslandschaft zusammen. »Bis dahin hatten sich Spezialisten meist eigenständig mit der anabelschen Theorie und verwandten Themen beschäftigt«, erklärt Collas. »In den 90er-Jahren änderte sich das: Grothendiecks Programm machte die Runde, es fanden Konferenzen in verschiedenen Ländern statt, und es bildete sich eine echte Gemeinschaft.«
Währenddessen zog Mochizuki wieder nach Japan. »Das hat dazu geführt, dass sich das Forschungsfeld dort zentrierte«, sagt Kim. Auch andere namhafte Experten des Gebiets wie Akio Tamagawa, Hiroaki Nakamura und Yasutaka Ihara lebten dort.
Der Weg in die Isolation
Obwohl sie am selben Ort waren, entwickelten sich ihre Schwerpunkte schnell auseinander. Und nicht nur das – ihre Arbeitsweise unterschied sich stark. »Bei Tamagawa gibt es kein fest abgestecktes Forschungsprogramm; mathematische Ideen sehr unterschiedlicher Art und Herkunft können frei miteinander interagieren«, erklärt Collas. Das habe anderen Fachleuten aus aller Welt den Zugang zu den Ideen und der Forschungsrichtung erleichtert. Doch bei Mochizuki sei das völlig anders.
»Es handelt sich um einen sehr starren Rahmen, der als Ganzes betrachtet werden muss – das macht es schwierig, eine einzelne Idee einzubringen oder nur einen Beitrag zu leisten«, sagt Collas. Zudem seien weder Mochizuki noch seine direkten Kollegen in der Vergangenheit sehr bemüht gewesen, ihre Forschung nach außen zu tragen. »Die Kommunikation erfolgte hauptsächlich über die Fachzeitschriften, und das Hauptaugenmerk lag auf der Mathematik selbst«, sagt Collas, »aber auch in der Mathematik muss man mit den Menschen von Angesicht zu Angesicht sprechen.«
Und so entwickelte Mochizuki mit seinen engsten Mitarbeitern einen neuen Forschungszweig, an dem sie 20 Jahre lang im Alleingang tüftelten: die interuniverselle Teichmüller-Theorie. Im Jahr 2010 stellte er seine weitreichenden Ideen auf einer Konferenz vor, an der rund 300 Personen teilnahmen. Collas war damals auch als Doktorand vor Ort. Doch kaum jemand habe erkannt, dass etwas Großes im Gang war.
Zwei Jahre später ließ Mochizuki schließlich die Bombe platzen, als er vier Arbeiten ohne große Ankündigung auf seiner persönlichen Homepage hochlud, die bis heute noch so anmutet, als habe er sie in den 90ern designt, mit himmelblauem Hintergrund und umherhüpfenden Deko-Objekten. Die Aufsätze haben zusammen einen Umfang von rund 500 Seiten. Darin stellte er die von ihm entwickelte IUT vor, inklusive wichtiger mathematischer Beweise, darunter für die berüchtigte abc‑Vermutung.
Die abc-Vermutung
Die Vermutung dreht sich um natürliche Zahlen a, b und c, die folgende Gleichung erfüllen: a + b = c. Wie in der Zahlentheorie üblich, handelt die Vermutung von Primzahlen: Sie sagt etwas über die Verteilung der Primteiler in der Gleichung aus – also jener Primzahlen, die miteinander multipliziert die Zahlen a, b und c ergeben. So ist zum Beispiel 15 = 3·5 oder 24 = 23·3 oder 324 = 22·34. Letzteres ist ein Beispiel für eine »reiche« Zahl, da sie viele gleiche Primteiler hat (die 2 kommt zweimal und die 3 viermal vor). Solche Zahlen sind selten. Und noch seltener ist die Summe aus zwei reichen Zahlen erneut reich. Die abc-Vermutung gibt an, wie reich die Summe aus zwei teilerfremden Zahlen a und b höchstens sein kann.
Um das zu verstehen, hilft ein Beispiel. Angenommen, a = 1024 = 210 und b = 81 = 34 sind reiche, teilerfremde Zahlen. Ihre Summer ergibt: c = 210 + 34 = 1105. Nun kann man c ebenfalls in Primteiler zerlegen: c = 1105 = 5·13·17. Um den Reichtum von a, b und c zu beurteilen, kann man das so genannte Radikal der Zahlen heranziehen. Das Radikal einer Zahl entspricht dem Produkt der unterschiedlichen Primfaktoren (ohne deren Häufigkeit, also deren Exponenten, zu berücksichtigen). Das Radikal von 1024 ist zum Beispiel rad(1024) = rad(210) = 2 und das von 81 ist rad(81) = rad(34) = 3. Reiche Zahlen haben demnach kleine Radikale.
Die abc-Vermutung besagt konkret, dass für die meisten Zahlentripel a, b und c Folgendes gilt: Das Radikal von abc ist größer als c. Das oben genannte Beispiel erfüllt beispielsweise diese Ungleichung: rad(abc) = rad(1024·81·1105) = 2·3·5·13·17 = 13 260. Und tatsächlich – das Ergebnis ist größer als c = 1105.
Allerdings erfüllen nicht alle Zahlentripel diese Ungleichung. Wenn man zum Beispiel a = 3 und b = 125 = 53 wählt, dann ist c = 128 = 27. Damit ist c eine reiche Zahl. Die abc-Ungleichung gilt für dieses Beispiel nicht mehr: rad(abc) = rad(3·125·128) = 3·5·2 = 30. Das Ergebnis ist eindeutig kleiner als c = 128. Wie sich herausstellt, gibt es unendlich viele Ausnahmen zur abc-Ungleichung rad(abc) > c. Unter anderem widersprechen alle Tripel mit a = 1 und b = 9n-1 der Ungleichung: Das Radikal rad(1·(9n-1)·9n) ist beispielsweise für jedes n kleiner als 9n.
Man kann die Ausnahmen jedoch erheblich reduzieren, wenn man die abc-Ungleichung leicht abändert. Statt bloß das Radikal von abc zu betrachten, potenziert man das Radikal um eine Zahl κ, die größer ist als eins. Der Exponent braucht nur einen winzigen Hauch größer zu sein – es genügt, um nur noch endlich viele abc-Ausnahmen zuzulassen. Die vollständige abc-Vermutung lautet daher: Für jedes κ > 1 gibt es nur endlich viele teilerfremde Tripel a, b, c mit a + b = c, für die rad(abc)κ < c gilt.
Eine Lösung der abc‑Vermutung?
Während Mochizuki an der IUT arbeitete, schenkte ihm die Fachwelt kaum Beachtung. Aber als er verkündete, die abc-Vermutung gelöst zu haben, horchten Fachleute auf. Schnell machte unter ihnen seine Behauptung die Runde. »Ich hoffe, dass es stimmt: Ich habe den Eindruck, dass Shins Arbeit eine Menge sehr schöner, sehr anspruchsvoller Mathematik beinhaltet, mit der sich fast niemand in der Fachwelt wirklich auseinandergesetzt hat«, schrieb der Mathematiker Jordan Ellenberg von der University of Wisconsin–Madison damals auf Google Plus.
Doch es gab ein Problem: Die Fachwelt war nicht in der Lage, Mochizukis vermeintlichem Beweis zu folgen. »Seine Arbeiten fußen auf vielen wichtigen anabelschen Ideen, die außerhalb von Japan unbekannt waren«, erklärt Collas.
»Die Art und Weise, wie die Arbeiten verfasst wurden, machte es vielen, selbst mit umfassendem Hintergrundwissen, sehr schwer, beim Durcharbeiten des Materials einen Überblick zu gewinnen«, schrieb der Mathematiker Brian Conrad von der Stanford University, der an einem Workshop zu dem Thema teilnahm. Die Manuskripte enthalten demnach etliche Randbemerkungen, die sich mit Analogien und Motivation befassen – für die meisten Lesenden allerdings unverständlich waren. »Die Sorge ist, dass Mochizuki einen neuen Formalismus mit allerlei neuen internen Merkmalen geschaffen hat, der jedoch keine Verbindung zum Rest der Mathematik aufweist«, schrieb der mathematische Physiker Peter Woit von der Columbia University in New York im Jahr 2015 in seinem Blog.
Die Mathe-Community organisierte überall auf der Welt Konferenzen und Workshops, um die Arbeiten des japanischen Mathematikers besser zu verstehen, aber Mochizuki weigerte sich, Japan zu verlassen, und hielt deshalb nur vor Ort oder per Videokonferenz Vorträge über seine Arbeit.
Sein Verhalten stand immer wieder in der Kritik. »Er ist der Ansicht, dass er eine neue und andere Sichtweise auf das Thema entwickelt hat und dass diejenigen, die es verstehen wollen, ganz von vorn beginnen und sich durch die Details arbeiten müssen«, schrieb Peter Woit 2015. Die meisten Experten hätten aufgegeben – frustriert, weil sie keine neue Idee erkannten, für die sich der Aufwand lohnen würde.
Falsch oder richtig?
Kurz nachdem Mochizuki seine vier Arbeiten veröffentlicht hatte, sah sie der damals 24-jährige Mathematiker Peter Scholze durch. Eine Stelle kam ihm seltsam vor. Jakob Stix, ein Experte im Bereich der anabelschen Geometrie, teilte seine Zweifel. Das Problem betrifft einen zentralen Satz der vier Arbeiten – ohne ihn verliert ein Großteil der IUT seine Gültigkeit. Daher reisten Scholze und Stix im März 2018 gemeinsam nach Kyoto und diskutieren dort mit ihrem Kollegen über die vermeintlich problematische Stelle.
Bei diesem Satz vergleicht Mochizuki zwei Objekte miteinander und stellt dabei Unterschiede fest. Doch Scholze und Stix behaupten, die zwei Strukturen seien gleich – und Mochizukis Schlussfolgerungen deshalb falsch. Damit erweise sich nicht nur der Beweis der abc-Vermutung als fehlerhaft, sondern die ganze IUT.
Eine explosive Theorie
Viele der Erkenntnisse, die Grothendieck gewonnen hatte, gelangen diesem durch Abstraktion. Anstatt Polynomgleichungen direkt zu studieren, zog er ein allgemeineres Konzept heran: Er betrachtete sogenannte Ringe. Dabei handelt es sich um Mengen von Zahlen (oder anderen Objekten), die durch Multiplikation und Addition miteinander verbunden sind. Prinzipiell können auch Polynome Ringe bilden. Anstatt also mathematische Aussagen für einzelne Polynome zu treffen – was oft nicht möglich ist –, versuchte Grothendieck, allgemeinere Aussagen für Ringe zu finden.
Mochizuki hingegen wandte sich von Ringen wieder ab. Ringe vereinen sowohl multiplikative als auch additive Eigenschaften miteinander – so wie die abc‑Vermutung. Da es aber sehr schwierig ist, Aussagen über additive und multiplikative Eigenschaften zu vereinen, wollte Mochizuki andere Strukturen nutzen, in denen die multiplikative Information eigenständig behandelt wird.
Auf diese Weise schuf der Mathematiker eine völlig neue mathematische Welt erschaffen, die IUT, die aus neuartigen Strukturen wie Hodge-Theatern, Frobenioiden und Theta-Verbindungen besteht. Diese Konzepte erzeugen »Universen« zahlentheoretischer Objekte, die sich miteinander vergleichen lassen sollen. Vereinfacht gesagt besteht die Idee darin, die Multiplikation eines gegebenen Rings zu verändern und damit zu erfassen, in welchem Ausmaß sich die Addition dadurch verändert.
Dazu betrachtet Mochizuki nicht eine einzige arithmetische Welt, sondern mehrere Kopien, die Hodge-Theater. Zwischen ihnen gibt es Brücken: Die Theta-Verbindung verbindet bestimmte Teile eines Hodge-Theaters mit entsprechenden Teilen eines anderen Theaters. Diese Verbindung überträgt aber nur multiplikative Daten und nicht die additiven. Dieses Verbot, Addition und Multiplikation gleichzeitig zu identifizieren, soll neue Informationen sichtbar machen.
In Scholzes und Stix’ Vereinfachung von Mochizukis Beweis zu Korollar 3.12 befinden sich sechs Exemplare der reellen Zahlen (lila) auf einem Kreis (rot). Abbildungen (schwarze Pfeile) transformieren die Maßstäbe (gelb) eines Exemplars in ein anderes. Umrundet man mit einem Maßstab den Kreis der sechs Exemplare, sieht er am Ende anders aus als am Anfang (oben).
Das ist der Punkt, an dem die Theorie für Außenstehende besonders schwer lesbar wird. In der IUT muss man ständig unterscheiden: Welche Größe lebt in welchem Theater? Welche vergleichende Aussage ist legitim?
Die Mathematiker Scholze und Stix sind überzeugt, dass entscheidende Vergleiche, die die IUT-Maschinerie überhaupt ermöglichen, unzulässig sind. Um diesen Punkt dreht sich ihre fachliche Debatte.
Die drei Fachleute diskutieren eine Woche lang, ohne auf einen Nenner zu kommen. Ein halbes Jahr nach ihrem Besuch veröffentlichten Stix und Scholze einen Artikel mit dem vielsagenden Titel: »Why abc is still a conjecture«. Mochizuki sieht das anders: »Die Argumentation von Scholze und Stix basiert auf einer grundlegenden Fehlinterpretation der mathematischen Strukturen, die in der IUT verwendet werden«, schrieb er hinterher.
Seither ist die Mathe-Community gespalten – mit der japanischen Schule von Mochizuki auf der einen und den Unterstützern von Scholze und Stix auf der anderen. »Das Problem ist, dass sich die meisten Kritiker nicht mit dem Thema auskennen – die wenigsten haben die Arbeiten wirklich durchgesehen«, sagt Kim. »Dieser spezielle Streit beruht nicht so sehr auf wissenschaftlichen Erkenntnissen, sondern eher auf Gerüchten.«
Kim selbst gibt an, die IUT nicht gut genug zu verstehen, um zu beurteilen, ob sie korrekt ist oder nicht. »Ich respektiere sowohl Scholze und Stix als auch Mochizuki sehr und kann beide Seiten irgendwie verstehen: einerseits die Frustration von Mochizuki durch die Einmischung von Personen, die sich in dem Bereich nicht auskennen, und andererseits die Bedenken, die sich ergeben, wenn einige der renommiertesten Mathematiker auf einen Fehler hinweisen.«
Collas ist einer der wenigen internationalen Forscher, die hinter Mochizukis Arbeiten stehen: »Die IUT weist die Merkmale jeder seriösen mathematischen Theorie auf: einen konzeptionellen Rahmen, konkrete Berechnungen und die Notwendigkeit, weiterentwickelt zu werden, bevor sie neue Ergebnisse liefert. Für mich hat sie sich bereits als nützlich erwiesen.« So führe sie – falls korrekt – zu einer neuen Art von Beweis des großen fermatschen Satzes.
Schaden für das Fach
Unabhängig davon, ob die IUT nun richtig ist oder nicht, hat auch das Gebiet der anabelschen Geometrie unter dem Konflikt gelitten. Unter anderem hat es zur verstärkten Isolation mancher Forschungsgruppen geführt. »Es gibt einen sozialen Druck, den man spürt«, sagt Collas.
Trotzdem blickt Collas optimistisch in die Zukunft des Fachgebiets: Inzwischen gebe es zunehmend Angebote zum Austausch, außerdem bringen sich vermehrt internationale Fachleute ein. Im Schatten der hitzigen Debatte wurde die anabelsche Theorie ungeachtet der IUT weitergeführt – mit teils weitreichenden Ergebnissen. Solche Entwicklungen soll das 2027 und 2028 stattfindende Forschungsjahr in Kyoto weiter vorantreiben. Die Angebote umfassen mehrere Workshops, Konferenzen und Forschungsaufenthalte, um sich zu verschiedensten Ideen der anabelschen Geometrie auszutauschen.
Dabei falle eine Besonderheit auf: »Der Schwerpunkt liegt vor allem auf den positiven Aspekten der Theorie, also auf Dingen, die unbestreitbar interessant sind und zum Fortschritt in anderen mathematischen Bereichen beigetragen haben«, sagt Kim. »In der Vergangenheit wurde der IUT so viel Aufmerksamkeit geschenkt, dass andere Dinge – viele interessante Arbeiten, die gemacht wurden – wenig Beachtung fanden.« Das könnte sich nun ändern.
Denn auch abseits der IUT hat die anabelsche Geometrie viel zu bieten. Collas ist sich sicher: »Die Mathematik wird ihren Weg finden.« Am Ende setze sich ein nützliches Konzept stets durch. Ob die IUT dazuzählt, wird die Zukunft zeigen. Und vielleicht sind die Fachleute auf dem Gebiet dann auch wieder bereit, offen über ihre Forschung zu sprechen.
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