Der US-amerikanische Mathematiker John Pardon wird für seine bedeutenden Beiträge zur Geometrie mit der renommierten Fields-Medaille geehrt. Er hat unter anderem dazu beigetragen, das Fachgebiet der symplektischen Geometrie aus einer Krise zu manövrieren und auf eine solide Grundlage zu stellen; er hat eine Methode gefunden, um Kurven auf extrem abstrakten Gebilden zu zählen – und eine jahrzehntealte Fragestellung zu Knoten gelöst. All das gelang ihm in einem Alter von nicht einmal 37 Jahren.

»Die interessantesten Probleme sind diejenigen, bei denen man absolut keine Ahnung hat, wo man anfangen soll«, sagte Pardon in einem Interview. Das zeigte sich schon in seiner Kindheit. Wenn seine Eltern, beide begeisterte Wanderer, ihren müden Sohn motivieren wollten, weiterzulaufen, lenkten sie ihn mit mathematischen Rätseln ab. Das Training zahlte sich aus: Bereits während des Studiums gelang es Pardon, eine 30 Jahre alte Vermutung über die Gestalt von Knoten zu widerlegen, die der renommierte Mathematiker Michail Gromow 1983 aufgestellt hatte. 

Gromow forschte damals an mathematischen Knoten, die – im Gegensatz zu Knoten, die wir aus dem Alltag kennen – keine losen Enden haben, sondern in sich geschlossene Schleifen darstellen. Der Mathematiker fragte sich, wie stark sich die Gestalt von Knoten verändert, wenn man sie verformt. Hierzu kann man sich einen Knoten im dreidimensionalen Raum vorstellen: Wenn zwei Punkte im 3D-Raum nahe beieinander sind, wie weit sind sie dann entlang des Knotens höchstens voneinander entfernt? Dieser Unterschied zwischen Abständen im Raum und auf dem Knoten wird durch den sogenannten Dehnungsfaktor eines Knotens erfasst. Gromow vermutete, dass der Dehnungsfaktor stets begrenzt ist.

Diese Vermutung konnte er jedoch nicht beweisen, und auch andere Fachleute scheiterten daran. Im Jahr 2010 zeigte Pardon, dass das auch gar nicht möglich ist – und veröffentlichte ein Gegenbeispiel zu Gromows Vermutung. Wie der damals 21-Jährige herausfand, können sogenannte Torusknoten beliebig große Dehnungsfaktoren aufweisen. 

Kurz darauf widmete er sich dem Bereich der symplektischen Geometrie. Auch hier fand er Wege, schlecht kontrollierbare geometrische Objekte mathematisch zu handhaben.

Diesen besonderen Zweig der Geometrie hatte ebenfalls Gromow Mitte der 1980er-Jahre entscheidend geprägt. Der Bereich beschreibt gewissermaßen Räume voller bewegter Objekte: Statt die Punkte eines Raums nur mit Ortskoordinaten auszustatten, weist man ihnen außerdem Geschwindigkeiten mit einer gewissen Richtung zu. In der Physik erweist sich dieser Ansatz als äußerst hilfreich, und auch in der Mathematik besitzen derartige geometrische Räume spannende Eigenschaften.

Über die Jahre trugen etliche Fachleute mit unterschiedlichsten Schwerpunkten – mit ihren eigenen Definitionen und Schreibweisen – zum jungen Fachgebiet bei. Es ging schnell voran, vielleicht sogar etwas zu schnell. Denn kaum jemand konnte das Fachgebiet überblicken und die neuesten Ergebnisse in aller Ruhe prüfen. In gewissen Teilen der Theorie fehlte eine saubere mathematische Grundlage, auf der man aufbauen konnte. Einige Forschende befürchteten gar, das Fachgebiet könnte von grundlegenden Fehlern durchzogen sein.

Doch gemeinsam mit anderen Fachleuten schaffte Pardon diese Befürchtungen aus der Welt. Ihnen gelang es im Jahr 2017, mit Methoden aus der Algebra eine solide Grundlage für die symplektische Geometrie zu schaffen, auf der Fachleute nun gefahrlos aufbauen können. 

Ein weiterer Durchbruch gelang Pardon im Jahr 2023, als er sich sechsdimensionalen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten widmete. Dabei handelt es sich um sechsdimensionale Verallgemeinerungen von Oberflächen, mit denen sich Fachleute seit Jahrzehnten intensiv beschäftigen – und die dennoch zahlreiche Fragen aufwerfen. Um mehr über die Gestalt und Beschaffenheit komplizierter Figuren herauszufinden, untersuchen Fachleute unter anderem, wie viele und welche Arten von Kurven auf ihnen verlaufen können. Das ist, als würde man eine Form mit Gummifäden bedecken, um sie nachzuzeichnen.

In den 2000er-Jahren wurden Zählweisen entwickelt, die erstaunlicherweise dasselbe Ergebnis lieferten. Es schien, als würden die Techniken übereinstimmen, aber es war unklar, warum. Indem Pardon eine allgemeinere Methode entwickelte, um Kurven zu zählen, konnte er beweisen, dass die verschiedenen Zählweisen übereinstimmen.

In Pardons Arbeiten zeigt sich ein wiederkehrendes Muster: Er nimmt Probleme auf, bei denen nicht nur eine Lösung fehlt, sondern oft schon der richtige Zugang. Bei Knoten, in der symplektischen Geometrie und beim Zählen von Kurven geht es immer wieder darum, schwer kontrollierbare geometrische Objekte so zu fassen, dass sich mit ihnen arbeiten lässt. Gerade darin liegt die Tragweite von Pardons Ergebnissen. Sie beantworten nicht nur einzelne alte Fragen, sondern verändern die Werkzeuge, mit denen andere weiterarbeiten können.