Der 1988 geborene Jacob Tsimerman erhält 2026 die renommierte Fields-Medaille, unter anderem für seinen Beweis einer 30 Jahre alten Vermutung über seltsame geometrische Objekte namens Shimura-Varietäten. Diese besonderen Konstrukte spielen eine wichtige Rolle in modernen Forschungsbereichen der Zahlentheorie oder beim sogenannten Langlands-Programm – sind aber noch größtenteils unverstanden. Der Beweis von Tsimerman und seinen Kollegen legt einiges über die Gestalt und Zusammensetzung der Objekte offen.

Der japanische Mathematiker Goro Shimura führte eine Spezialform der inzwischen nach ihm benannten Figuren ein, als er sich mit elliptischen Kurven beschäftigte. Seither erwiesen sich Shimura-Varietäten als extrem hilfreich, um eine Brücke zwischen zwei verschiedenen mathematischen Gebieten zu schlagen: der Zahlentheorie und der Geometrie. Insbesondere fragten sich die Mathematiker Yves André und Frans Oort, welche Art von Punkten und anderen geometrischen Formen auf den Varietäten liegt. Diese Überlegungen führten sie schließlich zur André-Oort-Vermutung, die trotz großer Anstrengung 30 Jahre lang ungelöst blieb.

Oft versteht man geometrische Figuren als Sammlungen von Punkten: Ein Kreis zum Beispiel besteht aus allen Punkten in einer Ebene, die den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben. Bei Shimura-Varietäten ist es anders: Jeder Punkt darauf enthält komplexere geometrische Informationen als bloße Koordinaten. So definieren die Punkte etwa elliptische Kurven (Lösungen von Gleichungen der Form y² = x³ + cx + b). Die Punkte einer Shimura-Varietät, die besonders symmetrisch sind, bezeichnen Fachleute als »spezielle« Punkte. Die André-Oort-Vermutung handelt von der Verteilung dieser Punkte auf den Varietäten.

Um zu verstehen, was die Vermutung im Detail besagt, kann man sich die Shimura-Varietät als zweidimensionale Oberfläche in einem 3D-Raum vorstellen, zum Beispiel als eine Kugeloberfläche. Um diese Oberfläche zu untersuchen, kann man darauf verlaufende Kurven untersuchen – diese können kreisförmig sein, ellipsenförmig oder völlig anders aussehen. André und Oort erkannten, dass, falls diese Kurven selbst einer Shimura-Varietät entsprechen, sie entlang vieler spezieller Punkte auf der zugrunde liegenden Varietät verlaufen. Daher haben die beiden Mathematiker eine Maximalzahl vermutet, die begrenzt, wie viele spezielle Punkte eine Kurve schneiden kann, wenn sie keine Shimura-Varietät ist.

Als Tsimerman im Jahr 2009 gerade an der Princeton University promovierte, schlug ihm sein Betreuer Peter Sarnak vor, an der André-Oort-Vermutung zu arbeiten. Sein ehemaliger Student, Jonathan Pila, hatte gerade wichtige Fortschritte gemacht – und Sarnak brachte die beiden zusammen. Vier Jahre später schafften sie es, den speziellen Punkten auf den Varietäten eine Maßzahl zuzuordnen, die sie charakterisiert. Auf diese Weise sollte es einfacher fallen, die Anzahl dieser Punkte zu bestimmen. 

Die Schwierigkeit bestand jedoch darin, dass es viele verschiedene Möglichkeiten gibt, diese Maße zu berechnen – und man sie auf Shimura-Varietäten anpassen musste. Das gelang den beiden Mathematikern schließlich im September 2021 mit der Unterstützung anderer Kollegen, Ananth Shankar, Hélène Esnault und Michael Groechenig: Gemeinsam konnten sie die André-Oort-Vermutung veröffentlichen.

In der Mathematik-Community sorgte nicht nur das Ergebnis für Aufsehen, sondern vor allem die Methoden, welche die Forschenden dabei entwickelten. Viele Fachleute bauen nun darauf auf, um sich weiteren Rätseln des Fachs zu widmen. Auch Tsimerman arbeitet weiter daran.