KI als Inspiration: Erneut fällt eine langjährige mathematische Vermutung
In der Mathematik ist eine neue Ära angebrochen. Immer wieder berichten Schlagzeilen von mathematischen Durchbrüchen, die auf den Einsatz moderner KI-Technologien zurückgehen. Die Programme haben es inzwischen sogar Laien ermöglicht, hoch spezialisierte Probleme des Fachs zu lösen. Im Mai 2026 gelang es einem Sprachmodell erstmals, ein bedeutsames Rätsel zu knacken, indem es eine langjährige Vermutung aus der Kombinatorik widerlegte. Die dabei entwickelten Verfahren haben anschließend Mathematiker aus Fleisch und Blut inspiriert: Mithilfe der Ansätze der KI fanden sie ein Gegenbeispiel für eine weitere seit Langem offene Vermutung – das sogenannte Summen-Produkt-Problem, das der renommierte Mathematiker Paul Erdős bereits 1974 formuliert hatte.
Erdős gilt als einer der produktivsten und umtriebigsten Mathematiker aller Zeiten. Im Austausch mit unzähligen Kolleginnen und Kollegen sammelte er Probleme aus den verschiedensten Gebieten der Mathematik, für deren Bearbeitung ihm selbst manchmal die Zeit fehlte. Für viele dieser Fragen setzte er deshalb Preisgelder aus – in der Hoffnung, andere zur Lösung anzuspornen.
Mehr als 1000 dieser Aufgaben sind bis heute noch offen. Da sie gut dokumentiert sind, gelten sie aktuell als Testfeld für KI-Systeme. Dabei sind nicht alle Erdős-Probleme gleich bedeutsam: Viele betreffen nicht besonders weitreichende Behauptungen, weshalb sich Fachleute noch nicht an ihnen versucht haben. Anders ist es hingegen beim »Unit Distance Problem«, das Erdős 1946 veröffentlicht hat. Es gilt als das »bekannteste und am einfachsten zu erklärende Problem der kombinatorischen Geometrie«, wie es im 2005 erschienenen Fachbuch »Research problems in discrete geometry« heißt. Jahrzehntelang waren Forschende daran gescheitert, bis eine KI von OpenAI es im Mai 2026 löste.
Das Problem dreht sich um die Frage, wie viele Punktpaare denselben Abstand haben können, wenn man sie in einer Ebene platziert. Erdős hatte dafür eine Obergrenze vermutet – doch das Sprachmodell fand Anordnungen, die diese überschreiten. Dafür nutzte das System eine Methode aus der algebraischen Zahlentheorie, mit der sich hochdimensionale Strukturen erzeugen lassen. Aus diesen konnte die KI dann Punktanordnungen schaffen, die mehr Punktpaare gleicher Distanz enthalten, als es Erdős und andere für möglich hielten.
Zündende Idee für zwei Probleme
Der Mathematiker Thomas Bloom von der University of Manchester zeigte sich beeindruckt davon, dass die Zahlentheorie das geometrische Problem lösen konnte. Bloom hatte sich zuvor mit einer anderen Vermutung von Erdős aus dem Jahr 1974 beschäftigt, dem sogenannten Summen-Produkt-Problem. Nachdem er die KI-Lösung gesehen hatte, drängte sich ihm der Gedanke auf, dass die Methode aus der Zahlentheorie auch hierfür hilfreich sein könnte.
Die Summen-Produkt-Vermutung handelt von Zahlenmengen. Wenn man eine Menge mit verschiedenen Zahlen hat, etwa {1, 2, 3}, dann konstruiert man daraus zunächst zwei neue Mengen: Für die erste addiert man paarweise alle Elemente – was {2, 3, 4, 5, 6} liefert – und für die zweite multipliziert man alle Elemente paarweise miteinander, was zu {1, 2, 3, 4, 6, 9} führt. Die entstehenden Mengen unterscheiden sich in der Regel in ihrer Größe. Erdős gab eine Untergrenze an, die besagt, wie klein die größere der beiden Mengen höchstens sein darf – unabhängig von der Ausgangsmenge.
»Die eigentliche Überraschung ist, dass es so einfach war«Thomas Bloom, Mathematiker
Doch Bloom und seine Kollegen konnten Erdős’ Grenze unterschreiten, indem sie die hochdimensionalen Methoden der KI anwendeten. Sie konstruierten eine Menge, für die sowohl die Menge der paarweisen Produkte als auch die der Summen kleiner als die von Erdős postulierte Untergrenze ausfiel. »Die eigentliche Überraschung ist, dass es so einfach war«, sagte Bloom gegenüber dem »New Scientist«. »Die Konstruktion lässt sich so einfach beschreiben, und wir verstehen jetzt, warum Erdős’ Vermutung nicht zutrifft. Das dürfte uns auch bei vielen anderen verwandten Problemen helfen.«
Allerdings gilt das Ergebnis von Bloom und seinen Kollegen nur für Mengen, die aus seltsamen Arten von Zahlen bestehen (»algebraische ganze Zahlen« und »p-adische Zahlen«) – und nicht für Mengen gewöhnlicher ganzer Zahlen, wie es Erdős eigentlich im Sinn hatte. Für diesen Fall ist die Vermutung noch ungelöst. Trotzdem verdeutlicht das Resultat die entscheidende Rolle, die KI-Modelle nun in der Mathematik einnehmen. Nicht nur können die neuen Systeme eigenständige Beweise führen und so neue Erkenntnisse liefern. Die Methoden des maschinellen Lernens können auch Menschen inspirieren und das Fach auf diese Weise nachhaltig prägen.
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