Zahlentheorie: KI findet die bisher komplexeste Kurve
Eine geschwungene Linie und ein Kreis. So täuschend einfach sieht das bisher komplizierteste Ergebnis eines Bereichs der Zahlentheorie aus: eine elliptische Kurve mit einem Rang von mindestens 31. Generell gilt: Je höher der Rang, desto komplexer ist das Muster, nach dem bestimmte Punkte auf der Kurve verteilt sind. Seit Jahrzehnten jagen Mathematiker daher immer komplexeren Exemplaren hinterher – und haben dabei nur sehr langsam Fortschritte gemacht. Mehr als 18 Jahre dauerte es etwa, sich von Rang 28 auf 29 hochzuarbeiten. Doch nun haben der Mathematiker Levent Alpöge, der bei der KI-Firma Anthropic arbeitet, und die Kryptografin Ava Howell mithilfe eines KI-Sprachmodells Claude innerhalb weniger Tage sowohl eine elliptische Kurve mit einem Rang von mindestens 30 als auch eine mit einem Rang von mindestens 31 vorgestellt.
Die Gleichungen, die elliptischen Kurven zugrunde liegen, wirken recht simpel. Es sind Polynomgleichungen der Form y2 = x3 + Ax + B. Und doch beschäftigen sie die Fachwelt seit Jahrtausenden. Besonders interessant ist hierbei die Verteilung der rationalen Punkte auf den Kurven, also jene Werte von x und y, die sich durch eine Bruchzahl ausdrücken lassen und die Gleichung erfüllen.
Elliptische Kurven von Rang 0 haben beispielsweise nur endlich viele rationale Punkte. Ab Rang 1 umfassen die Kurven unendlich viele Bruchzahlen. Doch auch wenn ihre Anzahl unbegrenzt ist, folgen die Punkte einem einfachen Muster. Kennt man einen rationalen Punkt auf einer elliptischen Kurve von Grad 1, kann man sich zu allen anderen rationalen Punkten durcharbeiten, indem man Symmetrietransformationen anwendet: Man muss die Punkte spiegeln, projizieren oder durch Geraden auf der Kurve verbinden. Aus einer einzigen rationalen Lösung lassen sich also alle anderen rationalen Punkte konstruieren.
Die Punkte elliptischer Kurven haben eine bemerkenswerte Struktur: Sie lassen sich durch bestimmte Transformationen ineinander umwandeln. Diese Transformationen bilden eine Gruppe.
Bei einer elliptischen Kurve von Grad 2 gibt es zwei unabhängige Familien von rationalen Punkten: Kennt man einen rationalen Punkt, kann man alle Punkte aus derselben Familie konstruieren – aber nicht jene aus der anderen rationalen Familie. Entsprechend besitzen elliptische Kurven von Grad 3 drei unabhängige Familien und so weiter.
Eine wichtige offene Frage der Zahlentheorie lautet, ob elliptische Kurven einen unbegrenzt hohen Grad haben können – oder ob irgendwann Schluss ist. Unterdessen machen Fachleute Jagd auf Beispiele von elliptischen Kurven mit immer höheren Graden. Zuletzt wurde nach 18-jährigem Stillstand im August 2024 eine elliptische Kurve mit einem Grad von mindestens 29 nachgewiesen. Um diese zu konstruieren, bildeten Fachleute einen Querschnitt aus Objekten in höheren Dimensionen, dessen Rand der elliptischen Kurve entspricht.
Und nun, nur zwei Jahre später, hat ein KI-Sprachmodell gleich zwei Beispiele für elliptische Kurven noch höheren Grades geliefert. Dieses Ergebnis erhielten Alpöge und Howell mithilfe eines vergleichsweise einfachen Prompts.
An elliptic curve E over the rationals can be written in the general Weierstrass form
E : y^2 + a1 x y + a3 y = x^3 + a2 x^2 + a4 x + a6, a1, a2, a3, a4, a6 in Z.
By the Mordell-Weil theorem its group of rational points is finitely generated,
E(Q) ≅ E(Q)_tors ⊕ Z^r,
and the non-negative integer r is the rank of E.
## Task
Find an elliptic curve E over Q of rank at least 30, and exhibit 30 rationalpoints on E that are linearly independent in E(Q) (equivalently, independent modulotorsion). These 30 independent points force rank E(Q) >= 30.
## Submission
Write your answer to a file, then submit the path to that file using the `submit_answer`tool. The file must contain a single JSON object with exactly two keys, "curve" and"x_coords":
– "curve": the five coefficients [a1, a2, a3, a4, a6] of the Weierstrass model above, each an integer written as a string (e.g. ["1", "0", "0", "-7", "12"]). The coefficients must define a non-singular curve (nonzero discriminant).
– "x_coords": a list of exactly 30 x-coordinates, each the x-coordinate of a rational point on E. Give each as a string that is an exact integer (e.g. "5") or fraction (e.g. "-3/2"). You only supply x-coordinates: the verifier reconstructs a corresponding y (the two choices are the inverse points and ; choosing either does not affect independence). Every x MUST be the x-coordinate of a genuinely rational point–the reconstructed y must be rational–otherwise the point is not in E(Q) and the submission is rejected.
The file should contain exactly this JSON object and nothing else. The example below onlyillustrates the format; it is not a valid answer:
{"curve": ["0", "0", "0", "0", "1"], "x_coords": ["2", "0", "-1"]}
Approximate or floating-point coordinate values will not be accepted.
Die Gleichung für die Kurve mit einem Grad von mindestens 30 lautet hierbei:
y2 + xy = x3 − 201 769 035 260 418 549 083 594 900 060 734 240 952 308 696 994 802 735 114 305 555x + 1 151 107 939 141 058 565 733 479 426 024 323 225 135 665 982 951 300 586 808 823 640 527 729 578 307 228 357 301 072 889 377
Und das Ergebnis mit einem Grad von mindestens 31 ist:
y2 + xy + y = x3 + x2 − 1 284 727 764 113 567 728 281 797 636 015 784 768 866 707 681 415 849 262 157 224 232 063x + 560 368 321 454 261 339 256 859 338 901 915 312 332 769 858 684 945 406 858 043 869 199 456 710 681 989 058 863 306 170 127 006 181
Damit hat eine KI die bisher komplexesten elliptischen Kurven geliefert. Das genutzte Sprachmodell ist jedoch eine interne Variante von Claude, die der Öffentlichkeit nicht zur Verfügung steht. Spannend wäre es auch, zu erfahren, welche Vorarbeit Alpöge und Howell – die beide viel Hintergrundwissen in dem Forschungsbereich elliptischer Kurven besitzen – geleistet haben; zum Beispiel, ob sie bestimmte Systemprompts genutzt haben oder die KI anderweitig auf das Problem trainiert haben.
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