Die meisten Physikerinnen und Physiker sind sich einig: Niemand versteht die Quantenwelt. Auf kleinster Ebene laufen Dinge ab, die unsere Vorstellungskraft sprengen. Das bereitet auch Theoretikern Schwierigkeiten, die versuchen, quantenmechanische Probleme mit mathematischen Methoden zu entschlüsseln. Sie wissen zwar, wie sie die Quantensysteme beschreiben sollen, können aber die zugrunde liegenden Gleichungen nicht lösen. Selbst Computer kommen dabei an ihre Grenzen. Doch wie Forscher um Islam Faisal von der Boston University nun in einer noch nicht begutachteten Studie zeigen, gestalten sich einige Quantenberechnungen einfacher als bislang angenommen: Eine große Gruppe von ihnen lässt sich durch klassisch berechenbare Quantensysteme annähern.

Schon der renommierte Physiker Richard Feynman war in den 1980er-Jahren überzeugt, dass neue Hilfsmittel nötig sind, um Quantenprobleme rechnerisch zu lösen. Er war einer der ersten, die die Idee eines Quantencomputers äußerten: Man müsse ein auf den Regeln der Quantenphysik basierendes System nutzen, um komplexe Quanteneffekte nachzustellen und im Detail zu untersuchen. In den folgenden Jahrzehnten mehrten sich die Stimmen, dass tatsächlich kein Weg an solchen Quantencomputern vorbeiführe, um Quantensysteme zu verstehen. Denn einige Probleme der Quantenphysik scheinen so hochkomplex, dass sie außerhalb der Reichweite klassischer Computer sind.

So lautet zumindest eine Vermutung der theoretischen Informatik. Diese teilt Problemstellungen nach ihrer »Komplexität« auf, also nach der Laufzeit der besten Algorithmen, die sie lösen. Wächst die Dauer, ein Ergebnis zu erhalten, bloß langsam mit der Größe des Problems an, dann gehört es der Komplexitätsklasse »P« an. Falls die Dauer schneller anwächst, sich aber zumindest das Ergebnis schnell überprüfen lässt, fällt die Aufgabe in die Klasse »NP«. Ähnliche Komplexitätsklassen lassen sich auch für Quantencomputer definieren, die völlig andere Arten von Berechnungen ermöglichen: Hier gibt es unter anderem die Klasse »QMA«, die sich selbst für Quantencomputer als besonders hartnäckig erweist.

• P-Probleme
  P-Probleme sind vergleichsweise einfach zu lösen: Der Rechenaufwand steigt nur langsam mit der Größe des Problems an. Möchte man zum Beispiel zwei Zahlen miteinander multiplizieren, kann das bei sehr großen Zahlen zwar aufwändig erscheinen – aber ein Computer kann das stets bewältigen, egal wie riesig die Zahlen sind.
• NP-Probleme
  Bei NP-Problemen ist das hingegen anders. Diese können für einfache Spezialfälle vielleicht noch gelöst werden, aber es gibt keine effiziente Methode, um allgemeine Aufgaben dieser Art zu berechnen. Ein typisches NP-Problem besteht darin, zu einer vorgegebenen Zahl die Primteiler zu bestimmen: jene Primzahlen, die miteinander multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben. Für einfache Beispiele wie 15 lassen sich die Primteiler (3 und 5) schnell ermitteln. Doch wenn man die Primteiler einer 1000-stelligen Zahl berechnen möchte, sind Computer schnell überfordert. NP-Probleme zeichnen sich aber auch dadurch aus, dass sich ihre Lösung einfach überprüfen lässt. Falls mir jemand eine 1000-stellige Zahl und ihre vermeintlichen Primteiler vorgibt, kann ich die Primzahlen miteinander multiplizieren (das ist ja aus mathematischer Sicht einfach, weil es ein P-Problem ist) und sofort sehen, ob das Ergebnis mit der 1000-stelligen Zahl übereinstimmt.

Glücklicherweise gestaltet sich aber nicht jede quantenmechanische Berechnung gleich komplex – einige lassen sich immer noch effizient auf herkömmlichen Rechnern durchführen. Unter anderem ist dabei das Verhalten des sogenannten »Hamiltonian« entscheidend. Dabei handelt es sich um einen mathematischen Operator, der ein Quantensystem beschreibt: Aus diesem lassen sich zum Beispiel die Energien und die zugehörigen Zustände ableiten, zudem ermöglicht er es herauszufinden, wie sich ein System mit der Zeit entwickelt. Diese Informationen sind sehr einfach erhältlich, wenn man den Hamiltonian eines einzelnen, isolierten Teilchens betrachtet. Die Schwierigkeit stellt sich erst ein, wenn man Vielteilchensysteme hat, die auch noch miteinander wechselwirken – was in der Realität eigentlich immer der Fall ist. In solchen Situationen addiert man in der Regel mehrere einzelne Hamiltonians auf, die zum Beispiel jeweils das Wechselspiel von Teilchenpaaren beschreiben. Das Verhalten dieser Einzelhamiltonians untereinander bestimmt, wie einfach oder kompliziert es ist, das dazugehörige Quantensystem mathematisch zu untersuchen.

Ein unerwarteter Graubereich der Quantenmechanik

Falls die einzelnen Hamiltonians miteinander »kommutieren«, es also keinen Unterschied macht, ob man erst den einen mit dem anderen multipliziert oder umgekehrt, dann ist die Berechnung einfach: Häufig lassen sich die zugehörigen Quantenzustände durch klassische Größen beschreiben, wodurch gewöhnliche Computer für die mathematische Untersuchung ausreichen. »Die Rechenkomplexität kommutierender Hamilton-Operatoren ist somit deutlich überschaubarer als die nichtkommutierender Modelle«, schreiben die Autoren der Studie.

Das Problem: Wichtige Probleme der realen Welt, etwa die quantenmechanische Beschreibung von Wirkstoffen und Proteinen, enthalten Hamiltonians, die nicht kommutieren. Einige Fachleute befürchteten, dass damit einhergehende Probleme in die Komplexitätsklasse QMA fallen – und somit unerreichbar sind, solange es noch keine extrem leistungsfähigen Quantencomputer gibt. 

Doch Faisal und seine Kollegen zeigen nun, dass die Welt der Quantenkomplexität nicht so schwarz-weiß ist wie bislang angenommen, sondern es einen großen Graubereich gibt. Dafür haben sie sich Hamiltonians angeschaut, die »fast« kommutieren: bei denen der Unterschied in der Reihenfolge der Multiplikation also sehr klein ausfällt. »Solche Hamiltonians erfassen ein weitaus breiteres Spektrum physikalischer Phänomene, darunter die Erzeugung von Verschränkung, langsame Dynamik und emergierende Erhaltungssätze«, schreiben die Physiker. »Fast kommutierende Hamiltonians nehmen eine faszinierende Zwischenposition ein: Auf den ersten Blick scheinen sie nicht mehr klassisch reduzierbar; und doch sind sie weit davon entfernt, vollständig quantenmechanisch zu sein.«

Diese Systeme verhalten sich weder vollständig klassisch noch vollständig quantenmechanisch

In ihrer Arbeit stellen die Physiker einen Algorithmus vor, der es ermöglicht, jedes fast kommutierende Hamiltoniansystem (bei dem die einzelnen Hamiltonians auf maximal zwei Teilchen wirken) durch kommutierende Hamiltonians anzunähern. Je eher die anfänglichen Hamiltonians fast kommutieren (also je kleiner der Unterschied in der Reihenfolge ihrer Multiplikation), desto besser die Annäherung. Damit lassen sich solche Systeme durch klassische Computer – zumindest näherungsweise – untersuchen.

Die Autoren konnten also zeigen: Fast kommutierende Systeme verhalten sich weder vollständig klassisch noch vollständig quantenmechanisch. Stattdessen bilden sie ein Zwischenregime. Erst wenn die Nichtkommutativität eine gewisse Stärke überschreitet, wird das Problem wirklich komplex und fällt in die QMA‑Klasse. Der Übergang von »einfach« zu »extrem schwierig« lässt sich direkt an einer konkreten mathematischen Größe messen: nämlich daran, wie gut die Operatoren eines Systems kommutieren – oder nicht.