Die Grundbausteine der Zahlentheorie faszinieren Menschen seit Jahrtausenden: Welches Muster steckt hinter jenen Zahlen, die nur durch eins und sich selbst teilbar sind? Unter anderem versuchen Fachleute herauszufinden, wie groß die Abstände aufeinanderfolgender Primzahlen sein können. Das Sprachmodell GPT 5.6 Sol hat nun die bisher beste Abschätzung dafür gefunden: Demnach gibt es unendlich viele Primzahlen p_nund p_n+1, die einen Abstand von mindestens $c\cdot \frac{\log n\cdot \log \log n}{\log \log \log \log n}$ haben, was eine Steigerung des vorigen Lücken-Rekordhalters für große n darstellt. 

Das Abschätzen von großen Primzahllücken geht auf den Mathematiker Robert Rankin zurück, der 1938 bewies, dass es unendlich viele Primzahlen p_nund p_n+1 gibt, die einen Abstand von mindestens $c\cdot \frac{\log n\cdot \log \log n\cdot \log \log \log \log n}{(\log \log \log n{)}^2}$ aufweisen, für eine Konstante c > 0. Im Jahr 2016 konnte der Mathematiker James Maynard von der University of Oxford – und unabhängig von ihm vier weitere Mathematiker – zeigen, dass diese Abschätzung für beliebig große Werte von c gilt. Zudem konnte die Abschätzung der Größe der Primzahllücke verbessert werden zu: $p_{n+1}-p_n>c\cdot \frac{\log n\cdot \log \log n\cdot \log \log \log \log n}{\log \log \log n}$. Umgekehrt ließ sich zeigen, dass Primzahllücken die Größe n^0,525+o(1) nicht übersteigen dürfen.

Nun hat ein anonymer Nutzer mit dem Profilnamen »Dotted Calculator« das KI-Modell GPT 5.6 Sol genutzt, um die Größe der Primzahllücken nochmals zu steigern. Der Beweis wurde bereits formalisiert – also in eine Programmiersprache übersetzt und durch ein (nicht KI-gestütztes) Computerprogramm verifiziert. »Nach einigen Stunden des Nachdenkens und einigen Gesprächen mit Terry Tao und James Maynard bin ich mehr oder weniger davon überzeugt, dass dies richtig ist«, schreibt der Zahlentheoretiker Ben Green von der University of Oxford. »Ich bin erstaunt, wie schnell dies formalisiert wurde.«

Fachleute bemängeln hingegen, dass der Aufschrieb des KI-Beweises nur schwer nachvollziehbar sei. »Wir haben nun diese seltsame, aber immer häufiger auftretende Situation: Es liegt ein vollständiger, aber kaum lesbarer Beweis von einem bislang anonymen Autor vor; es gibt eine knappe Formalisierung, sodass wir wissen, dass er korrekt ist; und wir haben Experten aus dem Fachgebiet, die im Grunde informell verstehen, was die Kernideen sind und warum der Beweis funktioniert«, schreibt Green. »Um aus all dem ein traditionelles, für Menschen lesbares und von Menschen verfasstes Werk zu erstellen, wären jedoch mindestens einige Wochen Arbeit erforderlich.«