1904 stellte Henri Poincaré eine scheinbar harmlose Frage, die den Lauf der Mathematik entscheidend prägen sollte: Lässt sich alles, was kein Loch hat, zu einer Kugel verformen? Fast 100 Jahre lang versuchten sich die besten Mathematikerinnen und Mathematiker an einem Beweis – doch es schien hoffnungslos. Umso größer war die Überraschung, als Grigori Perelman 2002 eine Lösung vorlegte, die er quasi im Alleingang erarbeitet hatte. Sie lieferte das letzte Puzzlestück, das gefehlt hatte, um Poincarés Vermutung für alle Raumdimensionen zu bestätigen: In jeder Dimension lässt sich ein Objekt ohne Loch zu einer Kugel verformen.

Damit schien die Frage ein für allemal geklärt. Doch für einen gewissen Kreis von Mathematikern ist das Problem damit noch längst nicht beigelegt. Denn im vierdimensionalen Raum bleiben grundlegende Fragen rund um die Poincaré-Vermutung unbeantwortet.

»Dimension vier ist sehr besonders«, sagt der Topologe Ciprian Manolescu von der Stanford University. »Der Raum hat zu viele Dimensionen, um gewöhnliche geometrische Werkzeuge zu benutzen, und ist zugleich nicht hochdimensional genug, um die vielen Freiheitsgrade ausnutzen zu können.«

In vier Dimensionen könnte die Kugel einen »exotischen Zwilling« haben: eine Gestalt ohne Loch, die sich nur über den Umweg einer Figur voller Ecken und Kanten zur Kugel verformen lässt, aber nicht auf glatte Weise (also ohne Ecken und Kanten hervorzubringen). Damit wäre die glatte Version der Poincaré-Vermutung in vier Dimensionen widerlegt.

Dimension vier ist die einzige, in der die glatte Poincaré-Vermutung noch ungeklärt ist. Das ist allerdings bei Weitem nicht die einzige Eigenheit des Vierdimensionalen.

Tatsächlich wirft die vierte Dimension – ausgerechnet jene unseres Universums – so viele grundlegende Fragen auf, dass die Mathematik ihr ein eigenes Forschungsgebiet gewidmet hat. Vor allem fehlt es hierfür an Werkzeugen. Fachleute aus aller Welt arbeiten seit Jahrzehnten daran, neue Techniken zu entwickeln, um vierdimensionale Objekte besser unterscheiden zu können, sie zu vergleichen – und ihre Beschaffenheit zu verstehen.

»Die wichtigste Frage des Gebiets dreht sich aber zweifellos um die glatte Poincaré-Vermutung«, sagt der Topologe Stefan Friedl von der Universität Regensburg. Deshalb gibt es immer wieder Bemühungen, einen exotischen Zwilling der vierdimensionalen Kugel hervorzubringen, der die glatte Version der Vermutung widerlegen würde.

Bislang wurde noch keiner gefunden. Doch das könnte sich jederzeit ändern: In der gesamten Mathematik klären KI-Modelle in immer schnellerem Tempo offene Vermutungen, an denen sich Fachleute seit Jahrzehnten vergeblich abgearbeitet haben. Wie sich zeigt, sind die neuesten Sprachmodelle erstaunlich gut darin, Gegenbeispiele zu mathematischen Annahmen hervorzubringen. Das könnte nun der 4D- Topologie zugutekommen.

»Falls die glatte Poincaré-Vermutung falsch ist und sie sich durch ein konkretes Beispiel widerlegen lässt«, erklärt die Topologin Lisa Piccirillo von der University of Texas in Austin, »dann sollten die KI-Systeme meiner Meinung nach in der Lage sein, ein solches zu finden.«

Zwei verschiedene Arten von Gleichheit

Um zu verstehen, weshalb gerade vier Dimensionen so seltsam sind, muss man sich in das abstrakte Gebiet der Topologie vorwagen. Dabei handelt es sich um eine Art Geometrie, die aber das Messen verlernt hat. In der Topologie geht es zwar oft um geometrische Figuren, allerdings spielen dabei »Details« wie Distanzen oder ihre genaue Krümmung keine Rolle.

So ist eine eingedrückte Kugel mit einer Delle topologisch gesehen identisch zu einer gewöhnlichen Kugel. Ein Kreis ist dasselbe wie ein Viereck. Anschaulich gesprochen gelten zwei Objekte als topologisch gleich, wenn man sie ineinander verformen kann, ohne Löcher in sie hineinzureißen oder sie an einer Stelle zusammenzukleben.

In der Topologie versucht man, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften herunterzubrechen. So lassen sich Aussagen über eine ganze Klasse von Objekten treffen, ohne jedes dafür einzeln untersuchen zu müssen. Ein Beispiel: Man kann jede geschlossene Schleife auf einer Kugeloberfläche zu einem Punkt zusammenziehen. Das gilt für alle zweidimensionalen Oberflächen, die kein Loch haben.

Wenn man hingegen die Oberfläche eines Donuts (mathematisch gesprochen: eines Torus) betrachtet, gibt es zwei Arten von Schleifen, die sich nicht zusammenziehen lassen. Gleiches gilt für alle anderen zweidimensionalen Oberflächen mit exakt einem Loch. So kann man anfangen, verschiedene Arten von Objekten zu untersuchen.

In einer, zwei und sogar drei Dimensionen lässt sich diese Methode problemlos durchführen. Es gibt viele verschiedene Techniken aus der Geometrie, der Analysis und der Algebra, um Oberflächen derart zu untersuchen. Doch ab Dimension vier beginnen die Probleme.

Denn die Verformungen, mit denen man zwei Figuren ineinander umwandelt, können in höheren Dimensionen komplizierter ausfallen. Wenn man eine glatte Figur in eine andere glatte Form kneten möchte, können während des Prozesses plötzlich spitze Ecken und Kanten entstehen. Das ist, als würde der Übergang von einem Kreis zur Ellipse über einen zackigen Stern führen. In einer, zwei oder drei Dimensionen ist das niemals nötig, ab der vierten Dimension lässt sich das in manchen Fällen allerdings nicht umgehen.

Dieses Phänomen hat dazu geführt, dass es in der Topologie zwei Arten von Gleichheit gibt: Einmal sind zwei Objekte allgemein topologisch gleich (»homöomorph«), wenn man sie ineinander verformen kann – unabhängig davon, ob der Prozess glatt abläuft (also ohne Ecken und Kanten hervorzurufen). Es gibt aber auch eine strengere Form von Gleichheit: Zwei Figuren sind »diffeomorph«, wenn sie sich auf glatte Weise ineinander verformen lassen.

In höheren Dimensionen existieren Objekte, die zwar topologisch gesehen gleich sind, aber nicht diffeomorph. Sie lassen sich also nicht auf glatte Weise ineinander umwandeln. Diese bezeichnen Mathematiker als »exotisch«.

Ein Katalog von Formen

Eine der wichtigsten Bestrebungen der Topologie ist es, verschiedene Arten von Objekten zu katalogisieren: Welche sind topologisch gesehen gleich? Und welche sind diffeomorph zueinander?

Für zweidimensionale Oberflächen ist das Poincaré bereits im Jahr 1907 gelungen: Entweder sie sind diffeomorph zur Kugeloberfläche, zu aneinanderhängenden Donuts oder zu aneinanderhängenden projektiven Flächen (zu denen etwa die Kleinsche Flasche zählt). Das heißt: Egal wie kompliziert eine zweidimensionale Figur aussehen mag, sie lässt sich immer in eine der drei Kategorien umformen.

Betrachtet man Verallgemeinerungen von Oberflächen in drei Dimensionen, sogenannte 3-Mannigfaltigkeiten, ergeben sich schon acht verschiedene Kategorien, wie William Thurston bereits im Jahr 1982 vermutet hat. Der Beweis erfolgte aber erst 2002 durch Grigori Perelman, der damit ganz nebenbei auch die dreidimensionale Poincaré-Vermutung belegte: Jede 3-Mannigfaltigkeit ohne Loch lässt sich zu einer 3D-Kugeloberfläche verformen.

Wendet man sich höheren Dimensionen zu, wird es schwieriger. In fünf oder mehr Dimensionen hilft aber der sogenannte Whitney-Trick. Man kann sich hierbei vorstellen, dass man ein Lasso um eine Figur wirft und anhand des Verhaltens beim Zusammenziehen untersucht, ob die Oberfläche Löcher hat. Wie bereits erwähnt, lässt sich auf diese Weise eine 2D-Kugeloberfläche von einem Torus unterscheiden. Das funktioniert auch für Mannigfaltigkeiten, die mehr als vier Dimensionen haben. Wenn man das Lasso zusammenzieht, entsteht eine kreisförmige Fläche, eine Scheibe. Um bestimmen zu können, welche Klasse von Mannigfaltigkeit man vor sich hat, muss man alle möglichen entstehenden Scheiben getrennt voneinander untersuchen. Die Lasso-Flächen können sich aber überlappen – was aus mathematischer Sicht ein Problem darstellt. Hier kommt der Whitney-Trick ins Spiel, mit dem sich zwei Scheiben in Räumen mit mehr als vier Dimensionen separieren lassen.

Er ähnelt dem Vorgang, wenn man zwei sich schneidende Geraden in einer Ebene trennen möchte: Nach links/rechts oder oben/unten ausweichen bringt nichts – sie weisen stets einen Schnittpunkt auf. Nur durch eine dritte Raumdimension kann man die Geraden über die Tiefe separieren. Das lässt sich auf die Trennung von zweidimensionalen Scheiben in fünf Dimensionen übertragen.

Mit der Lasso-Methode und dem Whitney-Trick lässt sich also bestimmen, welche Mannigfaltigkeiten mit einer Dimension von fünf oder mehr diffeomorph zueinander sind. Der Knackpunkt sind demnach 4-Mannigfaltigkeiten, bei denen sowohl herkömmliche geometrische Methoden als auch der Whitney-Trick versagen. »Hier fehlen uns schlicht die Werkzeuge, um zu zeigen, welche Objekte zueinander diffeomorph sind«, sagt Manolescu.

Und es kommt noch schlimmer: 1960 konnte der Mathematiker Andrey Markov beweisen, dass es keinen allgemeinen Algorithmus gibt, der entscheiden kann, ob zwei 4-Mannigfaltigkeiten diffeomorph sind. Dabei ist die Klassifikationsfrage keineswegs nur ein Zeichen der Ordnungsliebe der Mathematik, sondern sie entscheidet auch darüber, ob ein exotischer Zwilling der 4-Sphäre überhaupt nachweisbar wäre.

Eine glatte Übereinstimmung

Doch Mathematikerinnen und Mathematiker lassen sich von solchen Ergebnissen nicht entmutigen. Denn es gibt noch immer die Hoffnung, einen solchen Algorithmus für Spezialfälle zu finden – etwa Mannigfaltigkeiten mit einer festen Lochzahl.

Am spannendsten ist hierbei der Fall ohne Loch – er betrifft die glatte Poincaré-Vermutung. 1982 bewies Michael Freedman zwar, dass sich jede 4D-Mannigfaltigkeit ohne Loch zu einer 4D-Kugeloberfläche verformen lässt. Dabei sind aber auch Verformungen erlaubt, die Ecken und Kanten hervorrufen. Die glatte Poincaré-Vermutung ist jedoch in Dimension vier – und nur da – noch ungeklärt.

»Das ist eine Frage, bei der in der Mathematik kein Konsens herrscht«, sagt Friedl. »Mein Bauchgefühl dazu gebe ich erst nach drei Halben Bier preis.« Auch Manolescu und Piccirillo äußern sich nicht dazu, ob sie die Vermutung für wahr oder falsch halten. »Ich hoffe aber insgeheim, dass sie falsch ist«, sagt Manolescu, »da wir mehr Werkzeuge zur Verfügung haben, um sie zu widerlegen.«

Dabei konstruieren Fachleute Beispiele für 4-Mannigfaltigkeiten ohne Löcher und möchten zeigen, dass diese nicht diffeomorph zur 4-Kugeloberfläche sind. »Es gibt viele mögliche Gegenbeispiele«, erklärt Manolescu. »Wir kennen also viele Formen in vier Dimensionen, die keine Löcher haben – aber wir wissen nicht, ob sie glatt in die Kugel übergehen.«

Wie verformt man vierdimensionale Oberflächen?

Eine der größten Schwierigkeiten in der Topologie besteht darin, herauszufinden, welche Arten von Objekten sich wie aufeinander abbilden lassen. Woran lässt sich beispielsweise erkennen, dass ein Torus und eine Tasse identisch sind?

Topologinnen und Topologen führen dafür in der Regel sogenannte »Invarianten« ein. Das sind Maßzahlen, die von Verformungen unberührt bleiben – zum Beispiel die Anzahl der Löcher. In zwei Dimensionen reicht die Lochzahl aus, um alle Oberflächen zu klassifizieren.

Freedman hatte 1982 bereits bewiesen, dass drei Invarianten nötig sind, um zusammenhängende 4-Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren. Allerdings: Falls diese Maßzahlen übereinstimmen, sind die Objekte zwar topologisch gleich, es ist aber noch nicht geklärt, ob sie auch diffeomorph sind. In der vierdimensionalen Topologie fehlte eine Invariante, die es erlaubt, zwei nichtdiffeomorphe 4D-Mannigfaltigkeiten schnell voneinander zu unterscheiden.

Deswegen griffen Fachleute zunächst auf andere Methoden zurück – die aus einer überraschenden Richtung stammten: In den 1980er-Jahren bemerkte der Mathematiker Simon Donaldson, dass bestimmte physikalische Gleichungen aus der Teilchenphysik, die das Verhalten von Feldern im vierdimensionalen Raum beschreiben, Aufschluss über die Beschaffenheit des Raums selbst geben.

»Man schaut sich diese Gleichungen an und zählt, wie viele Lösungen sie haben«, erklärt Manolescu. Die Anzahl entspricht dann einer Invariante. »Damit lassen sich die zugrunde liegenden 4D-Mannigfaltigkeiten unterscheiden.« Insbesondere kann man so herausfinden, ob sie diffeomorph sind oder nicht.

»Das war eine große Überraschung – und wir verstehen immer noch nicht, warum diese Gleichungen hilfreich sind«, so Manolescu. »Man könnte viele andere Gleichungen aufstellen, die meisten haben aber unendlich viele Lösungen.« Durch die neuen Methoden aus der Physik gab es in der vierdimensionalen Topologie wichtige Fortschritte. So ließen sich erste exotische Zwillinge zu 4D-Mannigfaltigkeiten nachweisen.

Dabei zeichnet sich ein erstaunliches Bild ab. »Wir haben nun einige Beispiele von 4D-Mannigfaltigkeiten, die exotisch sind«, erklärt Piccirillo. »Umgekehrt ließ sich noch nicht beweisen, dass irgendein 4D-Objekt nicht exotisch ist.« Tatsächlich seien zu jedem Beispiel bislang unendlich viele exotische Zwillinge gefunden worden. »Es kann also sein, dass alles in vier Dimensionen unendlich exotisch ist«, sagt die Topologin.

Ob das auch für die 4D-Kugeloberfläche gilt, wird sich auf diese Weise jedoch nicht klären lassen. »Die physikalischen Gleichungen ergeben immer null, sobald die 4D-Mannigfaltigkeit kein Loch hat«, erläutert Piccirillo.

Den gleichen Nachteil weisen auch andere Techniken auf, die im Lauf der Jahre entwickelt wurden, um nichtdiffeomorphe Objekte voneinander zu unterscheiden. Die Ansätze versagen, sobald die Mannigfaltigkeiten keine Löcher haben.

Das Rätsel um die vierdimensionale Kugel

Im Jahr 2009 kam erneut Bewegung in das Fachgebiet. Die vier Topologen Freedman, Robert Gompf, Scott Morrison und Kevin Walker erkannten eine weitere Möglichkeit, um exotische Zwillinge zu finden. Und diese könnte vielleicht auch Mannigfaltigkeiten ohne Löcher voneinander unterscheiden. Dafür nutzten sie Erkenntnisse aus dem Bereich der Knotentheorie.

Obwohl Knoten geschlossene, eindimensionale Kurven im Raum beschreiben, spielen sie in der vierdimensionalen Topologie eine wichtige Rolle. Hier schaut man sich insbesondere an, ob es zweidimensionale Scheiben gibt, die die geschlossenen Kurven begrenzen. Je nachdem, wie diese Scheiben im 4D-Raum angeordnet sein können, lassen sich Aussagen über die zugrunde liegende Topologie treffen. Zum Beispiel auch im Fall von Mannigfaltigkeiten ohne Loch.

Die Idee der vier Mathematiker war folgende: Man nimmt eine 4D-Mannigfaltigkeit und entfernt daraus jeweils ein kleines, kugelrundes Stück. Dadurch hat man eine 3D-Kugeloberfläche entfernt. Auf diese setzt man einen Knoten. Die Forscher erkannten, dass sich die ursprüngliche 4D-Mannigfaltigkeit diffeomorph auf die 4D-Kugeloberfläche abbilden lässt, falls der Knoten im 4D-Halbraum eine Scheibe begrenzt. Falls nicht, hätte man einen exotischen Zwilling konstruiert und so die Poincaré-Vermutung widerlegt.

Damit hatten Freedman, Gompf, Morrison und Walker der Topologie eine Methode geliefert, mit der sich die Poincaré-Vermutung widerlegen ließe – sofern sie denn falsch ist. »Im Prinzip könnte man einfach Beispiele generieren und die Zahlen überprüfen«, sagt Manolescu. »Das habe ich vor etwa fünf Jahren zusammen mit einem Kollegen ausprobiert.« Geklappt habe es aber nicht. »Vielleicht findet jemand morgen ein Gegenbeispiel«, schiebt er nach.

Für die Suche nach solchen Beispielen scheinen Computer gut geeignet – das erkannten auch Gompf, Freedman, Morrison und Walker und äußerten in ihrer Veröffentlichung die Zuversicht auf ein rechnergestütztes Ergebnis. Allerdings ist die Aufgabe extrem aufwendig und war daher bisher nicht realistisch umsetzbar.

Doch inzwischen schöpfen Fachleute neue Hoffnung. Denn neue KI-Modelle scheinen geeignet, um nach speziellen Konstruktionen zu suchen und Gegenbeispiele für die lange bestehende Vermutung hervorzubringen. Lisa Piccirillo ist optimistisch, dass es auch hier klappen könnte – »falls die Vermutung wirklich falsch ist und sie sich auf diese Weise widerlegen lässt«, betont sie.

Manolescu ist etwas vorsichtiger: »Bislang fiel es der KI schwer, geometrisch zu denken. Ich bin zwar skeptisch, aber vielleicht kann sie tatsächlich dabei helfen.« Stefan Friedl zeigt sich hingegen pessimistisch: »Ich denke, die Fragestellung ist zu subtil, als dass man sie mit KI erschlagen kann.« Es fehle eine zündende Idee, die das Fachgebiet vorantreibe.

Friedls Überzeugung könnte aber auch mit einer Wette zusammenhängen, die er vor rund 20 Jahren eingegangen ist. Damals vermutete ein gleichaltriger Kollege, dass die glatte Poincaré-Vermutung bis zur Pensionierung der beiden Forscher gelöst sein würde. Friedl glaubte damals nicht daran – und tut es weiterhin nicht. »Ich hielt mit 100 Tafeln weißer Schokolade dagegen.«

Noch ist unklar, ob diese Wette je entschieden wird. Ebenso offen ist, ob die vierdimensionale Kugel tatsächlich keinen Zwilling besitzt. Vielleicht stößt ein Mensch auf die fehlende Idee, vielleicht findet ein KI-System einen Kandidaten, den bisher niemand gesehen hat. Bis dahin bleibt die vierte Dimension der Ort, an dem selbst eine scheinbar einfache Frage ihre Ecken und Kanten zeigt.