Er hat es schon wieder getan: Der Mathematiker Levent Alpöge, heute bei der KI-Firma Anthropic, scheint erneut ein bedeutendes Mathematikproblem mithilfe von KI gelöst zu haben. Nach der Jacobi-Vermutung undelliptischen Kurven von Grad 30 und 31 folgt offenbar die Hopf-Vermutung aus dem Jahr 1947. Diese fragt, ob sich sechsdimensionale Kugeln auch durch das Reich der komplexen Zahlen beschreiben lassen, die Wurzeln aus negativen Werten enthalten. Laut Alpöge lautet die Antwort: Ja. Überprüft wurde das Ergebnis jedoch noch nicht.

Die Hopf-Vermutung ist eines der wichtigsten offenen Probleme der Differenzialgeometrie. Es geht dabei um die Frage, welche Objekte sich statt durch reelle auch durch komplexe Zahlen beschreiben lassen. Der Vorteil einer komplexen Beschreibung besteht darin, dass viel mehr mathematische Werkzeuge zur Verfügung stehen, die einige Berechnungen erheblich erleichtern. Zum Beispiel besitzt die 2D-Kugeloberfläche eine komplexe Struktur. Man kann sie daher durch eindimensionale komplexe Koordinaten beschreiben, was zu weitreichenden Ergebnissen geführt hat – etwa, dass sich ganze Klassen von Funktionen auf der Kugel durch Polynome ausdrücken lassen.

Daher stellte Heinz Hopf in einer Arbeit die Frage: »Kann man jede orientierbare Mannigfaltigkeit (eine hochdimensionale Verallgemeinerung von Oberflächen, Anm. d. Red.) gerader Dimension durch Einführung geeigneter lokaler Koordinaten zu einer komplexen Mannigfaltigkeit machen?« Der Mathematiker konnte sie direkt verneinen, indem er bewies, dass es unendlich viele Mannigfaltigkeiten gibt, die keine komplexe Struktur erlauben. Unter diesen finden sich alle hochdimensionalen Verallgemeinerungen von Kugeloberflächen – bis auf die sechsdimensionale. Der Fall der 6D-Kugel blieb weiterhin offen.

Über Jahrzehnte bissen sich zahlreiche Fachleute an diesem Fall die Zähne aus. Immer wieder tauchten Beweise und Gegenbeweise zur Vermutung auf, dass es eine komplexe Struktur für die sechsdimensionale Kugeloberfläche gibt. Doch alle erwiesen sich bislang als falsch. 

Nun könnte eine KI das Problem gelöst haben. Der Anthropic-Mitarbeiter und Mathematiker Alpöge nutzte ein noch nicht öffentlich zugängliches KI-Modell, um die Hopf-Vermutung zu lösen. Mit einem weiteren Sprachmodell verschriftlichte Alpöge den Beweis. Dieser lässt sich inzwischen auf mehr als 100 Seiten nachlesen. Für den Beweis hat die KI offenbar eine dreidimensionale komplexe Struktur erzeugt und gezeigt, dass es sich hierbei um die sechsdimensionale Kugeloberfläche handelt.

Die Idee scheint nachvollziehbar, aber die Details müssen geprüft werden. Viele Fachleute bemängeln jedoch, dass die Ausformulierung des Beweises unübersichtlich sei und eine Prüfung daher wohl viel Zeit in Anspruch nehmen werde – gerade weil die Veröffentlichung ohne Autor erschien und es daher keinen Ansprechpartner gibt.

»Insgesamt sind die Umstände wieder wie meistens bei den öffentlichkeitswirksamen Ankündigungen der Tech-Konzerne: Man weiß nicht, wie viele Prompts nötig waren, um zu dem Ergebnis zu kommen, wie viel menschliches Finetuning es brauchte und so weiter – und das Überprüfen soll jetzt wieder die mathematische Community übernehmen«, sagt die Mathematikerin Ilka Agricola von der Universität Marburg.