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News: Computertomographie für große Öfen

Wie schließt man aus einem Schallsignal auf die Eigenschaften des Mediums, durch das sich dieser Schall fortpflanzt? Dieses Problem löste ein Professor für Mathematik an der Universität Münster. Damit ist es zum Beispiel möglich zu überprüfen, wie effektiv die Öfen eines Braunkohlekraftwerkes brennen.
Ein Braunkohlekraftwerk, das den Strom für eine ganze Großstadt erzeugt, hat einen entsprechend monumentalen Ofen: 60 Meter hoch, 20 Meter breit. Die Kohle wird oben eingeschüttet und ist verbrannt, bevor sie unten ankommt. Wie merkt der Heizer, ob der Ofen richtig brennt? Hineinschauen bringt nichts bei der Größe: Mehr als ein waberndes Flammenmeer sieht man nicht. Hineinhorchen schon eher: Man bohrt kleine Löcher in die Wand und steckt Mikrophone und Schallerzeuger hinein. Reihum wird an jedem Loch ein kleiner Knall ausgelöst und die Zeit gemessen, bis das Schallsignal an den anderen Löchern ankommt. Daraus ist die Temperatur erschließbar, denn die Schallgeschwindigkeit im Gas hängt von der Temperatur ab. Das allein hilft noch nicht viel, denn aus der Laufzeit ergibt sich nur eine mittlere Geschwindigkeit – und daraus eine mittlere Temperatur – entlang des Laufwegs. Wer es genauer wissen will, geht so vor wie bei der Computertomographie: Die Röntgenstrahlen, die den Körper des Patienten durchdringen, liefern auch nur summarische Informationen, aber aus verschiedenen Richtungen; daraus ist mit einer mathematischen Transformation die lokale Information rekonstruierbar.

Im Ofen kommen zusätzliche Komplikationen hinzu: Schall wird vom Winde verweht – die Gase im Ofen sind in heftiger Bewegung. Und weil seine Geschwindigkeit temperaturabhängig ist, geht er zuweilen krumme Wege, genau wie ein Lichtstrahl in einem optischen Medium mit variierender Brechkraft. Es ergibt sich, daß der Schall dazu neigt, ausgerechnet die Stellen relativ niedriger Temperatur, die einen besonders interessieren, zu umgehen.

Die Lösung des Problems besteht darin, bisher ungenutzte Information auszuwerten. Am Mikrophon kommt nicht nur der direkte Schall an, sondern vielfache Echos durch Reflexion an den Wänden des Ofens. Das gibt Information über eine Fülle von Laufwegen – aber sie ist nicht einfach zu nutzen.

In einem Verbundprojekt des BMBF hat Frank Natterer, Professor für Mathematik an der Universität Münster, durch den Einsatz anspruchsvoller Mathematik dieses ungewöhnliche Problem gelöst – ungewöhnlich deswegen, weil seine Fragestellung genau entgegen der üblichen verläuft.

Geläufig ist die folgende Aufgabe: Wenn ein Medium mit bekannten Eigenschaften durch eine ebenfalls bekannte Anregung aus dem Gleichgewicht gebracht wird – eine Gitarrensaite durch Zupfen, die Luft im Zimmer durch die Auslenkung einer Lautsprechermembran, das elektromagnetische Feld durch die Ströme in einer Sendeantenne: Wie wird sich die dadurch erregte Welle fortpflanzen? Solche und ähnliche Fragen lassen sich formal durch die sogenannte Wellengleichung ausdrücken. Es handelt sich um eine Differentialgleichung, das ist eine Gleichung, die den (unbekannten) Zustand des Mediums an einem gewissen Punkt zu dessen Zustand in unmittelbarer (räumlicher und zeitlicher) Nähe in Beziehung setzt. Die Antwort auf die Frage findet man, indem man die Wellengleichung löst – und das ist zuweilen schon nicht einfach.

Aber hier ist die Antwort – das Schallsignal am Rande – bekannt und die Frage dazu – die Eigenschaften des Mediums – gesucht: ein inverses Problem. Da gilt es zunächst, sich theoretisch zu vergewissern, daß nicht zu einer Antwort mehrere Fragen gleich gut passen; denn dann wäre ohnehin alle weitere Mühe vergebens. Außerdem muß dieser Rückschluß von der Antwort auf die Frage – wenigstens annähernd – auch dann noch möglich sein, wenn die Antwort nur unvollständig oder ungenau bekannt ist. Und wie findet man nun die Frage zur Antwort (vorausgesetzt, es gibt nur eine)? Im Prinzip durch Probieren. Man gibt versuchsweise eine Temperaturverteilung vor und berechnet durch Lösen der Wellengleichung, welches Schallsignal sich ergeben würde. Das ist natürlich das falsche. Aber aus der Art der Abweichungen gehen Hinweise darauf hervor, in welcher Richtung die vermutete Temperaturverteilung nachzubessern ist. Mit dieser neuen Verteilung löst man wieder die Wellengleichung, und so weiter: ein Iterationsverfahren. Die Kunst besteht also darin, aus seinen Fehlern möglichst effektiv zu lernen.

Nachdem Natterer und seinen Mitarbeitern dies für ein Problem mit künstlichen Daten in überzeugender Weise gelungen ist, will er nun das Verfahren für den Einsatz bei realen Messungen tauglich machen. Bei den nächsten Messungen, welche die RWE Energie AG im kommenden Frühjahr durchführen wird, geht es den Betreibern noch vorrangig um die Auswertung der direkten Laufzeiten; jedoch werden dabei bereits die Daten aufgezeichnet, die das neue Verfahren verwerten kann.

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