»Ich habe mich lange Zeit mit der Schönheit der traditionellen Mathematik beschäftigt, aber jetzt verspüre ich den Drang, mich mit etwas zu befassen, das etwas bodenständiger ist«, schrieb John Baez im Jahr 2011 in seinem Blog. Als einflussreicher Forscher, der seine Zeit zwischen der University of California in Riverside und der University of Edinburgh aufteilt, war Baez zunehmend um den Zustand unseres Planeten besorgt. Und er war der Meinung, dass Mathematikerinnen und Mathematiker etwas dagegen tun könnten.

Baez forderte die Entwicklung einer neuen Mathematik, er nennt sie »green math«, um die Funktionsweise der Biosphäre und des Klimas der Erde besser zu erfassen. Seinerseits versucht er dafür, die Kategorientheorie, einen der abstraktesten Bereiche des Fachs, auf die Modellierung der Natur anzuwenden.

Das Projekt klingt wie ein Wunschtraum. Mathematik eignet sich zwar gut, um einfache, isolierte Systeme wie Atome oder einen idealisierten Festkörper zu beschreiben. Aber wenn man zu komplexen Organismen bis hin zu ganzen Ökosystemen übergeht, verlieren mathematische Modelle in der Regel ihre Vorhersagekraft. Solche Systeme sind einfach zu kompliziert.

Seit Baez’ Aufruf haben sich ihm mehr als 100 Fachleute angeschlossen. Gemeinsam versuchen sie, reale Systeme auf völlig neue Weise zu modellieren. Der daraus entstandene Forschungsbereich der »angewandten Kategorientheorie« verfügt mittlerweile über eine eigene Fachzeitschrift, eine jährlich stattfindende Konferenz, ein Institut sowie ein von der britischen Regierung finanziertes Forschungsprogramm.

Viele fragen sich, wie einer der abstraktesten Bereiche der Mathematik dazu beitragen könnte, ein so komplexes System wie die Biosphäre zu entschlüsseln

In der Fachwelt herrscht jedoch viel Skepsis. »Wenn ich sagen würde, dass wir Außenseiter sind und uns niemand mag, dann wäre das nicht ganz wahr – aber ein bisschen schon«, sagt der angewandte Kategorientheoretiker Matteo Capucci. Viele fragen sich, wie einer der abstraktesten Bereiche der Mathematik dazu beitragen könnte, ein so komplexes System wie die Biosphäre zu entschlüsseln. Kann die Kategorientheorie die bisherigen Modellierungsansätze tatsächlich verbessern?

In den vergangenen Jahren hat der abstrakte Forschungsbereich einige Erfolge verbucht. Die Anwendungen sind zwar noch nicht so grün, wie Baez gehofft hatte. Aber der Ansatz zeigt Potenzial in diversen Bereichen, darunter in der Epidemiologie oder der künstlichen Intelligenz. Es scheint, als könnten die abstraktesten Idealisierungen dabei helfen, die chaotische Realität besser zu verstehen.

Abstrakter Unsinn oder Wunderwaffe?

Die Kategorientheorie entstand im Jahr 1945 als Versuch, die Beziehungen zwischen mathematischen Objekten zu formalisieren. Kurz darauf entwickelte sich die Theorie zu einem mächtigen und produktiven Zweig der Mathematik.

In der Mathematik gibt es verschiedenste Objekte, etwa Zahlen, Funktionen oder Mengen. Anders als andere Fachleute definieren Kategorientheoretiker ein Objekt allein anhand seiner Beziehung zu anderen Objekten. Einen schwarzen König beim Schachspiel könnte man zum Beispiel so beschreiben: »Es ist ein Stück Holz, das in eine bestimmte Form geschnitzt und schwarz bemalt wurde«, sagt der Mathematiker Tom Leinster von der University of Edinburgh, »aber das trifft auch auf einen Salzstreuer zu«. Vielmehr zeichnet sich der schwarze König dadurch aus, wie er sich auf dem Schachbrett bewegt und wie er gegnerische Figuren schlagen oder von ihnen schachmatt gesetzt werden kann. Nach dieser Philosophie arbeitet die Kategorientheorie.

Eine Kategorie ist eine Sammlung von Objekten und deren Beziehungen zueinander, die als Morphismen bezeichnet werden. Zum Beispiel bildet das Schachspiel eine Kategorie. Diese lässt sich als Diagramm darstellen, bei dem jedes Objekt – eine zulässige Schachstellung – als Punkt markiert wird. Die Punkte verbindet man dann untereinander durch Pfeile, welche die Morphismen repräsentieren, also die möglichen Spielzüge. Kategorientheoretiker untersuchen, wie man verschiedene Kategorien abbilden oder verbinden kann.

Tatsächlich haben wir alle ein intuitives Verständnis von Kategorien. Wir wissen zum Beispiel, dass 5 Meter und 5 Euro nicht dasselbe sind. Man kann 5 Meter mit 3 Metern multiplizieren, um 15 Quadratmeter zu erhalten. Aber man kann 5 Euro nicht mit 3 Euro multiplizieren – es gibt schließlich keine Quadrateuro. Man kann 5 Euro und 3 Euro addieren oder 5 Euro mit der Zahl 3 multiplizieren. Aber 5 Euro mal 3 Euro ist bedeutungslos.

Für einen Kategorientheoretiker sind Geldwerte daher Elemente eines »eindimensionalen Vektorraums«. Stellen Sie sich dazu die Zahlengerade vor: Ein Geldbetrag ist wie ein Pfeil (ein Vektor), der am Nullpunkt verankert ist und eine gewisse Strecke entlang der Geraden markiert. Man kann zwei Vektoren addieren, indem man sie aneinanderreiht, aber das Multiplizieren von Vektoren ist in der Kategorie der eindimensionalen Vektorräume nicht möglich.

Im Alltag können wir auch ohne komplizierte Vektorräume und Morphismen mit Geldbeträgen und Distanzen arbeiten, ohne Fehler zu machen. Aber wenn die Konzepte komplexer werden, kann der abstrakte Rahmen der Kategorien durchaus hilfreich sein, um Probleme zu vermeiden. »Wenn man ein Modell in herkömmlicher Software schreibt und 35 in das Programm eingibt, sagt das nichts darüber aus, ob es sich um 35 Euro, 35 Personen oder 35 Einzeldosen eines Medikaments handelt«, erklärt Baez. »Man fasst all das also einfach als Zahlen zusammen, und so kann es leicht zu Fehlern kommen.« 

Die angewandte Kategorientheorie bietet daher einen Rahmen, um reale Systeme in Form von Objekten und Morphismen zu modellieren. »Kategorien sind Wege, logische Strukturen zu organisieren«, erklärt Brendan Fong, Mitbegründer und CEO des Topos Institute in Berkeley, das sich Anwendungen der Kategorientheorie widmet.

Eine Theorie geht in die Praxis

Der Physiker Bob Coecke wandte die Kategorientheorie in den 2000er-Jahren auf die Quantenmechanik an, was seitdem auf Überlegungen zur Quanteninformatik ausgeweitet wurde. Einige Jahre später begann Baez, über die Kategorisierung der Biosphäre nachzudenken, während sich sein Kollege David Spivak, Mitbegründer des Topos Institute, mit Anwendungen auf Datenbanken beschäftigte. »David Spivak hat ein echtes Bedürfnis, die Welt zu formalisieren und lesbar zu machen«, sagt Fong. »Was er am meisten hasst, sind Missverständnisse.«

Im Jahr 2022 erklärte Spivak in einem Vortrag seine Anwendungsidee: Ein Buchhalter berichtet einem Kategorientheoretiker von den Objekten in seiner Datenbank, etwa Mitarbeitenden und Geldbeträgen. Der Kategorientheoretiker entwickelt daraufhin ein formales Modell des Systems (eine Kategorie mit einer strengen logischen Struktur), das sich dann mit anderen Kategorien (die anderen Datenbanken und Tabellenkalkulationen entsprechen) verknüpfen lässt, um ein gesamtes Unternehmen zu modellieren. Auf die Weise kann man mithilfe der Kategorientheorie über die unterschiedlichen Teile eines riesigen Gesamtsystems sprechen. 

»Man muss viel investieren, bevor man die Vorteile nutzen kann«Amar Hadzihasanovic, Mathematiker

Auch bei der Klimaforschung geht es darum, ein gigantisches System zu modellieren: die Erde. Experten aus verschiedenen Bereichen müssen hierbei ihr Wissen und ihre Daten zusammenführen, um das große Ganze zu verstehen. Doch wie Baez und andere Fachleute anmerken, spielt die angewandte Kategorientheorie in der Klimawissenschaft keine Rolle. Unter anderem, weil die bestehenden Klimamodelle funktionieren – trotz mangelnder mathematischer Strenge bei ihrer Entwicklung. Diese Strenge könnte die Modelle jedoch besser und flexibler machen, zudem ließen sich so einfacher neue Informationen integrieren.

Allerdings erfordert ein Neuanfang sowohl Überzeugungsarbeit als auch erhebliche Anstrengungen. »Das ist eine der Herausforderungen, mit denen wir in der angewandten Kategorientheorie immer konfrontiert sind«, erklärt Amar Hadzihasanovic von der Technischen Universität Tallinn in Estland. »Wir können zu den Leuten gehen und ihnen sagen: ›Euer Modell wäre besser, wenn ihr es nach diesen Grundprinzipien aufbauen würdet‹, und sie antworten: ›Okay, aber wie lange wird das dauern?‹. Man muss viel investieren, bevor man die Vorteile nutzen kann.«

Von der Simulation von Krankheitsausbrüchen bis hin zu KI

Abseits der Klimamodellierung hat die angewandte Kategorientheorie allerdings bereits zu Fortschritten geführt. Während er sich an der University of Saskatchewan mit Kanadas Pandemiebekämpfung beschäftigte, war der Informatiker Nate Osgood frustriert: Die vorhandene Modellierungssoftware ermöglichte es nicht, dass Experten ihr Wissen aus verschiedenen Fachgebieten miteinander verbinden. Daher arbeitet er mit Baez und dem Topos-Institut zusammen, um die Ausbrüche von Krankheiten besser zu modellieren. 

Um den Verlauf eines Krankheitsausbruchs vorherzusagen, verwenden Epidemiologen häufig Flussdiagramme: Darstellungen mit Personenbeständen (anfällig, infiziert, genesen, verstorben) und Pfeilen, welche die Ströme zwischen ihnen auf der Grundlage von Faktoren wie Exposition oder Virulenz zeigen. Bestände und Ströme sind dabei nichts anderes als Objekte und Morphismen im Sinn der Kategorientheorie. Die Anordnung von Punkten und Pfeilen in den Diagrammen lässt sich somit in Gleichungen übersetzen, welche die Entwicklung des Systems beschreiben.

2022 haben Osgood und Baez gemeinsam mit ihrem Team das Softwarepaket StockFlow entwickelt, das diese Art der Modellierung formalisiert. Fachleute können damit verschiedene Aspekte eines Ausbruchs simulieren, beispielsweise wie sich gesundheitliche Ungleichheiten auf die Infektionsraten anfälliger Personen auswirken. Derartige Kategorien lassen sich dabei zu größeren zusammenfassen. »Die Kategorientheorie ist in der Lage, die komplexeren Formen der Zusammensetzung zu bewältigen«, sagte Baez.

Noch ist StockFlow unter Epidemiologen nicht verbreitet. Aber Osgood vermittelt es seinen Studierenden in der Hoffnung, die nächste Generation der Modellrechnung damit zu inspirieren. »Das ist eine Sache, die ernsthaft genutzt werden könnte«, sagt Leinster.

»Wir entwickeln eine grundlegende Technologie, die sich in so vielen Situationen einsetzen lässt«Matteo Capucci, Mathematiker

Unterdessen widmen sich Hadzihasanovic und Capucci einem völlig anderen Anwendungsbereich. Sie sind beide Mitglieder von Safeguarded AI, einem Teil des von der britischen Regierung geförderten ARIA-Projekts, das die Kategorientheorie auf das Problem der KI-Sicherheit anwendet. Sie untersuchen dabei, wie man fehleranfällige KI-Systeme in risikobehafteten Bereichen wie Kernkraftwerken oder Stromnetzen einsetzen kann.

Die Fachleute erstellen hierfür formale Modelle der komplexen Umgebungen, an denen die KI üben kann. Die Modelle müssen dabei dieselbe logische Struktur wie die reale Umgebung aufweisen. Das heißt: Die Morphismen zwischen den vielen verschiedenen Objekttypen müssen richtig abgebildet werden. »Die Kategorientheorie bietet eine modulare Methode, dies zu erreichen«, sagt Capucci. »Wir entwickeln eine grundlegende Technologie, die sich in vielen Situationen einsetzen lässt.«

Die Grenzen der Theorie

Angewandte Kategorientheoretiker sind überzeugt, dass sich ihr Ansatz langfristig auszahlen wird. Denn unsere Welt wird stets komplexer und vernetzter, zudem spielt KI eine immer größere Rolle. Improvisieren reiche da auf Dauer nicht aus. »Das wird letztendlich eine sehr wichtige Arbeit sein«, erwartet Hadzihasanovic.

Viele Mathematikerinnen und Mathematiker widmen sich diesem neuen Fachgebiet, weil sie Baez’ Umweltethos teilen und hoffen, sich bedeutenden Problemen zu widmen. Baez setzt weiterhin große Hoffnungen in die Zukunft. So wie seine Cousine Joan Baez, Folksängerin und Aktivistin, wurde er stark von ihrem Vater beeinflusst, einem Physiker und sozial engagierten Quäker. Es sei daher tief in ihm verankert, die Welt zu verbessern, sagt John Baez, und nicht nur sein eigenes Vergnügen zu suchen.

Deswegen hat er sich in seiner Forschung der Biosphäre gewidmet. Baez ist der Ansicht, dass wir biologische Systeme falsch kategorisieren. Wir verwechseln sie mit Maschinen, die bestimmte Aufgaben erfüllen, indem sie Materie und Energie aufnehmen und gewünschte Ergebnisse sowie Abfall produzieren. »Wir konzentrieren uns aber nur auf den Teil, der uns wichtig ist – und ignorieren den Abfall und die Frage, woher die Energie kommt«, stellt Baez fest. »Unsere gesamte Technologie und unsere gesamte Mathematik basieren auf dieser Haltung.«

Seiner Überzeugung nach gehören lebende Systeme zu einer anderen Kategorie. Sie sind nicht darauf ausgelegt, Aufgaben zu erfüllen. »Die Evolution hat das Leben unglaublich subtil und kompliziert gemacht, auf eine Weise, die wir nicht vollständig ergründen können«, sagt er. Gene sind zum Beispiel keine isolierten Bauteile einer Maschine mit einem einzigen Zweck; sie alle haben zahlreiche Rollen und Auswirkungen. 

»Diese Haltung führt letztendlich zur Zerstörung des gesamten Planeten«John Baez, Mathematiker

»Ich glaube nicht, dass wir bereits über die Mathematik verfügen, um solche Systeme zu verstehen«, ist Baez überzeugt. Vielmehr werde die Modellierung biologischer Kreisläufe neue Kategorien mit bisher unerforschten logischen Strukturen erfordern. »Das ist die Art von Mathematik, die ich entwickeln möchte.« Baez hofft, dass sie dabei helfen wird, umweltfreundlicher zu sein. »Wir müssen die Welt ein bisschen besser verstehen und dürfen die Natur nicht als Rohstoff betrachten, den unsere Maschinen ausnutzen können, um das zu tun, was wir wollen«, mahnt er. »Diese Haltung führt letztendlich zur Zerstörung des gesamten Planeten.«

Vermutlich könnten wir Tiere, Ökosysteme und das Klima tatsächlich besser wertschätzen, wenn wir sie und uns selbst als Objekte einer gemeinsamen Kategorie betrachten. Die Zeit wird zeigen, ob dieser Ansatz der Menschheit oder dem Planeten wirklich helfen wird. Aber für diejenigen, die sich berufen fühlen, Gutes zu tun und Mathematik zu betreiben, ist es einen Versuch wert.