Wie lässt sich aus einem ebenen Blatt Papier eine donutförmige Oberfläche formen? Die eleganteste Lösung besteht wohl darin, hierfür die Kunst des Papierfaltens namens Origami zu nutzen. Es finden sich viele Beispiele, wie ein schönes Ergebnis gelingen kann. Doch der Mathematiker Richard Schwartz von der US-amerikanischen Brown University wollte herausfinden, wie man mit möglichst wenigen Schritten zum Ziel kommt. Was ist die kleinste Anzahl an Faltungen, mit denen sich aus einem Blatt ein sogenannter Torus bilden lässt?

In der Fachzeitschrift »PNAS« präsentiert Schwartz nun sein Ergebnis: Mindestens 24-mal muss man das Papier falten. So formt man 16 Dreiecke, die sich in acht Punkten treffen. Für seinen Beweis griff er auf Computersimulationen und Methoden der Analysis zurück – und zog auch an einigen Stellen KI-Chatbots wie ChatGPT zurate. Doch an einer Stelle hätte eine Halluzination des Programms beinahe seine Bemühungen zunichte gemacht.

Aus etwas Flachem eine Krümmung schaffen

Dass sich überhaupt ein Torus aus einem Blatt Papier falten lässt, ist keinesfalls selbstverständlich. Erste Beispiele für eine solche Konstruktion ermittelten die Mathematiker Yuri Burago und Viktor Zalgaller im Jahr 1960. Tatsächlich muss man ein Blatt Papier krümmen, um eine donutförmige Oberfläche zu bilden: Zunächst rollt man es zu einem Zylinder und führt dann die beiden offenen Enden zusammen. Der letzte Schritt funktioniert jedoch nicht, ohne Knicke hervorzurufen. Gleiches ist der Fall, wenn man eine Kugel formen will. Die Regeln des Origami helfen aber. Durch das Falten wird es möglich, manche Krümmungen aus einem ebenen Blatt zu bilden. Auf diese Weise kann ein Torus entstehen, eine Kugel allerdings nicht. 

In den Jahrzehnten nach der Veröffentlichung von Burago und Zalgaller konstruierten Fachleute verschiedenste Arten von Tori aus Origami, die sich aus dreieckigen Flächen zusammensetzten. Die Spitzen der Dreiecke, die an Eckpunkten (sogenannten Vertizes) zusammentreffen, müssen dabei eine Winkelsumme von 360 Grad haben – wie die Stücke einer Pizza, die sich im Mittelpunkt treffen. Zuletzt konstruierte Vincent Tugay im Jahr 2025 einen Origami-Torus mit nur neun Vertizes. Schwartz fragte sich daraufhin, ob man diesen Wert unterbieten könnte. 

Der Mathematiker, der in der Vergangenheit bereits das kürzeste Origami-Möbiusband konstruiert hatte, konnte beweisen, dass ein Torus mit nur sieben Vertizes nicht realisierbar ist. »Der Beweis war ziemlich einfach«, sagt Schwartz, »deshalb hat es mich gewundert, dass ihn noch niemand vor mir geführt hat.« Wie er zeigte, braucht es eine Krümmung, um einen Torus aus Dreiecken mit nur sieben Vertizes zu formen – etwas, was sich mit reiner Origami-Falttechnik nicht realisieren lässt. Nun stellte sich also die Frage, ob man einen Origami-Torus aus acht Vertizes konstruieren kann oder ob Tugay bereits die perfekte Lösung gefunden hatte.

Darum versuchte Schwartz zunächst auf dieselbe Art wie für den 7-Vertex-Fall zu zeigen, dass ein Origami-Torus aus acht Vertizes nicht existieren könne. Doch er scheiterte. Also suchte er nach Beispielen für solche Gebilde. 

»Ich fand das sehr entmutigend, denn ich wollte mich nicht durch Tausende Muster arbeiten. Also gab ich zunächst auf«Richard Schwartz, Mathematiker 

Als Erstes wollte er herausfinden, wie viele unterschiedliche Möglichkeiten es gibt, die Dreiecke im 8-Vertex-Fall auf dem Blatt anzuordnen. Sprich: Wie viele Faltungen sind rein theoretisch möglich? Um sich die Arbeit zu erleichtern, wandte er sich mit dieser Frage an ChatGPT. »Es gibt Tausende davon«, sagte ihm der KI-Chatbot und verlinkte eine Website, auf der das Ergebnis zu finden sein sollte. »Ich fand das sehr entmutigend, denn ich wollte mich nicht durch Tausende Muster arbeiten«, erzählt Schwartz. »Also gab ich zunächst auf.« 

Doch das Thema ließ ihn nicht los. Er fing an, mit einem Bleistift und Papier die diversen Anordnungen von Dreiecken durchzugehen. »Es schien sehr unwahrscheinlich, dass es wirklich Tausende verschiedener Lösungen geben sollte«, sagt Schwartz. »Ich sah mir schließlich die von ChatGPT verlinkte Website an, und es stellte sich heraus, dass es nur sieben Möglichkeiten gibt!« Aus diesen sieben Anordnungen pickte sich der Mathematiker diejenigen heraus, die am vielversprechendsten aussahen. Eine davon erinnerte ihn an die Lösung für das Origami-Möbiusband-Rätsel.

Mit einem Computerprogramm versuchte er dann, die möglichen Anordnungen aus Dreiecken so zu falten, dass ein Torus entsteht – und wurde fündig. Das Ergebnis erinnert nicht allzu sehr an einen Donut, sondern eher an eine Hundehütte. Aus mathematischer Sicht war es allerdings genau das, was er suchte: eine ringförmige Struktur mit einem Loch.

»Der schwierigste Teil der Studie war wahrscheinlich das Debuggen der Computerprogramme«, erklärt Schwartz. »Wann immer man sich mit computergestützter Mathematik beschäftigt, muss man sich absolut sicher sein, dass das Programm einem die Wahrheit sagt.« Er schätzt, dass der endgültige Beweis, mit dem er die Existenz eines Origami-Torus mit acht Vertizes belegte, nur rund zehn Prozent seiner aufgebrachten Zeit ausgemacht habe. Aber damit ist nun der kleinste Origami-Donut gefunden. Aus echtem Papier gefaltet hat ihn Schwartz jedoch noch nicht: »Ich bin furchtbar schlecht darin«, sagt der Mathematiker.