Plätschernde Geräusche, feine Verwirbelungen im Wasser, die umgebende Natur: Viele Menschen beruhigt es, wenn sie die Strömungen in einem mäandernden Bach beobachten. Ganz anders dürften es Mathematiker und Physiker wahrnehmen. Denn strömende Flüssigkeiten sind seit mehr als 250 Jahren ein hartnäckiges wissenschaftliches Rätsel. Die Gleichungen, die die Strömungen beschreiben, sind extrem kompliziert – so kompliziert, dass nicht einmal klar ist, ob sie nicht in bestimmten Situationen regelrecht explodieren und spontan gigantische Werte vorhersagen. Könnte Turbulenz zum Beispiel aus dem Nichts entstehen?

Für Fachleute ist diese Fragestellung höchst bedeutend, weshalb das Clay Mathematics Institute sie im Jahr 2000 als eines von sieben »Millennium-Problemen« auflistete, für deren Lösung jeweils eine Million US-Dollar ausgeschrieben sind. Nun haben Forschende um Javier Gómez-Serrano von der Brown University, Tristan Buckmaster und Yongji Wang von der New York University, Gonzalo Cao-Labora von der EPFL in Lausanne und Ching-Yao Lai von der Stanford University gemeinsam mit einem Forschungsteam von Google DeepMind in einer noch nicht begutachteten Arbeit einen wesentlichen Fortschritt vermeldet: Mithilfe neuronaler Netze haben sie eine Methode entwickelt, um vereinfachten Gleichungen der Fluiddynamik systematisch explodierende Werte zu entlocken.

Dieser Fortschritt verdeutlicht, wie sich die Mathematik verändert – und welche Rolle KI in Forschungsfragen zukünftig spielen kann. »Es ist derzeit einer der vielversprechendsten Ansätze in Richtung einer Lösung des jahrhundertealten Problems«, sagt der Mathematiker Emil Wiedemann von der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen Nürnberg, der nicht an der aktuellen Arbeit beteiligt war. »Doch bis zu diesem Ziel ist es noch ein sehr weiter Weg.«

Gleichungen ohne allgemeine Lösung

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts entwickelten die Wissenschaftler Claude-Louis Navier und George Gabriel Stokes unabhängig voneinander die inzwischen nach ihnen benannten Navier-Stokes-Gleichungen. Mit diesen lässt sich berechnen, wie schnell und unter welchem Druck ein Fluid mit einer gewissen Zähflüssigkeit strömt. Damit beschreiben die komplizierten Formeln sowohl die Verwirbelungen in der Luft, die einem Flugzeug das Fliegen ermöglichen, als auch die wilden Strudel, die man in einem Waschbecken oder mäandernden Flüssen vorfindet.

Doch auch wenn die Navier-Stokes-Gleichungen seit mehr als 250 Jahren bekannt sind, bergen ihre Lösungen etliche offene Fragen. Bei den Formeln handelt es sich um sogenannte Differenzialgleichungen, das heißt, sie hängen nicht nur von verschiedenen Variablen wie Ort und Geschwindigkeit ab, sondern auch von deren Ableitungen.

Differenzialgleichungen zu lösen, ist alles andere als einfach. Oft muss man sich auf vereinfachende Spezialfälle (etwa ein Fluid ohne Reibung) beschränken oder braucht massive Computerunterstützung, um zumindest Näherungen zu den exakten Lösungen zu berechnen. Die dafür entwickelten Methoden funktionieren so gut, dass Ingenieure oder Experimentalphysiker praktische Anwendungen ohne allzu viele Schwierigkeiten planen können.

Mathematikerinnen und Mathematiker sind aber an präzisen Ergebnissen interessiert – sie stehen im Zentrum ihrer Forschung. Denn in den vergangenen Jahren mehrten sich die Hinweise darauf, dass die Navier-Stokes-Gleichungen »Singularitäten« enthalten könnten: etwa eine plötzlich ins Unermessliche anwachsende Drehgeschwindigkeit oder eine Strömung, die abrupt stoppt – um dann wieder weiterzulaufen.

»Das heißt nicht, dass plötzlich Flugzeuge vom Himmel stürzen«Javier Gómez-Serrano, Mathematiker

Derartige Situationen erleben wir in unserem Alltag nicht. Trotzdem könnten die Gleichungen, mit denen wir Strömungen modellieren, solche Resultate bergen. »Doch das heißt natürlich nicht, dass dann plötzlich Flugzeuge vom Himmel stürzen«, erklärt Javier Gómez-Serrano. Einerseits gehen Fachleute davon aus, dass Singularitäten nur in sehr bestimmten Situationen auftreten, etwa an einem exakten Ort und keinen Nanometer weiter. Kleinste Störungen, wie sie in jeder natürlichen Umgebung auftauchen, würden die Entstehung solcher singulärer Ereignisse verhindern. Andererseits bilden die Navier-Stokes-Gleichungen die Realität nicht exakt ab: Die Formeln behandeln Fluide als Kontinuum und ignorieren die diskrete Nature der Moleküle und Teilchen, aus denen es sich zusammensetzt.

Das Navier-Stokes-Problem, wie es in der Ausschreibung des »Millennium-Preises« formuliert ist, dreht sich um die Frage, ob es Situationen gibt, in denen die Gleichungen zu Singularitäten führen. Die meisten Fachleute glauben, dass das der Fall ist.

Ausschlaggebend dafür sind Untersuchungen vereinfachter Varianten der Navier-Stokes-Gleichungen, zum Beispiel der Euler-Gleichungen, die eine nichtzusammenpressbare (»inkompressible«) Flüssigkeit ohne innere Reibung beschreiben. Wenn man eine solche Flüssigkeit in ein zylindrisches Gefäß füllt, können die Euler-Gleichungen in bestimmten Situationen Singularitäten bergen, wie  ein Team um Buckmaster und Gómez-Serrano im Jahr 2023 herausfand. Ausschlaggebend dafür waren speziell entwickelte neuronale Netzwerke, welche die geeigneten Kandidaten für singuläre Ereignisse lieferten.

• Die Navier-Stokes-Gleichungen

  In der Strömungsmechanik spielen die Navier-Stokes-Gleichungen eine zentrale Rolle. Sie beschreiben das Verhalten von Fluiden und besitzen folgende Form: $$\rho \left(\frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}\right)=-\nabla p+\mu (\nabla \cdot \nabla )\overrightarrow{v}+(\lambda +\frac{\mu }{3})\nabla (\nabla \cdot \overrightarrow{v}).$$
  Nicht zurückschrecken! Die Gleichungen sind kompliziert, lassen sich aber veranschaulichen.

  Zunächst bestehen die Gleichungen eigentlich aus drei – eine für jede Raumrichtung. In ihnen findet man, ebenfalls für jede räumliche Komponente, die Geschwindigkeit des Fluids $\overrightarrow{v}$, dessen Druck $p$ sowie dessen Dichte $\rho$ (griechisch r, ausgesprochen als »rho«).

  Dazwischen stehen die Materialparameter $\lambda$ (griechisch l, ausgesprochen als »lambda«) und $\mu$ (griechisch m, ausgesprochen als »mü«). Sie drücken durch Zahlenwerte die Viskosität des Fluids aus, also seine Zähflüssigkeit.

  Um die Bewegung des Fluids analytisch zu beschreiben, braucht man sogenannte Differenzialoperatoren. Zum einen $\frac{D}{Dt}$ als die absolute Ableitung nach der Zeit, zum anderen $\stackrel{}{\nabla }$ (ausgesprochen als »nabla«), welches die räumlichen Ableitungen beinhaltet. Die mathematischen Ableitungen wirken auf Geschwindigkeit, Druck und Dichte und legen damit fest, wie diese sich durch den Raum und über die Zeit verändern.

• Die Kontinuitätsgleichung

  Die drei Navier-Stokes-Gleichungen besitzen fünf Unbekannte (die drei Geschwindigkeiten sowie Druck und Dichte). Um sie lösen zu können, braucht man somit weitere Gleichungen. Eine davon ist die Kontinuitätsgleichung, $${\partial }_t\rho =\nabla \cdot \left(\rho \overrightarrow{v}\right).$$ Ihre Grundlage ist die physikalische Überlegung, dass die Partikelbewegung des Fluids mit sich selbst konsistent sein muss: Wie die Fluiddichte sich zeitlich verändert (links), entspricht ihrem Stromfluss durch den Raum (rechts).

• Die inkompressiblen Gleichungen

  Um die Berechnungen zu erleichtern, wird das Fluid häufig als »inkompressibel« angenommen. Physikalisch gesehen dehnt es sich dadurch nicht aus und wird nicht zusammengedrückt; mathematisch betrachtet schreibt sich das als $${\partial }_t\rho =0.$$ Die Dichte selbst verändert sich somit mit der Zeit nicht.

  Die rechte Seite der Kontinuitätsgleichung wird dann ebenfalls gleich null: $$\nabla \cdot \overrightarrow{v}=0.$$

  Dadurch vereinfachen sich die Navier-Stokes-Gleichungen zu $$\rho \left(\frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}\right)=-\nabla p+\mu (\nabla \cdot \nabla )\overrightarrow{v}\mathrm{.}$$

  Die letzten beiden Gleichungen bilden die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.

• Zusammenhang mit der newtonschen Mechanik

  Die Navier-Stokes-Gleichungen verkörpern in komplizierter Form das newtonsche Gesetz $$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}.$$ Dieses besagt, dass die Kraft eines Körpers $\overrightarrow{F}$ gleich der Beschleunigung seiner Masse $m\overrightarrow{a}$ ist.

  Auf der linken Seite der Navier-Stokes-Gleichungen steht die Dichte mal der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit. Da die Dichte gleich der Masse pro Volumen ist, $$\rho =\frac{m}{V},$$ und die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit gleich der Beschleunigung, $$\frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}=\overrightarrow{a},$$ verkörpert die linke Seite Masse mal Beschleunigung.

  Auf der rechten Seite steht die resultierende Kraft in Form der inneren Kräfte des Fluids. Sie entstehen aufgrund der unterschiedlichen Beschleunigungen seiner Dichte.

  $$\underset{m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}}{\underbrace{\rho \left(\frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}\right)=-\nabla p+\mu (\nabla \cdot \nabla )\overrightarrow{v}}}.$$

Nun machen die Forschenden Jagd auf weitere Singularitäten: Sie suchen geeignete Kandidaten für Situationen, die auch die Navier-Stokes-Gleichungen in die Knie zwingen könnten. »Wenn man einen Kandidaten mit hoher Präzision identifiziert hat, gibt es bewährte Methoden, um zu überprüfen, ob es sich dabei wirklich um singuläre Lösungen der Gleichungen handelt«, sagt Gómez-Serrano.

Der Mathematiker hat gemeinsam mit Gonzalo Cao-Labora und Tristan Buckmaster einen neuen Ansatz ausgearbeitet, der systematisch nach solchen Singularitäten sucht. Und sie wurden fündig.

KI mit physikalischem Wissen

Um die Euler-Gleichungen explodieren zu lassen, nutzten die Fachleute ein neuronales Netz, eine besondere Art von KI-Programm, das sich am Aufbau des visuellen Kortex orientiert. Ein KI-gestützter Ansatz war in diesem Bereich neu: Bislang setzten Forschende auf rein mathematische Methoden und setzten lediglich klassische Computerprogramme ein, um aufwändige Berechnungen vorzunehmen.

Ein Zufall führte dazu, dass Buckmaster Anfang der 2020er Jahre seine Forschungstechniken um KI-Modellen erweiterte. Damals sollte der Mathematiker das Projekt eines Studenten von Lai genehmigen, der die Dynamik von Eisschilden in der Antarktis mit neuronalen Netzwerken untersuchen wollte. Buckmaster erkannte, dass die Methode auch Fragestellungen zu Fluiddynamik- Gleichungen beantworten könnte, und wandte sich mit der Idee an seinen damaligen Kollegen Gómez-Serrano, Ching-Yao Lai und Yongji Wang.

Im Fokus ihrer Arbeit standen physikinformierte neuronale Netze (kurz: PINNs). Dabei handelt es sich um neuronale Netze, die wie gewöhnliche KI-Modelle von Trainingsdaten lernen, denen zusätzlich jedoch physikalische Gesetzmäßigkeiten einprogrammiert werden, etwa die Energie- oder Impulserhaltung. Damit lassen sich diese KI-Modelle auch dann noch nutzen, wenn nur wenige Daten für das Training verfügbar sind. Zudem lässt sich so sicherstellen, dass die Ergebnisse gewisse physikalische Anforderungen erfüllen. Mit diesen PINNs waren die Forschenden in der Lage, die Euler-Gleichungen für Fluide in zylindrischen Gefäßen zu untersuchen und Hinweise auf Singularitäten zu finden.

Das Problem: Computergestützte Ergebnisse sind nicht exakt. Wenn man die Kandidaten für Singularitäten durch mathematische Methoden genauer überprüft, lösen sich viele in Luft auf – sie sind nur das Produkt von numerischer Ungenauigkeit. Aber das Team um Buckmaster und Gómez-Serrano fand mit Hilfe der PINNs Singularitäten, die den mathematischen Tests standhielten: Sie blieben auch dann bestehen, wenn man die Präzision des Ergebnisses erhöhte – und schließlich belegte ein mathematischer Beweis, dass die Singularitäten tatsächlich die untersuchten Gleichungen lösen. »Das erforderte jedoch eine enorme Menge an Fine-Tuning und Zeit«, erklärt Gómez-Serrano.

Das Ergebnis erregte viel Aufmerksamkeit, weil eine der identifizierten Singularitäten instabil ist. In diesem Fall verschwindet diese, sobald man einige der Parameter nur minimal variiert – sich etwa die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids nur um ein Millionstel ihres Werts ändert. »Um solche Lösungen zu identifizieren, ist eine enorme Präzision nötig«, erklärt Wiedemann. Denn sobald ein Resultat auch nur knapp danebenliegt, verschwindet die Singularität.

Stabile Singularitäten sind hingegen deutlich widerstandsfähiger. »Es gibt viele gut untersuchte Techniken, um stabile Singularitäten zu finden«, erklärt Gómez-Serrano. »Und bislang hat man selbst nach mehr als 200 Jahren keine solchen in den Navier-Stokes-Gleichungen gefunden – und auch nichts dergleichen in der Natur beobachtet. Deswegen gehen wir davon aus, dass die Gleichungen bloß äußerst instabile Singularitäten bergen.«

Aber es gab keine Möglichkeit, systematisch nach instabilen Singularitäten zu suchen. Bis jetzt.

Schlüpfrige Unendlichkeiten

In ihrer im September 2025 erschienenen Arbeit haben Buckmaster und Gómez-Serrano zusammen mit Forschenden von Google DeepMind vorgestellt, wie sich mit PINNs instabile Singularitäten finden lassen – und das mit noch nie gekannter Präzision. »In der Vergangenheit haben wir nur eine beispielhafte Lösung gefunden«, sagt Gómez-Serrano. »Jetzt können wir systematisch nach instabilen Singularitäten suchen.«

Für diesen Quantensprung haben die Forschenden mehr über die Funktionsweise der PINNs gelernt und damit die Algorithmen verbessert. Das führte dazu, dass sie auch mehr über die mathematischen Eigenschaften der Fluiddynamik-Gleichungen erfuhren, die sie wiederum den PINNs übergaben – und so wieder mehr über die zugrunde liegende Mathematik offenlegten. »Es ist ein Kreislauf«, sagt Gómez-Serrano.

Mit diesen verfeinerten Methoden gelang es den Forschenden, mehrere Kandidaten für instabile Singularitäten in drei verschiedenen, vereinfachten Fluiddynamik-Modellen zu identifizieren: den Córdoba-Córdoba-Fontelos-Gleichungen, kurz: CCF (eine eindimensionale vereinfachte Beschreibung einer Flüssigkeit), den zweidimensionalen Gleichungen für inkompressible Fluide in porösen Medien (kurz: IPM) und den Euler-Gleichungen in einem Zylinder. All diese Modelle beschreiben Flüssigkeiten ohne innere Reibung. »Trotz dieser Vereinfachungen sind sie für die Forschung interessant«, erklärt Wiedemann.

Die möglichen singulären Lösungen der Fachleute waren so präzise wie nie zuvor: so, als würde man den Umfang der Erde auf wenige Zentimeter genau bestimmen. Daher ist Gómez-Serrano davon überzeugt, dass die Kandidaten für instabile Singularitäten einer künftigen mathematischen Prüfung standhalten werden. Für eine bestimmte Singularität haben die Forschenden den mathematischen Beweis bereits durchgeführt und die Existenz einer instabilen Singularität in einem CCF-Modell nachgewiesen – das Ergebnis soll in einer separaten Arbeit veröffentlicht werden. »Wenn das korrekt ist, ist das ein äußerst spannendes Ergebnis«, sagt Wiedemann.

Darüber hinaus fanden sie ein unerwartetes Muster vor, als sie die Eigenschaften der neu entdeckten Singularitäten untersuchten. Die explodierenden Lösungen lassen sich einerseits durch den Parameter $\lambda$ charakterisieren, der beschreibt, wie schnell eine Lösung zu den enormen Werten anwächst. Andererseits gibt der Grad der Instabilität an, wie empfindlich die Singularität ist: Ist sie nur gegenüber einem einzigen Parameter sensibel? In diesem Fall hätte man eine Instabilität erster Ordnung. Oder gibt es zwei Parameter, gegenüber denen sie instabil ist?

Wie die Fachleute feststellten, scheint es bei den untersuchten Fällen einen linearen Zusammenhang zwischen $\lambda$ und der Ordnung der Instabilität zu geben. Dieser Trend könnte sich über die aktuelle Untersuchung hinweg fortsetzen, vermuten die Forschenden. Damit könnten sich Kandidaten für deutlich instabilere Singularitäten finden lassen. Doch je instabiler die Lösung, desto mehr Präzision ist erforderlich, um sie zu finden – und desto schwieriger fällt die Aufgabe aus.

Mit ihrem KI-Ansatz haben die Fachleute einen neuen Meilenstein auf dem Weg zur Lösung des Navier-Stokes-Problems erreicht. Ob dieser Pfad zielführend sein wird, wird sich mit der Zeit zeigen. Ein nächster Schritt besteht nun darin, gute Kandidaten für instabile Singularitäten in den unbeschränkten Euler-Gleichungen zu finden – also für Flüssigkeiten, die nicht in einem zylinderförmigen Gefäß eingesperrt sind. Bislang sind für solche Situationen noch keine Kandidaten bekannt. Deshalb feilen die Fachleute weiter an ihren Techniken. »Bis jetzt waren PINNs sehr hilfreich«, sagt Gómez-Serrano. »Aber wir legen uns nicht auf sie fest, sondern sind auch offen gegenüber anderen KI-Ansätzen oder auch Techniken ganz ohne KI, um ans Ziel zu kommen.« Unabhängig davon, ob sie damit Erfolg haben werden: Ihre Bemühungen haben eindeutig klargemacht, wie nützlich KI-Modelle schon jetzt in der mathematischen Spitzenforschung sein können.