Als die Studentin Laura Monk im März 2018 in mein Büro in Straßburg kam, hat sie wohl nicht damit gerechnet, die nächsten Jahre am Klang seltsamer Oberflächen zu forschen. Laura hatte Grundkenntnisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie und eine vage Vorstellung davon, was hyperbolische Flächen sind, also Flächen mit negativer Krümmung, die an jedem Punkt einem Sattel ähneln. Eine Kollegin hatte die Pariser Studentin zu mir geschickt, als sie auf der Suche nach einem Thema für ihre Masterarbeit war. Wie Laura mir später verriet, konnte sie kaum nachvollziehen, warum sie Paris für das Elsass verlassen sollte.

Doch Laura kam genau zur rechten Zeit. Angespornt von anderen Forschungsergebnissen wollte ich mich gerade in zufällig erzeugte hyperbolische Flächen einarbeiten. Ich wollte untersuchen, welche Eigenschaften diese Gebilde haben – vor allem war ich an ihrem »Spektrum« interessiert, ihrem Klang. Gemeinsam mit Laura beschlossen wir, dass sie sich damit beschäftigen sollte.

Was klein begann, nahm im Lauf der Zeit größere Ausmaße an. Tatsächlich konnten wir das Projekt erst 2025 abschließen. Es führte zu einer gelungenen Dissertation, die Laura 2021 verteidigte, und drei weiteren Jahren intensiver Zusammenarbeit, die nicht ohne Schwierigkeiten verliefen. Am Ende waren wir aber schließlich in der Lage, eine jahrzehntealte Vermutung zu beweisen – und damit zu klären, was die tiefsten Töne sind, die hyperbolische Flächen erzeugen.

Ich beschäftige mich seit meiner Doktorarbeit mit hyperbolischen Flächen, wie sie auch der niederländische Künstler M. C. Escher visualisierte. Besonders interessiere ich mich für das Verhalten von Wellen in solchen Geometrien. Während meiner Forschung kam ich mit Kollegen in Kontakt, die ähnliche Eigenschaften für Graphen untersuchen, darunter auch für »zufällige Graphen«.

Ein Graph ist eine Art Netzwerk und besteht aus Knoten, die durch Kanten miteinander verbunden sind. Zwei verbundene Knoten nennt man Nachbarn. Um einen zufälligen Graphen zu erzeugen, verbindet man Knoten und Kanten nach dem Zufallsprinzip – oft jedoch unter bestimmten Vorgaben. So kann man fordern, dass der Graph »regulär« ist, das heißt, dass jeder Knoten gleich viele Nachbarn hat. Die Forschung zu zufälligen Graphen erlebt gerade eine Blütezeit – mit weitreichenden Ergebnissen. Die Erkenntnisse fließen zunehmend in andere mathematische Bereiche ein, darunter in die klassische Geometrie.

Daraus entstand die Idee, nicht nur zufällig erzeugte Graphen, sondern auch zufällige Flächen zu untersuchen. Das Gebiet der zufälligen Geometrie beschäftigt sich mit geometrischen Objekten, die nach dem Zufallsprinzip konstruiert werden. Auf diese Weise entstehen Gebilde, die weniger symmetrisch sind als jene, die unser Gehirn normalerweise bevorzugt. Manche Fachleute hoffen so Objekte zu entdecken, deren Existenz bislang nur vermutet wurde.

Die zufällige Geometrie ist so etwas wie experimentelle Mathematik: Man lässt die Objekte unabhängig von den eigenen Vorstellungen entstehen und versucht dann, das Ergebnis zu beschreiben.

Und tatsächlich hat das Fachgebiet auch Anwendungen außerhalb der Mathematik. Es spielt eine zentrale Rolle bei Versuchen, die Quantengravitation physikalisch zu modellieren – und wird bei der Erzeugung von Bildern, Texturen oder der Modellierung von Kommunikationsnetzwerken genutzt.

Zufällige Bausteine

Viele Modelle zufälliger Geometrie basieren darauf, dass man einfache Bausteine zusammenfügt. Ein Zufallsverfahren bestimmt dann, wie diese miteinander kombiniert werden – man spricht von einem probabilistischen Modell. Je nach Modell unterscheiden sich die Grundbausteine in ihrer Form sowie die Techniken des Zusammenfügens. Man kann sich das wie ein Legospiel vorstellen, bei dem der Zufall entscheidet, welche Teile in welcher Farbe man an welcher Stelle verbindet.

Laura und ich widmeten uns zufälligen hyperbolischen Flächen. Dabei orientierten wir uns an den Fortschritten, welche die herausragende iranische Mathematikerin Maryam Mirzakhani um die 2010er-Jahre herum erzielt hatte. Für ihre Errungenschaften wurde Mirzakhani 2014 als erste Frau mit der renommierten Fields-Medaille geehrt – drei Jahre bevor sie an Krebs verstarb.

Um zufällige hyperbolische Flächen zu konstruieren, muss man zunächst die Grundbausteine definieren, aus denen man sie aufbauen will. Wie sich herausstellt, bieten sich hierbei »ideale Dreiecke« und »hyperbolische Hosen« an. Erstere beschreiben Dreiecke, deren Eckpunkte im Unendlichen liegen, die also auf dem Rand des hyperbolischen Raums liegen. Hyperbolische Hosen hingegen ähneln dem, was wir im Alltag als Hose bezeichnen: Oberflächen mit drei Löchern. Aus diesen Bausteinen lassen sich vielfältige hyperbolische Flächen konstruieren.

Ein erstes einfaches Modell zufälliger hyperbolischer Flächen haben die Mathematiker Robert Brooks und Eran Makover 2004 entwickelt: Hierfür klebt man die Seiten von N idealen Dreiecken zufällig zusammen. So entstehen endlich viele verschiedene Flächen, da es nur endlich viele Verknüpfungen gibt. Die so konstruierten hyperbolischen Flächen sind glatt und besitzen unendliche Spitzen, »hyperbolische Cusps«. Diese lassen sich jedoch »kompaktifizieren«, sodass abgeschlossene, glatte hyperbolische Flächen entstehen. Das Modell wird insbesondere für große N intensiv untersucht, um Flächen mit unerwarteten oder schwer nachweisbaren Eigenschaften zu finden.

Laura und ich studierten die bisherigen Arbeiten zu dem Thema. Unter anderem wurde gezeigt, dass die nach diesem Modell zufällig erzeugten Flächen ^N/₂ Löcher besitzen (Mathematiker sprechen von einem Geschlecht g = ^N/₂). Zudem erfüllen sie, ähnlich wie viele zufällige Graphen, die sogenannte Kleine-Welt-Eigenschaft: Sie sind sehr »gut verbunden«. Das bedeutet, selbst für sehr große N liegen zwei beliebige Punkte auf der Fläche nie weit auseinander.

Gleichmäßiges Auswählen

Das Modell von Brooks und Makover hat einen entscheidenden Nachteil: Es ist nicht gleichmäßig. Das heißt, manche hyperbolische Flächen lassen sich mit diesem Modell gar nicht erzeugen.

Grund dafür ist, dass die Menge aller abgeschlossenen hyperbolischen Flächen mit Geschlecht g = ^N/₂ nicht nur unendlich ist, sondern sogar überabzählbar unendlich. Wenn man allerdings die Anzahl N der Dreiecke festlegt, erhält man nur endlich viele Flächen – und selbst wenn man N variiert, landet man bestenfalls bei einer abzählbar unendlichen Menge.

Das ist ein Problem. Wir arbeiten mit zufälligen hyperbolischen Flächen, um Informationen über möglichst viele Flächen zu gewinnen. Wenn unser Modell aber nur einen kleinen Teil der existierenden Flächen abbildet, sagt es wenig darüber aus, wie eine typische Fläche aussieht. Das wäre, als würde man bei einer Meinungsumfrage nur Menschen aus einer bestimmten sozialen Schicht befragen.

Deswegen wandten wir uns einer anderen Methode zu, um zufällige hyperbolische Flächen zu erzeugen: dem von Maryam Mirzakhani genutzten Weil-Petersson-Wahrscheinlichkeitsmaß.

Um zu verstehen, wie diese Methode funktioniert, kann man zunächst hyperbolische Flächen mit festem Geschlecht g betrachten. Solche Flächen lassen sich in hyperbolische Hosen zerlegen, die entlang ihrer drei Randkurven (den Löchern) zusammengesetzt werden. Für jede Fläche kann man eine solche Zerlegung festlegen. Die Form jeder Hose wird durch die Längen der Randkurven bestimmt, und sogenannte Twists geben an, wie man benachbarte Hosen vor dem Zusammenkleben drehen muss.

Seit den 1930er-Jahren ist bekannt, dass diese Längen- und Twist-Parameter, die »Fenchel-Nielsen-Parameter«, eine hyperbolische Fläche definieren. Eine hyperbolische Fläche vom Geschlecht g zufällig auszuwählen, bedeutet demnach, die Längen und Twists zufällig zu bestimmen. Aber wie legt man diese Parameter so fest, dass jede Fläche »gleichberechtigt« ist – dass also jede Fläche mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird?

Man könnte versuchen, Längen und Twists gleichverteilt zu wählen. Doch dann stößt man unweigerlich auf ein Problem: Ein und dieselbe Fläche kann auf verschiedene Weisen in Hosen zerlegt werden. Fairer Zufall kann nicht auf willkürlichen Entscheidungen beruhen. Ebenso scheint es unfair, die zufällige Auswahl von Flächen von einer vorgegebenen Zerlegung abhängig zu machen.

Glücklicherweise besagt ein Theorem von Scott Wolpert aus den 1980er-Jahren, dass Berechnungen mit dem Weil-Petersson-Maß unabhängig von der gewählten Zerlegung dasselbe Ergebnis liefern. Das rettete unseren Ansatz.

Ein anderes Problem hingegen blieb: Die Twists und Längen der Geodäten können beliebig groß werden. Wenn wir sie gleichverteilt auswählen wollen, ergibt sich eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unendlich statt eins. Das Weil-Petersson-Maß, wie wir es beschrieben haben, definiert folglich keine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Ununterscheidbare Flächen

Grund hierfür ist, dass es unendlich viele mögliche Zerlegungen ein und derselben Fläche gibt. Sobald wir eine solche Zerlegung wählen – die Fläche »markieren« –, unterscheiden wir auch Flächen voneinander, die ohne diese Markierung gleich sind. Mit unserer Methode werden gleiche Flächen demnach als verschieden bezeichnet, weil sie durch unterschiedliche Parameter erzeugt werden. Diese Redundanzen führen dazu, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit unendlich wird.

Um dem Rechnung zu tragen, haben Mathematiker zwei verschiedene Räume definiert. Zunächst den Teichmüller-Raum, der alle markierten hyperbolischen Flächen umfasst (die Benennung nach Oswald Teichmüller ist durchaus umstritten, da er sich für die nationalsozialistische Politik einsetzte; dennoch hat sich der Begriff weltweit durchgesetzt). Im Gegensatz dazu steht der Modulraum, der hyperbolische Flächen umfasst, aber nicht zwischen verschiedenen Markierungen unterscheidet.

Diese beiden Räume lassen sich durch das einfache Beispiel eines Wurfs mit zwei identischen Würfeln veranschaulichen. Im Teichmüller-Raum wären die Würfel markiert, sodass sich das Ergebnis »Würfel 1 = 5; Würfel 2 = 3« von »Würfel 1 = 3; Würfel 2 = 5« unterscheidet. Im Modulraum sind diese beiden Ergebnisse hingegen identisch.

Im Fall zufälliger Flächen löst die Entscheidung, ununterscheidbare Flächen nicht mehrfach zu zählen, das Problem der unendlichen Gesamtwahrscheinlichkeit. Indem wir uns auf den Modulraum konzentrierten, verfügten wir über ein probabilistisches Modell, mit dem sich hyperbolische Flächen zufällig und gleichberechtigt erzeugen lassen.

Allerdings stellte sich die Frage, was wir damit anfangen konnten. Lässt sich mit dieser komplexen Beschreibung überhaupt etwas Konkretes berechnen? Wie groß ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser einer Fläche mit zwei Löchern zwischen 5 und 5,8 liegt?

Konkrete Folgerungen

Die Wahrheit ist, dass wir derzeit kaum etwas berechnen können. Ein Grund dafür: Die Fenchel-Nielsen-Parameter allein reichen nicht aus, um festzustellen, ob zwei Flächen isometrisch sind. Ein weiterer Grund ist, dass sich die meisten interessanten Größen – etwa der Durchmesser – nicht einfach aus diesen Parametern ableiten lassen. Das Wenige, das wir wissen, verdanken wir vor allem den bahnbrechenden Arbeiten von Maryam Mirzakhani.

Sie konnte das erste Problem angehen, indem sie es zunächst zuließ, isometrische Flächen mehrfach zu zählen – und erst anschließend die doppelten Zählungen korrigierte. Das gelang ihr mithilfe geometrischer Formeln, den sogenannten McShane-Identitäten (ursprünglich entwickelt von Gregory McShane, Professor an der Universität Grenoble). Auf diese Weise entwickelte sie eine Formel, mit der sich die Größe des Modulraums abhängig vom Geschlecht g berechnen lässt. Das ist von großer Bedeutung: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich nämlich aus dem Verhältnis der »Menge der Ereignisse« zur »Größe des Modulraums«.

Das war ein riesiger Fortschritt. Doch in der Praxis werden die Berechnungen schnell zu komplex, um sie tatsächlich auszuführen. In gemeinsamen Arbeiten mit dem russischen Mathematiker Peter Zograf konnte Maryam Mirzakhani dennoch die Größen der Modulräume für kleine Werte von g berechnen und für große g näherungsweise abschätzen.

Mirzakhani konnte so eine Reihe von Gleichungen herleiten, die der Physiker Edward Witten im Zusammenhang mit der Quantengravitation vermutet hatte – Gleichungen, die zuvor bereits der Mathematiker Maxim Konzewitsch bewiesen hatte, allerdings mit einer ganz anderen Methode.

Gut vernetzte Flächen

Nach einigen Monaten waren Laura und ich mit den von Maryam Mirzakhani eingeführten Techniken vertraut. Ich wollte nun verstehen, inwieweit die vielen neuen Ideen aus dem Bereich zufälliger Graphen auf Flächen übertragbar sind.

Seit meinen Arbeiten zum Quantenchaos interessierte ich mich besonders für das »Spektrum« hyperbolischer Flächen. Hierbei kann man sich die Fläche als eine Art Gong vorstellen, der von Schwingungen durchzogen wird: Das Spektrum der Frequenzen entspricht den Harmonischen, die das ungewöhnliche Instrument erzeugt. Man spricht auch von Eigenfrequenzen.

Für Geometer ist das Spektrum von großem Interesse. Die niedrigste Eigenfrequenz einer Fläche gibt nämlich an, wie gut die Fläche vernetzt ist. Musiker nennen diese tiefste Frequenz »Grundfrequenz«, Mathematiker sprechen von der »Spektrallücke«. Dabei handelt es sich um eine positive reelle Zahl, die umgekehrt proportional zur Zeit ist, die ein zufällig wandernder Spaziergänger benötigt, um die gesamte Fläche zu durchqueren. Eine große Spektrallücke bedeutet daher, dass die Fläche gut vernetzt ist.

Seit Beginn des 21. Jahrhunderts hat die Erforschung von Spektrallücken zufälliger Graphen – ein Konzept, das der Spektrallücke einer Fläche entspricht – spektakuläre Fortschritte gemacht. Deshalb schlug ich Laura vor, die niedrigen Frequenzen zufälliger hyperbolischer Flächen zu untersuchen.

1974 bewies der Schweizer Mathematiker Heinz Huber, dass die Spektrallücke von Flächen mit großem Geschlecht g einen Schwellenwert von ¹/₄ + ε nicht überschreiten kann (ε ist hierbei ein Fehlerterm, der mit wachsendem g immer kleiner wird). Dieses Ergebnis entspricht auch der physikalischen Intuition: Wir betrachten immer größere Objekte und erwarten daher, dass die Töne, die sie erzeugen, immer tiefer werden. Ihre Grundfrequenz – die Spektrallücke – sollte demnach klein bleiben.

Doch lassen sich Flächen mit großem Geschlecht finden, deren Spektrallücken nahe an diesem Schwellenwert liegen – das heißt Flächen, die optimal vernetzt sind? Und falls ja: Sind solche Flächen selten oder eher häufig?

Es ergibt Sinn, solche Fragen mit zufälliger Geometrie zu untersuchen: An zufälligen Flächen kann man erkennen, wie wahrscheinlich eine Eigenschaft ist und wie häufig ein Phänomen auftritt.

Maryam Mirzakhani verfolgte diesen Ansatz und bewies, dass eine zufällig ausgewählte hyperbolische Fläche mit großem Geschlecht g stets gut vernetzt ist. Dafür arbeitete sie mit der isoperimetrischen Konstante der Flächen; das ist die Länge des Schnitts, der erforderlich wäre, um die Fläche in zwei nicht überlappende Teile zu trennen. Sie konnte diese Konstante für eine zufällige hyperbolische Fläche mit großem Geschlecht abschätzen. Ihr Ergebnis besagt, dass die Spektrallücke einer solchen Fläche größer als 0,02 ist. Anders ausgedrückt: Selbst bei sehr großen zufälligen hyperbolischen Flächen sinkt die Grundfrequenz nicht unter eine bestimmte Grenze. Diese erste Schranke liegt zwar weit unter dem angestrebten Wert von ¹/₄, stellt aber historisch die erste Information in diese Richtung dar.

Während ihres Masterstudiums verfeinerte Laura einige Berechnungen von Maryam Mirzakhani zur Anzahl der Eigenfrequenzen, die eine zufällige Fläche besitzen kann. Ihre Ergebnisse lieferten erste Hinweise darauf, dass Flächen mit einer viel kleineren Spektrallücke als ¹/₄ tatsächlich selten sind.

Ihr Ansatz beruht auf einer doppelten Beobachtung: Zum einen neigen Wellen in einem flachen Raum dazu, sich gerade auszubreiten; in einem gekrümmten Raum ersetzen Geodäten die geraden Linien. Zum anderen entsprechen Eigenfrequenzen in der Physik stehenden Wellen. Man kann daher vermuten, dass die Wellenfronten, die Eigenfrequenzen auf einer hyperbolischen Fläche erzeugen, geschlossenen geodätischen Bahnen folgen – das sind solche, die zu ihrem Ausgangspunkt zurückkehren, ähnlich wie stehende Wellen.

Die niedrigen Frequenzen einer hyperbolischen Fläche hängen also mit ihren geschlossenen Geodäten zusammen. Laura griff deshalb auf die sogenannte Selberg-Spurformel aus dem Jahr 1956 zurück. Diese stellt eine Beziehung zwischen dem Frequenzspektrum einer hyperbolischen Fläche und den Längen ihrer geschlossenen geodätischen Bahnen her.

Die Selberg-Spurformel hat allerdings einen Nachteil: Eine Welle bewegt sich niemals exakt geradlinig, sondern breitet sich aus. Eine stehende Welle folgt darum nicht nur einer einzigen Geodäte, sondern überlagert alle gleichzeitig. Die Überlagerung all dieser Wege stellt ein komplexes Problem dar, mit dem sich zahlreiche Mathematiker und Physiker auseinandersetzen.

Geodäten

Eine von Mirzakhanis Formeln erlaubt es, den Beitrag von einfachen Geodäten – die sich nicht selbst überschneiden – in der Selberg-Spurformel zu berechnen, wenn man über alle Flächen mittelt. Als ich eines Tages darüber brütete, entdeckte ich in dem Ergebnis eine bemerkenswerte Identität, die es ermöglicht, alle Terme der einfachen Geodäten zu vereinfachen. Ich vermutete, dass diese Identität große Fortschritte bei der Abschätzung der Spektrallücke unserer zufälligen Flächen bringen könnte.

Damit war die Arbeit aber noch nicht getan. Wir mussten auch die übrigen Geodäten – jene mit Überschneidungen – verstehen und nach einer ähnlichen Identität in ihrem Beitrag zur Spurformel suchen. Nur dann würde sich die Spurformel nach Mittelung über alle Flächen vereinfachen, und wir könnten die Spektrallücke bestimmen.

Laura war sofort begeistert von dieser Idee. Wir hofften, so beweisen zu können, dass die Spektrallücke einer zufällig ausgewählten Fläche in der Regel größer ist als ¹/₄ – ε (wobei ε wiederum ein Fehler ist, der mit wachsendem Geschlecht der Fläche immer kleiner wird). Anders ausgedrückt: Wir wollten zeigen, dass optimal vernetzte hyperbolische Flächen sehr häufig vorkommen.

Anfangs machten wir schnell Fortschritte. Im März 2020, als ein ein- bis zweimonatiger Lockdown zur Eindämmung von Covid-19 angekündigt wurde, dachte ich: »Genau so viel Zeit brauchen wir, um unseren Beweis fertigzustellen.« Nach zwei Monaten schwand meine Hoffnung, Laura dagegen blieb optimistisch. Sie hatte neue Formeln gefunden, um die Länge nichteinfacher Geodäten zu berechnen.

Bis Anfang 2022 kamen wir jedoch kaum noch voran. Zudem hatten im Jahr zuvor zwei andere Forschungsgruppen große Fortschritte erzielt: Sie konnten zeigen, dass die Spektrallücke einer zufälligen Fläche mit großem Geschlecht größer als ³/₁₆ ist. Damit waren sie nicht ganz bei dem gesetzten Ziel von ¹/₄, aber schon sehr nahe dran. Uns war dieses Ergebnis entgangen, obwohl es mit unserer Methode erreichbar gewesen wäre. Wir begannen uns zu fragen, wie lange wir noch an diesem Projekt festhalten sollten.

In dieser eher pessimistischen Stimmung trafen wir im Mai 2022 Joel Friedman, den wohl besten Kandidaten, um uns aus der Sackgasse zu helfen. Er hatte die Spektrallücke zufälliger regulärer Graphen abgeschätzt und daran rund 20 Jahre lang mit enormem Einsatz gearbeitet. Anfangs konnten wir seine Arbeiten kaum verstehen; nur allmählich erkannten wir, dass er einen ähnlichen Weg verfolgt hatte wie wir. Vielleicht konnte er uns weiterbringen.

Der erste Kontakt verlief gut, und Joel, der in Kanada arbeitet, schlug vor, uns im Herbst 2022 in Frankreich zu besuchen. Hier erklärte er uns seine entscheidenden Ideen, die zu seinem Ergebnis über die Spektrallücke zufälliger Graphen geführt hatten. Wie wir hatte er eine Identität gefunden, mit der sich die Spurformel nach Mittelung über alle Graphen vereinfachen ließ. Doch er war an den »schlechten« Graphen gescheitert – seltene, aber ausreichend häufige Exemplare, die »Verwicklungen« enthalten: Sie zwingen die Geodäten, sich lange in kleinen Bereichen zu winden, was den Graphen eine kleine Spektrallücke verleiht. Diese schlechten Graphen waren ein großes Hindernis für die Anwendung der Spurformel. Folglich musste man sie aussortieren.

Joel Friedman entwickelte dafür eine Formel, die er Möbius-Inversionsformel nannte, angelehnt an eine in der Zahlentheorie bekannte Gleichung. Sie filtert alle Graphen mit Verwicklungen heraus. Diese Methode erläuterte er uns bei seinem Besuch.

In den folgenden zwei Jahren stürzten Laura und ich uns in die Arbeit. Wir versuchten, die Möbius-Inversionsformel von Graphen auf Flächen zu übertragen, was uns vor viele Herausforderungen stellte. Im Februar 2025 war es schließlich so weit: Wir veröffentlichten unseren vollständigen Beweis, in dem wir zeigten, dass zufällige hyperbolische Flächen oft optimal vernetzt sind.

Als ich den Fachartikel zusammenschrieb, durchlebte ich erneut die sechs vergangenen Jahre voller Anstrengungen und starker Emotionen. Dabei gedachte ich auch meines Freundes Nicolas Bergeron, den ich am 1. Dezember 2023 zum letzten Mal sah. Er war damals schwer krank, und die Aussicht auf seinen baldigen Tod belastete uns sehr. Um das Thema zu wechseln, erzählte ich ihm, dass die Spektrallücke einer zufälligen Fläche bis auf ein kleines Epsilon nahe bei ¹/₄ liegt.

Bergeron freute sich über das Ergebnis, allerdings stellte er schnell die Frage, die ich befürchtet hatte: Lässt sich zeigen, dass die Spektrallücke einer zufälligen Fläche tatsächlich größer als ¹/₄ ist – und nicht nur ¹/₄ minus ein kleines Epsilon?

Der Hintergrund zu seiner Frage stammt aus der Zahlentheorie. In diesem Bereich gibt es seit 1956 eine unbewiesene Vermutung von Atle Selberg, wonach bestimmte hyperbolische Flächen, sogenannte Kongruenzuntergruppen, eine Spektrallücke größer als ¹/₄ besitzen. Selberg hatte bewiesen, dass ihre Spektrallücke größer als ³/₁₆ ist, und Zahlentheoretiker konnten diesen Wert schrittweise auf ⁹⁷⁵/₄₀₉₆ ≈ 0,238 steigern. Ich fragte Bergeron, ob man mit diesem Ergebnis, das schon nahe an ¹/₄ liegt, nicht zufrieden sei. Er verneinte: Für Analysten mag dieser kleine Unterschied unbedeutend sein, für Zahlentheoretiker ist er eine gewaltige Herausforderung.

Ich habe wenig Hoffnung, in dieser Richtung weiterzukommen. Ende 2024 wurde bewiesen, dass 69 Prozent der regulären Graphen sogenannte Ramanujan-Graphen sind – also die bestmögliche Spektrallücke besitzen. Analog könnte man demnach vermuten, dass 69 Prozent der hyperbolischen Flächen eine Spektrallücke haben, die größer als ¹/₄ ist. Das beantwortet eventuell Bergerons Frage. Doch ich weiß nicht, wie man das beweisen könnte.

Und selbst wenn ein solcher Beweis gelänge, würde das nichts über die Kongruenzuntergruppen aussagen, die für Zahlentheoretiker von Interesse sind. Diese Flächen sind zu selten, als dass unsere statistische Aussage auf sie zuträfe.

Mein Traum wäre es, auch Kongruenzuntergruppen eine probabilistische Wendung zu geben: eine Möglichkeit zu finden, zufällig eine Fläche aus dieser sehr eingeschränkten Familie auszuwählen und die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Spektrallücke zu bestimmen. Vielleicht ist das ein Thema, dem ich mich in den kommenden Jahren widmen werde.