Charles Kane hatte niemals daran gedacht, sich mit Topologen abzugeben. »Ich denke nicht wie ein Mathematiker«, gesteht der theoretische Physiker, der sich eigentlich mit greifbaren Problemen von Feststoffen beschäftigt. Das geht nicht nur ihm so. Physiker haben der Topologie – also der mathematischen Untersuchung von Formen und ihrer Anordnung im Raum – typischerweise wenig Aufmerksamkeit geschenkt. Doch jetzt stürzen sich Kane und viele andere Physiker geradezu auf dieses Forschungsgebiet.

Denn im vergangenen Jahrzehnt sind Wissenschaftler darauf gestoßen, dass die Topologie einzigartige Einsichten in die Physik von Materialien bietet. Etwa darin, wie manche Isolatoren in einer nur ein Atom dicken Schicht an ihrer Oberfläche Strom leiten können.

Einige dieser topologischen Effekte wurden bereits in den 1980er Jahren entdeckt, doch erst in den vergangenen paar Jahren haben Physiker erkannt, dass solche Effekte sehr viel häufiger auftreten und sehr viel bizarrer sind als erwartet. Topologische Materialien »befanden sich direkt vor unserer Nase, doch wir haben sie nicht beachtet«, sagt Kane, der an der University of Pennsylvania in Philadelphia tätig ist.

Die topologische Physik explodiert

Inzwischen explodiert die topologische Physik geradezu. Es gibt kaum noch Forschungsarbeiten im Bereich Festkörperphysik, bei denen nicht das Wort »Topologie« im Titel vorkommt. Und die Experimentalphysiker werden künftig sogar noch fleißiger sein. Eine im Juli 2017 im Fachblatt »Nature« veröffentlichte Untersuchung präsentiert einen Atlas von Materialien, die topologische Effekte zeigen könnten. Damit liefert der Katalog den Physikern eine Vielzahl von Stoffen, bei denen sie nach bizarren Materiezuständen wie Weyl-Fermionen und Quantenspinflüssigkeiten suchen können.

Die Wissenschaftler hoffen, dass topologische Materialien eines Tages zu schnelleren und effizienteren Computerchips führen oder sogar für Quantencomputer verwendet werden können. Schon jetzt finden die exotischen Stoffe Verwendung als virtuelle Laboratorien für die Suche nach exotischen und bislang unentdeckten Elementarteilchen und physikalischen Gesetzen.

»Emergente Phänomene der topologischen Physik sind möglicherweise überall um uns herum am Werk – sogar in einem Stück Gestein«
Zahid Hasan

Viele Forscher sind der Ansicht, der größte Gewinn der topologischen Physik werde ein tieferes Verständnis der Natur der Materie sein. »Emergente Phänomene der topologischen Physik sind möglicherweise überall um uns herum am Werk – sogar in einem Stück Gestein«, sagt Zahid Hasan, Physiker an der Princeton University in New Jersey.

Einige der grundlegendsten Eigenschaften subatomarer Teilchen sind im Grunde genommen topologischer Natur. Ein Beispiel ist der Spin des Elektrons, der nach oben oder nach unten zeigen kann. Kippt man ihn von »Spin aufwärts« nach »Spin abwärts« und dann wieder zurück nach »Spin aufwärts«, so würde man denken, diese Drehung um 360 Grad würde den ursprünglichen Zustand des Elektrons wiederherstellen. Doch verblüffenderweise ist das nicht der Fall.

In der seltsamen Welt der Quantenphysik lässt sich ein Elektron durch eine Wellenfunktion darstellen, in der die Informationen über das Teilchen codiert sind, wie etwa die Wahrscheinlichkeit, es in einem bestimmten Spinzustand anzutreffen. Entgegen unserer Intuition führt die 360-Grad-Drehung zu einer Phasenverschiebung bei der Wellenfunktion, so dass aus Wellenkämmen Wellentäler werden und umgekehrt. Eine weitere 360-Grad-Drehung ist nötig, um die ursprüngliche Wellenfunktion wiederherzustellen.

Wie die Ameise auf einem Möbiusband

Und das ist genau das, was bei einer der unter Mathematikern beliebtesten topologischen Kuriositäten passiert, dem Möbiusband. Es entsteht, wenn man einen Papierstreifen mit seinen beiden Enden ringförmig zusammenklebt, zuvor aber das eine Ende um 180 Grad verdreht. Läuft eine Ameise auf einem solchen Band immer in eine Richtung, würde sie sich nach einem Umlauf auf der Unterseite ihrer Startposition wiederfinden. Erst nach einem zweiten Umlauf wäre sie wieder dort, wo sie losgelaufen ist.

Die Situation der Ameise ist nicht einfach nur eine Analogie für das, was mit der Wellenfunktion eines Elektrons passiert. Es geschieht tatsächlich im abstrakten geometrischen Raum der Quanten-Wellen-Funktionen. Es ist, als ob jedes Elektron ein kleines Möbiusband enthält, das diese interessante Topologie mit sich bringt. Alle Arten von Teilchen, die diese Eigenschaft teilen, darunter Quarks und Neutrinos, werden als Fermionen bezeichnet. Teilchen, die diese Eigenschaft nicht besitzen, wie etwa Photonen, heißen Bosonen.

Die meisten Physiker, die Quantenkonzepte wie den Spin untersuchen, scheren sich nicht um deren topologische Bedeutungen. Doch in den 1980er Jahren begannen Theoretiker wie David Thouless von der University of Washington in Seattle zu vermuten, dass eben diese Topologie für ein überraschendes Phänomen verantwortlich sein könnte, das als Quanten-Hall-Effekt bezeichnet wird. Bei diesem Phänomen ändert sich der elektrische Widerstand in einer nur ein Atom dicken Kristallschicht sprunghaft in diskreten Schritten, wenn das Material sich in einem veränderlichen Magnetfeld befindet. Andererseits ändert sich der Widerstand nicht bei Fluktuationen der Temperatur oder bei Unreinheiten in dem Kristall. Ein so robustes Verhalten war zuvor unbekannt, sagt Hasan, und es ist eine der Schlüsseleigenschaften jener topologischen Zustände, die Physiker jetzt für technische Anwendungen nutzen wollen.

Physik mit einer Drehung

Im Jahr 1982 entschlüsselten Thouless und seine Kollegen die Topologie hinter dem Quanten-Hall-Effekt – was schließlich mit dazu führte, dass Thouless 2016 einen Anteil am Physik-Nobelpreis erhielt. Wie beim Spin des Elektrons zeigt sich die Topologie auch hier in einem abstrakten Raum. Doch diesmal ist die grundlegende Form kein Möbiusband, sondern die Oberfläche eines Torus. Wenn das Magnetfeld stärker oder schwächer wird, bilden sich auf der Oberfläche Wirbel und verschwinden wieder, ähnlich den Windströmungen um das Auge eines Hurrikans (siehe Grafik »Alles aufgewickelt«).

Wirbel besitzen eine »Windungszahl« genannte Eigenschaft. Sie beschreibt, wie oft sie sich um einen zentralen Punkt winden. Die Windungszahl ist eine topologische Invariante – sie ändert sich nicht, wenn man die Fläche deformiert. Außerdem ist die Gesamtsumme aller Windungszahlen der bei den Veränderungen des Magnetfelds auftauchenden und wieder verschwindenden Wirbel konstant. Diese Summe wird als Chern-Zahl bezeichnet, benannt nach dem chinesisch-amerikanischen Mathematiker Shiing-Shen Chern. Sie ist unter Topologen bereits seit den 1940er Jahren bekannt.

Stromfluss ohne Widerstand

Doch die überraschendste Entdeckung stand den Forschern noch bevor. Bis Mitte der 2000er Jahre hatte man den Quanten-Hall-Effekt und andere topologische Effekte lediglich unter dem Einfluss starker Magnetfelder beobachtet. Doch Kane und seine Kollegen sowie ein weiteres unabhängiges Forscherteam bemerkten, dass einige aus schweren Elementen hergestellte Isolatoren über innere Wechselwirkungen von Elektronen und Atomkernen ihr eigenes Magnetfeld mitbrachten. Das stattet Elektronen an der Oberfläche dieser Materialien mit robusten, »topologisch geschützten« Zuständen aus, die einen Stromfluss nahezu ohne Widerstand möglich machen. Hasans Gruppe demonstrierte diesen Effekt 2008 in Wismut-Antimon-Kristallen, die als topologische Isolatoren bezeichnet werden. »Damit begann der Spaß erst richtig«, sagt Hasan.

Die Entdeckung erschütterte die physikalische Welt, urteilt Edward Witten, Theoretiker am Institute for Advanced Study in Princeton. Er ist der einzige Physiker, der jemals die Fields-Medaille verliehen bekommen hat, die höchste Auszeichnung für Mathematiker. Topologische Zustände seien keineswegs exotische Ausnahmen, so Witten, sondern sie böten vielfältige Möglichkeiten zur Entdeckung bislang unbekannter Effekte in der Natur: »Die Denkweise hat sich geändert.«

Kreislauf der Ideen

Eine der größten Überraschungen war es, dass diese Zustände sich häufig mit Theorien erklären lassen, die zur Lösung völlig anderer Probleme aufgestellt worden waren – etwa für die Verbindung der Gravitation mit der Quantenphysik. Konzepte wie Wittens topologische Quantenfeldtheorie, die zu Durchbrüchen in der reinen Mathematik geführt haben, tauchten nun in der Physik an unerwarteten Stellen wieder auf. »Es handelt sich um einen wunderbaren Kreislauf der Ideen«, erklärt der 2019 verstorbene Mathematiker Michael Atiyah, ebenfalls Träger der Fields-Medaille, der an der University of Cambridge in Großbritannien über diese Theorien forschte.

Eine weitere Quelle der Aufregung ist, dass Elektronen und andere Teilchen in topologischen Materialien mitunter Zustände einnehmen können, in denen sie sich kollektiv wie ein einziges Elementarteilchen verhalten. Solche »Quasiteilchen«-Zustände können Eigenschaften aufweisen, die bei natürlichen Elementarteilchen nicht auftreten. Sie können sogar Teilchen imitieren, die von den Physikern erst noch entdeckt werden müssen.

Einige solcher heiß ersehnten Quasiteilchen wurden vor zwei Jahren aufgespürt. Sie werden als Weyl-Fermionen bezeichnet, weil der Mathematiker Hermann Weyl bereits in den 1920er Jahren über masselose Fermionen spekuliert hatte. Alle Fermionen, die im konventionellen Teilchenzoo entdeckt worden sind, besitzen eine Masse. Doch wie Hasan berechnet hat, können topologische Effekte im Inneren von Tantal-Arsenid-Kristallen zu masselosen Quasiteilchen führen, die sich wie Weyl-Fermionen verhalten. Wenn ein Quasiteilchen masselos ist, bewegt es sich unabhängig von seiner Energie stets mit der gleichen Geschwindigkeit.

Hasans Team konnte das 2015 experimentell bestätigen, ebenso wie eine von Hongming Weng an der Chinesischen Akademie der Wissenschaften in Peking geleitete Gruppe. Die Hoffnung der Forscher ist, dass solche Materialien eines Tages in superschnellen Transistoren Anwendung finden. Wenn sich Elektronen durch einen Kristall bewegen, werden sie normalerweise an Unreinheiten gestreut. Das verlangsamt ihre Bewegung. Doch die topologischen Effekte in Hasans Tantal-Arsenid erlauben es den Elektronen, sich ungehindert durch den Kristall zu bewegen.

»Wenn man eine neue Technologie entwickeln will, muss man zunächst das Fundament dafür richtig hinbekommen«
Michael Freedman

Marin Soljačić, Physiker am Massachusetts Institute of Technology in Cambridge in den USA, und seine Kollegen haben inzwischen etwas Ähnliches wie Weyl-Fermionen beobachtet, jedoch nicht in einem Kristall, sondern in elektromagnetischen Wellen. Zunächst formten die Wissenschaftler eine Gyroid-Struktur, ein faszinierendes dreidimensionales Muster, das wie ein System miteinander verbundener Wendeltreppen aussieht, indem sie sorgfältig Löcher in einen Stapel Kunststofffliesen bohrten. Dann feuerten sie Mikrowellen auf den Gyroid und beobachteten, dass sich die Photonen – bei denen es sich um masselose Bosonen handelt – wie die Weyl-Fermionen in Hasans Material verhielten.

Eine der aufregendsten Perspektiven dieses boomenden Forschungsgebiets der topologischen Photonik ist die mögliche Nutzung von Kristallen zur Herstellung optischer Leiter, in denen Licht sich nur in die eine Richtung bewegen kann. Das würde verhindern, dass das Licht an Unreinheiten zurückgeworfen wird, und so die Effizienz von Datenübertragungen über weite Entfernungen verbessern.

Verrücktheit der Quasiteilchen

Auf einer Skala der reinen Verrücktheit gibt es ein Sorte von Quasiteilchen, die Soljačićs Boson-Fermionen noch übertreffen: die Anyonen. Normalerweise sind individuelle Teilchen entweder Fermionen oder Bosonen. Doch Anyonen – Quasiteilchen, die in zweidimensionalen, nur ein Atom dicken Materialien existieren – brechen diese Regel. Die Forscher können diesen Verstoß beobachten, wenn zwei identische Teilchen ihre Plätze tauschen. Bei Bosonen hat ein solcher Tausch keinen Einfluss auf die kollektive Wellenfunktion. Bei Fermionen dagegen verschiebt sich die Phase der Wellenfunktion um 180 Grad, ähnlich wie bei der Drehung eines Elektrons um 360 Grad. Doch bei Anyonen ändert sich die Phase der Wellenfunktion um einen Winkel, der von der Art des Anyons abhängt. Und die Theorie deutet darauf hin, dass in einigen Fällen ein zweiter Platztausch der Anyonen nicht zur Wiederherstellung der ursprünglichen Wellenfunktion führt.

Wenn die Wissenschaftler also eine Vielzahl solcher Anyonen nahe beieinander erzeugen könnten und dann hin und her tauschen würden, würden sich deren Quantenzustände »erinnern«, wie sie gemischt worden sind. Die Physiker können diesen Prozess visualisieren, indem sie die zweidimensionale Bewegung der Anyonen gegen eine dritte Dimension, die Zeit, auftragen. Das Ergebnis ist ein Flechtwerk von Linien, die sich zu hübschen Zöpfen verwickeln. Im Prinzip ließen sich mit solchen Zopfzuständen Quantenbits kodieren. Solche »Qubits« sind die kleinsten Informationseinheiten in Quantencomputern. Die Topologie der Zöpfe würde die Qubits vor externem Rauschen schützen – störenden Einflüssen, die bislang jedes andere Verfahren zur Speicherung von Quanteninformationen beeinträchtigen.

Microsoft übertrug 2005 dem Mathematiker Michael Freedman die Verantwortung für die Forschung des Unternehmens im Bereich Quantencomputer – und investierte damit massiv in Quantenzöpfe. Denn Freedman hatte 1986 die Fields-Medaille für seine Arbeiten über die Topologie vierdimensionaler Sphären erhalten und entwickelte in den 1990er Jahren einige der wichtigsten Ideen zu Zopf-Qubits.

Zunächst konzentrierte Freedmans Team sich auf die Theorie. Doch Ende 2016 stellte Microsoft eine ganze Reihe angesehener Experimentalphysiker aus der akademischen Welt ein. Einer von ihnen ist Leo Kouwenhoven von der Technischen Universität Delft in den Niederlanden. Er hatte 2012 als Erster experimentell bestätigt, dass Teilchen wie Anyonen sich an ihre Vertauschung erinnern. Kouwenhoven baut gegenwärtig ein Labor für Microsoft in Delft auf, dessen Ziel es ist, mit Anyonen Qubits zu codieren und einfache Quantencomputer-Operationen durchzuführen.

Zwar hinkt dieses Verfahren anderen Ansätzen für Quantencomputer um gut zwei Jahrzehnte hinterher. Doch Freedman ist davon überzeugt, dass die Robustheit der topologischen Qubits dem neuen Ansatz letztlich zum Sieg verhelfen wird. »Wenn man eine neue Technologie entwickeln will, muss man zunächst das Fundament dafür richtig hinbekommen«, betont er. Hasan versucht sich an ähnlichen Experimenten, glaubt jedoch, dass es topologische Quantencomputer frühestens in vier Jahrzehnten geben wird. »Meine Prognose ist, dass topologische Phasen der Materie noch für viele Jahre auf die Laboratorien von Universitäten beschränkt bleiben«, führt er weiter aus.

Ein topologischer Atlas

Doch vielleicht gibt es eine Möglichkeit, die Entwicklung zu beschleunigen. Die konventionelle Methode der Experimentalphysiker bei der Suche nach neuen topologischen Isolatoren basiert auf der arbeitsintensiven Berechnung möglicher Energien von Elektronen in jedem Material, um dann daraus die Eigenschaften des Materials vorherzusagen.

Ein von dem theoretischen Physiker Andrei Bernevig an der Princeton University geleitetes Team hat eine Abkürzung gefunden. Die Forscher erstellten einen Atlas topologischer Materialien, indem sie alle 230 unterschiedlichen Symmetrien betrachteten, die in der Kristallstruktur eines Materials existieren können. Dann untersuchten sie systematisch, welche dieser Symmetrien – im Prinzip – zu topologischen Zuständen führen können, ohne dass sie dazu erst alle Energieniveaus berechnen mussten.

Zehntausende topologische Legierungen

Die Forscher gehen davon aus, dass 10 bis 30 Prozent aller Materialien topologische Effekte zeigen könnten. Das wären potenziell Zehntausende von Legierungen. Bislang konnten erst einige hundert dieser topologischen Materialien identifiziert werden. »Wie sich zeigt, kennen wir bisher nur einen kleinen Teil der gewaltigen Menge von topologischen Materialien, die existieren können, und es gibt noch viel, viel mehr davon«, sagt Bernevig.

Zu Bernevigs Team gehören auch drei Experten für die Mathematik von Kristallen von der Universität des Baskenlands in Bilbao. Schon bald können Forscher den »Bilbao Crystallographic Server« konsultieren, um herauszufinden, ob ein bestimmtes kristallines Material potenziell topologisch ist. Bernevigs Methode sei »definitiv ein effizienter Weg«, um nach neuen topologischen Isolatoren zu suchen, unterstreicht Wei Li, Physiker an der Tsinghua-Universität in Peking: »Ich glaube, wir werden damit viele neue Materialien entdecken.«

Ein ganzer Zoo physikalischer Phänomene

»Wenn wir wissen, dass ein Material topologische Materiezustände besitzt, heißt das aber noch nicht, dass wir unmittelbar seine Eigenschaften vorhersagen können«, mahnt Koautorin Claudia Felser, Materialwissenschaftlerin am Max-Planck-Institut für Chemische Physik fester Stoffe in Dresden, zur Vorsicht. Diese Eigenschaften müssten immer noch für jedes Material berechnet und gemessen werden, erläutert sie.

Die meisten der bislang untersuchten topologischen Materialien – einschließlich jener in Bernevigs Atlas – sind relativ einfach zu verstehen, weil die Elektronen in ihnen ihre gegenseitige Abstoßung kaum spüren. Die nächste große Herausforderung für die Theoretiker ist es, »stark wechselwirkende« topologische Materialien zu verstehen, in denen die Elektronen sich stark abstoßen. Wenn die Theoretiker dieses Problem lösen, sagt Hasan, »werden wir einen ganzen Zoo neuer physikalischer Phänomene finden, die wir uns heute nicht einmal vorstellen können«.

Der Artikel erschien im Original unter dem Titel »The strange topology that is reshaping physics« in »Nature«.