Drei Mathematiker haben eine berühmte, 30 Jahre alte Vermutung aus der Geometrie bewiesen. Diese besagt, dass selbst in riesigen, verstreuten und chaotischen Punktansammlungen, die sich über unzählige Dimensionen erstrecken, zwangsläufig einfache, geordnete Formen entstehen.

Der französische Mathematiker Michel Talagrand stellte diese »Konvexitätsvermutung« im Jahr 1995 als pauschale Behauptung über die Geometrie hochdimensionaler Formen auf. Er hätte nie gedacht, dass er ihren Beweis erleben würde. »Das ist das außergewöhnlichste Ergebnis meines ganzen Lebens«, sagt Talagrand, der 2024 mit dem Abelpreis ausgezeichnet wurde, der oft als Nobelpreis der Mathematik bezeichnet wird. Tatsächlich hatte Talagrand bis zuletzt daran gezweifelt, ob seine Vermutung wirklich wahr ist.

Dabei geht es um die Konstruktion »konvexer« Formen, also solcher, die nach außen gewölbt sind, ohne Vertiefungen. Ein Kreis ist beispielsweise konvex, Pac-Man ist es nicht: Verbindet man zwei Punkte oberhalb und unterhalb des Mundes mit einer geraden Linie, verläuft diese außerhalb des gelben Umrisses. Damit eine Form konvex ist, muss jede Linie zwischen zwei Punkten innerhalb dieser Form bleiben. Diese Definition lässt sich verallgemeinern, sodass konvexe Formen auch in hochdimensionalen Räumen existieren. Talagrand interessierte sich insbesondere für Objekte, die Hunderte oder Milliarden von Dimensionen besitzen – oder sogar noch mehr.

Dieses Konzept mag abstrakt und lebensfern erscheinen, doch tatsächlich ist die reale Welt voll von Datensätzen mit unzähligen Parametern, von denen jeder einer Dimension entspricht. »Wir nutzen ständig hochdimensionale Mathematik, ohne es zu wissen: Wann immer wir etwas googeln oder ChatGPT eine Frage stellen«, sagt der Mathematiker Assaf Noar von der Princeton University, der nicht an der aktuellen Arbeit beteiligt war.

Mit einzelnen Punkten zur hochdimensionalen Form

Im Jahr 1995 dachte Talagrand darüber nach, wie man diese hochdimensionalen Formen aus einer Punktmenge konstruieren könnte.

Stellen Sie sich hierzu vor, Sie malen einige Punkte auf ein Blatt Papier. Nun können Sie eine konvexe Form zeichnen, die alle Punkte enthält. Theoretisch könnte man sie in einem großen Kreis einfassen. Dieser Vorgang lässt sich in jede beliebige Dimension übertragen. Tatsächlich gibt es eine bekannte Methode, mit der sich stets eine konvexe Form konstruieren lässt, die alle Punkte enthält. Aber dieses Verfahren wird umso schwieriger, je höher die Dimension ist, da immer mehr mathematische Schritte nötig sind, um die konvexe Form zu erzeugen.

1995 vermutete Talagrand, dass es einen deutlich einfacheren Weg geben könnte, um eine solche konvexe Form aus hochdimensionalen Punkten zu bilden. Optimalerweise, so hoffte er, könnte man ein Verfahren finden, das nicht schwieriger wird, auch wenn die Dimension zunimmt. Selbst in Milliarden von Dimensionen ließe sich dann eine bemerkenswert einfache konvexe Form konstruieren, die die Punkte einfasst.

»Ich habe diese kühne Vermutung wirklich ohne jegliche Grundlage aufgestellt – es war einfach ein Schuss ins Blaue«Michel Talagrand, Mathematiker

Für Personen, die sich mit hochdimensionaler Geometrie auskennen, scheint diese Idee absurd. »Ich habe diese kühne Vermutung wirklich ohne jegliche Grundlage aufgestellt – es war einfach ein Schuss ins Blaue«, erzählt Talagrand. »Wenn man so etwas sagt, hat man das Gefühl, dass es unmöglich wahr sein kann. Das wäre ein absolutes Wunder.«

Der Mathematiker betrachtete seine Vermutung eher als Herausforderung denn als eine zu beweisende Wahrheit. Er wollte Fachleute dazu anregen, ein Gegenbeispiel zu finden: eine hochdimensionale Punktmenge, aus der sich nicht ohne Weiteres eine konvexe Form konstruieren lässt. Jahrelang forschte er an dem Problem und hielt Vorträge darüber. Er bot sogar 2000 US-Dollar für jeden an, der dieses (und ein weiteres, damit verbundenes) Problem lösen würde. 30 Jahre lang nahm niemand die Belohnung in Anspruch.

Eine unerwartete Verbindung

Im Sommer 2025 fand der Mathematiker Antoine Song vom California Institute of Technology jedoch einen Weg, Talagrands Vermutung in die Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie zu übersetzen. Anstatt von konvexen Formen zu sprechen, formulierte er eine Aussage über die Auswahl zufälliger Punkte im Raum, die bestimmten statistischen Regeln entsprechen.

Nachdem sich Fachleute jahrzehntelang den Kopf zerbrochen hatten, schien das Problem plötzlich lösbar. »Es war eine totale Überraschung, und ich dachte, das würde alles verändern«, sagt Assaf Noar. Als Song seinen Durchbruch im Dezember 2025 bei einem Vortrag an der Princeton University vorstellte, ging Noar davon aus, dass bald ein vollständiger Beweis folgen würde. 

Doch Song konnte das fehlende Puzzlestück nicht finden. Er stieß während seiner Bemühungen auf ein mathematisches Objekt, mit dem er nicht vertraut war, und kam nicht weiter. Gemeinsam mit seinem Studenten Dongming (Merrick) Hua beschloss er also, das Sprachmodell ChatGPT zurate zu ziehen. Tatsächlich gelang es ihnen so, die Lücke in ihrem Verständnis zu schließen und einen Beweis für die von ihnen benötigte Aussage zu finden.

»Aus meiner Sicht hat die KI nicht viel verändert«Stefan Tudose, Mathematiker

Kurz darauf meldete sich der Mathematiker Stefan Tudose von der Princeton University, der im Dezember 2025 Songs Vortrag besucht hatte. Tudose war mit dem fraglichen Objekt vertraut und hatte einen eigenen Beweis ausgearbeitet. Song und Hua kamen zu dem Schluss, dass der Beweis von Tudose allgemeiner und aufschlussreicher war als der von ChatGPT. Später fanden sie wirklich ältere Veröffentlichungen mit Ideen, die denen des Chatbots sehr ähnlich waren. 

Dieser Beweis ist vielleicht das weitreichendste mathematische Ergebnis, das explizit die Verwendung eines Sprachmodells erwähnt. Doch letztlich haben die Forschenden den von der KI generierten Teil nicht genutzt. »Aus meiner Sicht hat die KI nicht viel verändert«, sagt Tudose.

Dieses Beispiel zeigt jedoch, dass KI inzwischen zu einem etablierten Werkzeug in der Mathematik geworden ist. »Früher musste man, um sich in unbekannter mathematischer Literatur zurechtzufinden, Spezialisten auf dem Gebiet konsultieren«, sagt Song. »Das Aufkommen von Suchmaschinen hat diesen Prozess beschleunigt – und jetzt machen KI-Tools es noch einfacher.«

Noch ist es zu früh, um die volle Tragweite des Beweises zu erkennen. Aber die Verbindung von Geometrie und Wahrscheinlichkeitstheorie könnte zu Durchbrüchen bei der Verarbeitung hochdimensionaler Datensätze führen. »Ich bin sicher, dass Fachleute diesen Beweis in alle möglichen Richtungen weiterentwickeln werden«, so Talagrand. »Wäre ich 20 Jahre jünger, würde ich ein Jahr damit verbringen, um sicherzustellen, dass ich verstehe, was dahintersteckt.«

Talagrand hat seine ausgesetzten Belohnungen inzwischen zu einem Preis gebündelt, der erstmals im Jahr 2032 oder im Jahr nach seinem Tod verliehen wird – je nachdem, was zuerst eintritt. »Der Gewinner wird von einer Jury ausgewählt, auf die ich keinerlei Einfluss nehmen werde«, sagt Talagrand. »Aber es scheint offensichtlich, dass Song in Betracht kommt.«