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Festkörper: Dichte Packungen locker simuliert

Fußbälle, Apfelsinen, Rosinen, Sand - was rund ist, lässt sich manchmal ordentlich zu Pyramiden stapeln, manchmal legt es sich zufällig aneinander. Doch obwohl uns allen derartige mehr oder minder wohlsortierte Haufen täglich begegnen, kann die Physik bis heute nicht beschreiben, wie sie eigentlich entstehen.
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Der Rekord liegt bei 74 Prozent – mehr geht nicht. Das ist mathematisch (vermutlich) bewiesen. Rund drei Viertel des Raums nehmen Kugeln ein, wenn man sie sehr sorgfältig und platzsparend aufeinander stapelt. Jede Schicht kommt dabei in die Mulden der vorhergehenden Lage, und jede Kugel stößt direkt mit ihren Nachbarn zusammen. So entsteht – von der verkaufsfördernden Fußballpyramide bis zur atomaren Kristallstruktur – die dichteste mögliche Packung. Und in der summieren sich die Lücken trotzdem noch zu einem guten Viertel des gesamten Raumes. Weniger Platzverschwendung ist selbst mit den raffiniertesten Konstruktionen nicht drin.

Aber es kommt noch schlimmer. Nämlich dann, wenn die Kügelchen nicht von Hand oder ordnenden Kräften gezielt an die optimalen Plätze geleitet werden, sondern sich zufällig anordnen müssen. So wie in Erbsengläsern beispielsweise. Oder in Sandhalden. Dann erzielt die dichteste Zufallspackung im Experiment gerade einmal 64 Prozent Raumnutzung. Und wenn es ganz schlimm läuft, endet die Schüttung sogar mit mageren 55 Prozent. Da hilft kein Schütteln, Rütteln oder langsames Sedimentieren – enger oder luftiger als diese beiden Extremwerte lassen sich zufällige Anhäufungen nicht packen. So viel hat die Wissenschaft bereits herausgefunden. Was sie aber nicht weiß – wieso gelten gerade diese beiden Grenzen? Und welche Kräfte stecken dahinter?

Es erscheint seltsam, dass ausgerechnet ein Prozess, den jeder von uns aus dem Alltag kennt und der für die Industrie beim Lagern und Packen von granulären Rohstoffen sowie kugeligen Produkten eine geldwerte Rolle spielt, sich bislang jeder genauen physikalischen Beschreibung entzogen hat. Und noch entzieht. Obwohl US-amerikanische und brasilianische Forscher um Chaoming Song vom City College of New York nun mit Hilfe statistischer Verfahren der Ordnung hinter der Unordnung auf die Spur gekommen sind.

Die Wissenschaftler erstellten dazu Funktionen, die für den Teilchendurchschnitt gelten, wodurch sie subtile und selten auftretende Einflüsse, die auf ein Kügelchen wirken können, vernachlässigen konnten. Statt individuelle Umgebungen brauchten sie so nur einen Einheitshintergrund zu beachten, dessen Eigenschaften sich durch Koordinationszahlen beschreiben ließen. Eine davon gab die Anzahl der Kontakte zu anderen Teilchen an, eine zweite diente als Maß für die Reibung zwischen den Kügelchen.

Eingebaut in Formeln, die sie aus der Thermodynamik entliehen haben, und angehäuft in Computersimulationen, lieferten die Modelle in zahlreichen Durchläufen schließlich eine Art Phasendiagramm. Es zeigt an, welche Packungsdichte je nach Grad der Reibung zwischen den Teilchen möglich ist. Und tatsächlich bestätigten die Rechnungen die experimentellen Grenzwerte: Selbst bei extremer Reibung, welche die Kugeln geradezu aneinander kleben ließ, sank die fluffigste Packung nicht unter 55 Prozent Raumnutzung, und völlig reibungslos stieg sie nicht über 64 Prozent.

Aber das Phasendiagramm verriet noch mehr. So konnte die Packung umso mehr Zustände unterschiedlicher Dichte einnehmen, je stärker die Reibung wirkte. Lag deren Einfluss hingegen bei Null, was beispielsweise in Emulsionen vorkommt, blieb dem System nur die dichteste Zufallspackung.

Dem Apfelsinenstapel auf dem Wochenmarkt werden diese Ergebnisse wohl kaum eine neue Form geben. Doch der Schritt vom komplexen dynamischen System im Ungleichgewicht zum einfacheren statistischen Problem sollte die Berechnung zufälliger Packungen leichter machen. Und Ansatzpunkte für Verfeinerungen bieten, damit wir eines Tages eben doch wissen, was die kleinen Schokokügelchen eigentlich veranlasst, ausgerechnet so in der Packung zu liegen, wie sie liegen.

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  • Quellen
Song, Chaoming et al.:: A phase diagram for jammed Matter. In: Nature 453, S. 629–632, 2008.

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