Als Roger Penrose in den 1970er-Jahren seine inzwischen berühmten Kachelmuster vorstellte, ging es ihm um die zugrunde liegende Geometrie. Der Mathematiker schuf ein einzigartiges Muster, das sich nicht regelmäßig wiederholt, und trotzdem wirkte es nicht chaotisch. Es sah aus, als hätte jemand Regeln aufgeschrieben, aber den Takt weggelassen.

Schnell verbreitete sich Penroses Idee. Die »aperiodischen Kachelungen« wurden kurz darauf auch für die Materialforschung, Chemie und Physik interessant.

Der Reiz an aperiodischer Ordnung ist, dass sie zwei Dinge verbindet, die sonst selten zusammengehen: einerseits Regelhaftigkeit, andererseits Freiheit von Wiederholung. Das ist nicht nur bei den Mustern der Penrose-Kacheln der Fall. Erstaunlicherweise trifft man auch in der Natur auf diese Eigenschaft, etwa in der Anordnung der Atome von Quasikristallen.

Im Februar 2026 haben die beiden Physiker Sotiris Mygdalas von der University of Waterloo und Latham Boyle von der University of Edinburgh eine ungewöhnliche Idee vorgestellt: Auch die Raumzeit selbst könnte aus winzigen Bausteinen bestehen, die kein Gitter bilden, sondern ein aperiodisches Muster.

In der Vergangenheit haben Fachleute viele verschiedene Möglichkeiten einer diskreten Raumzeit untersucht, von geordneten Kristallstrukturen bis hin zu völlig zufälligen Anordnungen. Eine diskrete Raumzeit ist nur schwer mit den Prinzipien der allgemeinen Relativitätstheorie zu versöhnen. Doch die von Boyle und Mygdalas vorgestellte aperiodische Struktur folgt natürlicherweise den Symmetrien unseres Universums – und könnte Antworten auf einige der drängendsten Fragen des Fachs liefern.

Ordnung ohne Wiederholung

Aperiodische Strukturen sind eine Art Zwischenwesen: zu geordnet für Zufall, zu unregelmäßig für ein Gitter. »Anfangs war es die reine mathematische Neugier auf schöne Muster, die mich in den Bereich zog«, sagt Mygdalas.

Besonders angetan hatten es ihm die Penrose-Kacheln. Dabei handelt es sich um zwei einfache Vielecke, mit denen man eine Ebene lückenlos bedecken kann, ohne dass sich das dadurch entstehende Muster jemals regelmäßig wiederholt. Trotz der fehlenden Periodizität ist das Ergebnis erstaunlich symmetrisch. Die Penrose-Kacheln haben beispielsweise eine fünfzählige Symmetrie – etwas, das bei periodischen Gittern beziehungsweise Kristallstrukturen unmöglich ist.

In den vergangenen Jahrzehnten haben Fachleute etliche verschiedene Fragestellungen rund um aperiodische Strukturen untersucht: Wie sehen solche Bausteine in höheren Dimensionen aus? Lassen sich auch aperiodische Muster mit nur einer einzigen Kachel bilden? Welche Arten von Fünfecken können die Ebene bedecken? Inzwischen gibt es außerdem Bestrebungen, aperiodische Strukturen auf Oberflächen zu untersuchen, die nicht flach wie eine Ebene sind. Welche Formen braucht man zum Beispiel, um eine Kugel zu bedecken?

Mygdalas schlug einen anderen Weg ein. »Alle Anwendungen beschränkten sich auf räumliche Muster«, erklärt der Physiker. »Ich wollte herausfinden, ob solche Strukturen auch in der Raumzeit existieren können – also in einer Umgebung mit drei Raum- und einer Zeitdimension.« Zusammen mit seinem Kollegen Latham Boyle machte er sich an die Arbeit, das herauszufinden.

Eine Verbindung von Raum und Zeit

Die beiden Forscher wandten sich dafür Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie zu, die Raum und Zeit nicht als getrennte Objekte behandelt, sondern als zwei miteinander verschmolzene Größen.

Wenn Physikerinnen und Physiker von einem vierdimensionalen Universum sprechen, unterscheidet sich das von einer Welt mit vier Raumdimensionen. Denn die Zeitdimension spielt eine gesonderte Rolle. So ist es unmöglich, rückwärts durch die Zeit zu reisen, während es kein Problem ist, sich im Raum vor- und zurückzubewegen. Zudem besagt Einsteins Relativitätstheorie, dass sich Information nicht schneller als das Licht ausbreiten kann. All diese seltsamen Eigenschaften sind im vierdimensionalen »Minkowski-Raum« berücksichtigt, einem mathematischen Konstrukt mit drei flachen Raumdimensionen und einer Zeitdimension.

»Ich bin mir sicher, dass dies die zukünftige mathematische Forschung inspirieren wird«Tobias Hartnick, Mathematiker

In einem solchen Minkowski-Raum haben Mygdalas und Boyle einen Quasikristall konstruiert, der Symmetrien besitzt, die für periodische Kristalle unmöglich sind. Damit haben sie erstmals eine solche aperiodische Struktur in einer Raumzeit erzeugt. »In der Mathematik werden aperiodische Strukturen in gekrümmten Räumen wie dem Minkowski-Raum schon seit einiger Zeit untersucht, und es freut mich sehr, dass Physiker diese Idee nun aufgreifen und weiterentwickeln«, sagt der Mathematiker Tobias Hartnick vom Karlsruher Institut für Technologie, der an aperiodischen Strukturen in gekrümmten Räumen arbeitet. »Ich bin mir sicher, dass dies die zukünftige mathematische Forschung inspirieren wird.«

Aus einem periodischen Kristall einen Quasikristall basteln

Mygdalas und Boyle orientierten sich an einer gängigen Technik, um aperiodische Strukturen zu erzeugen, der Cut-and-Project-Methode (deutsch: ausschneiden und projizieren). Mit ihr lassen sich aperiodische Muster aus periodischen Kristallen gewinnen. Um das zu verstehen, hilft es, sich zunächst eine eindimensionale aperiodische Abfolge vorzustellen.

Man baut hierzu ein Muster aus einem langen blauen Stock (b) und einem kurzen roten (r) nach folgenden Regeln auf: Lege zuerst einen roten Stock und ersetze dann jedes r durch b und jedes b durch br. So baut sich Schritt für Schritt eine Buchstabenfolge auf, die nichtperiodisch ist: r, b, br, brb, brbbr, brbbrbrb, brbbrbrbbrbbr und so weiter. Die hintereinander aufgereihten Stöcke ergeben am Ende eine unendlich lange Gerade mit einem aperiodischen blau-roten Muster.

Dieses Muster lässt sich aber auch durch ein zweidimensionales periodisches Gitter erzeugen. Dazu beginnt man mit einem quadratischen Gitter, bei dem die Punkte an den Ecken von Quadraten angeordnet sind. Man bedeckt einen Teil des Gitters mit einem dicken Streifen (»Fenster«), der einen irrationalen Winkel mit der x-Achse einschließt. In die Mitte des Streifens zeichnet man eine Gerade. Wenn man nun alle Punkte des quadratischen Gitters, die innerhalb des Streifens liegen, auf dem kürzesten Weg mit der Geraden verbindet, erscheint auf der Geraden eine aperiodische Struktur. Falls der Winkel und die Breite des Streifens passend gewählt sind, entspricht das Muster dem der oben beschriebenen roten und blauen Stöcke.

Diese Cut-and-Project-Methode funktioniert nicht nur für eindimensionale Fälle, sondern auch in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum. Man kann auf die Weise sogar hochdimensionale aperiodische Muster aus periodischen Gittern gewinnen.

Boyle und Mygdalas haben die Methode auf Minkowski-Räume erweitert, also auf Strukturen mit einer zeitlichen Dimension. Sie definieren zunächst ein periodisches Gitter in einem Minkowski-Raum höherer Dimension. Dann wählen sie ein Fenster – analog zum schrägen Streifen – und projizieren die Punkte daraus in eine niedrigere Dimension, analog zur Geraden. So entsteht ein aperiodisches Punktmuster: ein Minkowski-Quasikristall.

»Was den mathematischen Teil betrifft, war es zwar zu erwarten, dass Quasikristalle in der Raumzeit existieren«, sagt Mygdalas. Insofern sei das Ergebnis keine Überraschung gewesen. »Doch es hat lange gedauert, bis wir dies genau formulieren konnten.« Grund dafür ist unter anderem die Symmetrie, der unser Universum folgt.

Die Symmetrie von Raum und Zeit

Im Rahmen seiner allgemeinen Relativitätstheorie beschrieb Einstein, dass die physikalischen Gesetzmäßigkeiten in verschiedenen Bezugssystemen gleich sind. Egal, ob Sie sich schnell oder langsam bewegen – Sie nehmen stets dieselben Naturgesetze wahr. Diese Art von Symmetrie wird als Lorentz-Symmetrie bezeichnet. Sie bereitet einigen Fachleuten Probleme, insbesondere jenen, die nach einer vereinheitlichten Theorie des Universums suchen.

Eine solche Theorie, manchmal auch Weltformel genannt, würde alle Naturgesetze gemeinsam beschreiben. Aktuell baut die Physik statt auf einem Pfeiler auf zwei verschiedenen auf: der Quantenphysik, welche die Welt des Allerkleinsten beschreibt, und der allgemeinen Relativitätstheorie, welche die große Struktur unseres Kosmos betrifft. Viele Fachleute gehen davon aus, dass eine Quantenversion von Einsteins Theorie der Schlüssel zur Weltformel ist. Diese könnte Raum und Zeit als Quantenobjekte beschreiben, die – ähnlich wie Licht – keine kontinuierliche Natur mehr haben, sondern als einzelne Bausteine auftauchen.

Doch ein solches Weltbild führt schnell zu Schwierigkeiten. Denn sobald man Raum und Zeit als diskrete Einheiten beschreibt, ist die Lorentz-Symmetrie zwangsweise gebrochen. »Man verliert die kontinuierlichen Symmetrien, einfach weil diese zu glatt sind, als dass die Diskretheit damit umgehen könnte«, erklärt Mygdalas. »Was man sich jedoch erhofft, ist, etwas von der Symmetrie zu bewahren und im Grenzfall, bei dem die Diskretheit verschwindet, die vollständigen kontinuierlichen Symmetrien zu erhalten.« Das bedeutet: Wenn man die Abstände zwischen den diskreten Raum- und Zeitpunkten immer weiter verkleinert, ergibt sich irgendwann eine kontinuierliche Raumzeit mit Lorentz-Symmetrie.

Diese Eigenschaft gewährleisten Mygdalas und Boyle mit ihrer aperiodischen Raumzeitstruktur. Darüber hinaus besitzt sie einen Teil der Lorentz-Symmetrie, wie Mygdalas erläutert. Das sei anders als bei räumlichen Quasikristallen, die ein bevorzugtes Ruhesystem haben: In diesem Fall sieht nur ein ruhender Beobachter die Punkte in dieser aperiodischen Form angeordnet. Ein bewegter Beobachter würde hingegen dieselbe Struktur als bewegt wahrnehmen – und könnte somit mit Sicherheit sagen, dass er sich relativ zum ruhenden Quasikristall bewegt. Damit gäbe es in einer Welt, bei der allein der Raum eine aperiodische Struktur bildet, ein ausgezeichnetes Ruhesystem. Das widerspricht der Relativitätstheorie.

In einem Raumzeit-Quasikristall ist das hingegen anders: Unendlich viele bewegte Personen nehmen dasselbe aperiodische Muster wahr wie eine ruhende. Somit lässt sich nicht mehr unterscheiden, wer sich bewegt und wer nicht. »Dies ist die Idee der Beobachterunabhängigkeit, die die Lorentz-Symmetrie vertritt«, erklärt Mygdalas. Das könnte für gewisse Ansätze zu Quantengravitationstheorien hilfreich sein.

Quasikristalle in der Raumzeit

Boyle und Mygdalas haben zwei konkrete Quasikristalle im Minkowski-Raum konstruiert – und damit die ersten Beispiele für hochsymmetrische, aperiodische Strukturen in der Raumzeit geliefert.

Zunächst zogen sie ein periodisches Gitter in drei Raum- und einer Zeitdimension heran. Mithilfe der Cut-and-Project-Methode erzeugten sie daraus ein aperiodisches Muster in einer Raum- und einer Zeitdimension. Das sich dadurch ergebende Punktmuster ist wie bei Quasikristallen üblich zwar geordnet, aber nicht periodisch.

Die aperiodische Struktur lässt sich in einem zweidimensionalen Koordinatensystem verzeichnen, bei dem die y-Achse der Zeitkoordinate entspricht. »Anders, als wir es von den gängigen zweidimensionalen aperiodischen Mustern kennen, gibt es hier keine natürliche Möglichkeit, die Punkte sinnvoll miteinander zu verbinden«, erklärt Mygdalas. Das Muster entspricht in diesem Fall also keiner Parkettierung, wie man sie von räumlichen Quasikristallen gewohnt ist: Für Minkowski-Quasikristalle lässt sich keine endliche Menge von Fliesen finden, deren Ecken auf den Punkten des aperiodischen Musters liegen.

Als Zweites konstruierten Boyle und Mygdalas einen vierdimensionalen Raumzeit-Quasikristall. Hierfür nahmen sie ein periodisches Gitter in neun Raumdimensionen und einer Zeitdimension, das sie mithilfe der Cut-and-Project-Methode verarbeiteten.

Der so entstandene Quasikristall folgt den Symmetrien der allgemeinen Relativitätstheorie und könnte daher ein Ausgangspunkt für eine Quantentheorie der Gravitation sein, glaubt Mygdalas. Gerade für die Kausalmengentheorie sei dies eventuell ein vielversprechender Ansatz. In dieser geht es darum, eine diskrete Theorie der Raumzeit zu definieren, die lokal mit den Symmetrien des Universums vereinbar ist. Dafür arbeiten die Fachleute mit einer Menge gleichmäßig verteilter Zufallspunkte, die eine kausale Struktur erfüllen. »Vielleicht könnte man den Zufall durch Symmetrie ersetzen«, hofft Mygdalas – und zwar die Symmetrie von Minkowski-Quasikristallen.

Unser Universum als Donut

Auch spekulativere Ideen sind mit den aperiodischen Raumzeitstrukturen denkbar, wie die beiden Forscher in ihrer Arbeit ausführen. So könnte ihr Ansatz in der Stringtheorie Anwendung finden. In dieser Theorie der Quantengravitation gehen Fachleute davon aus, dass die Raumzeit aus zehn Dimensionen besteht: neun Raum- und einer Zeitdimension. Um das mit unserer Erfahrung einer vierdimensionalen Welt in Einklang zu bringen, sollen sechs Raumdimensionen »kompaktifiziert« sein: Sie wären so winzig aufgerollt, dass wir sie nicht wahrnehmen.

Bislang wurde jedoch kein Hinweis gefunden, der diese Annahme stützt. Im Jahr 1993 hat der theoretische Physiker Gregory Moore von der Rutgers University in New Brunswick eine radikalere Idee untersucht: Vielleicht sind nicht nur sechs, sondern alle zehn Raumzeitdimensionen unserer Welt wie Ringe kompaktifiziert. Das Ergebnis war ein höchst symmetrisches Universum, das er jedoch als unrealistisch verwarf. Eine ringförmige Zeitdimension hätte nämlich zur Folge, dass man in die Vergangenheit reisen könnte – was allerlei Widersprüche mit sich bringt, etwa das Großvater-Paradoxon, bei dem man seine Vorfahren umbringt und dadurch seine eigene Existenz verunmöglicht.

Doch wie Mygdalas und Boyle zeigten, lässt sich ein solches ringförmiges und höchst symmetrisches Universum auch auf andere Art interpretieren. Das funktioniert ganz ohne verwirrende Paradoxa.

Falls die zehn Raumzeitdimensionen ringförmig kompaktifiziert sind, bilden sie das Analogon eines zehndimensionalen Torus, also eine zehndimensionale Version einer Donutoberfläche. Nun nahmen die beiden Physiker an, dass dieser zehndimensionale Raumzeitdonut aus einem periodischen Gitter von Raum- und Zeitpunkten besteht. Durch eine geeignete Cut-and-Project-Methode lässt sich aus diesem ein vierdimensionaler Quasikristall konstruieren. Das Verblüffende: Dieser hat unbegrenzte Raum- und Zeitdimensionen, in denen es nicht zu Reisen in die Vergangenheit kommen kann.

Um das zu verstehen, hilft die Anschauung einer zweidimensionalen Donutoberfläche. Angenommen, der projizierte Raum – also der Quasikristall – liegt auf einer eindimensionalen Schnur, die man um den Torus fädelt. Da der Winkel, unter dem man diese Schnur aufrollt, bei der Cut-and-Project-Methode irrational ist, erreicht die Schnur niemals ihren Anfangspunkt. Sie erstreckt sich ewig entlang des Torus, ohne sich jemals zu kreuzen. Auf dieser Schnur zeichnet sich der Quasikristall ab – und könnte laut Mygdalas und Boyle unserem Universum entsprechen.

»In der Stringtheorie könnten die Raumzeit-Quasikristalle erklären, wie die zehn Dimensionen zusammengerollt sind«, sagt Mygdalas. »Die scheinbar unendliche Raumzeit, die wir erleben, könnte aus einem endlichen Raum konstruiert werden.« Vielleicht ist es genau das, was eine diskrete Raumzeit braucht: klare Regeln ohne festen Takt. Mathematisch ist der Bauplan überzeugend – ob daraus jedoch mehr wird als eine mathematische Möglichkeit, entscheidet die Physik.

Gregory Moore, der die Idee der kompakten zehndimensionalen Raumzeit begründete, beschrieb bei »Science News« die zugrunde liegende Mathematik als wunderschön. »Die Physik dahinter ist aber sehr spekulativ«, ergänzte er. Ähnlich sieht es der Mathematiker Tobias Hartnick: »Mathematisch reiht sich die Arbeit sehr schön in die inzwischen etablierte Theorie gekrümmter Quasikristalle ein und wird sicher unabhängig vom physikalischen Gehalt Beachtung finden.«