Etwas Spannendes lässt sich beobachten, wenn man Langstreckenläufer im Stadion verfolgt: Zeitweise bilden sich größere Gruppen von Läuferinnen oder Läufern – und dann finden sich wiederum einzelne, die einen großen Abstand zu allen anderen haben. Tatsächlich steckt hinter der zweiten Beobachtung ein mathematisches Problem, das ursprünglich aus der Zahlentheorie kommt und Fachleuten seit Jahrzehnten den Kopf zerbricht.

Als der Spektrum-Kolumnist Florian Freistetter im Jahr 2023 über die »Vermutung der einsamen Läufer« schrieb, äußerte er am Schluss die Erwartung, dass das Problem irgendwann durch »eine zündende Idee« gelöst werde. So weit sind wir zwar noch nicht, aber in den drei seither vergangenen Jahren haben Fachleute erhebliche Fortschritte bei der inzwischen 60 Jahre alten Fragestellung erzielt.

Das als »Lonely Runner Conjecture«, kurz LRC, bekannte Problem überrascht durch seine trügerische Einfachheit: N Läufer drehen auf einer Kreisbahn der Länge eins ihre Runden, ohne je müde zu werden. Sie sind gleichzeitig vom selben Ort aus gestartet und laufen mit unterschiedlicher, aber konstanter Geschwindigkeit. Wenn ein Läufer zu einem Zeitpunkt einen Abstand von mindestens ¹/_N zu allen anderen auf der Bahn hat, dann ist der Läufer »einsam«. Die Vermutung lautet: Jeder Läufer ist irgendwann einmal einsam. Für eine kreisförmige Bahn mit einer Länge von einem Kilometer und zehn Läufern sollte demnach jede Person irgendwann mindestens 100 Meter von allen anderen entfernt sein.

Betrachtet man zwei Läufer, dann ist schnell klar, dass die Vermutung stimmt. Wenn sich die beiden mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, gibt es stets einen Zeitpunkt, an dem sich die Läufer an gegenüberliegenden Orten der Kreisbahn befinden. Nimmt man eine weitere Person hinzu, lässt sich die Vermutung auch noch beweisen – das Problem wirkt in diesem Fall aber schon wie eine mittelschwere Abituraufgabe.

Je mehr Läufer man betrachtet, desto schwieriger wird das Problem. In den vergangenen sechs Jahrzehnten hat die Vermutung Mathematiker und Mathematikerinnen aus vielen Ländern rund um den Globus beschäftigt. Mit viel Aufwand konnten sie im Jahr 2008 den Fall von sieben Läufern lösen – dann schien Schluss zu sein. Doch 15 Jahre später führten neue Herangehensweisen zu erstaunlichen Fortschritten: Innerhalb von nur drei Jahren konnten Fachleute die Vermutung nun bis auf 13 Läufer ausweiten.

Der antike Ursprung des Problems

Auch wenn die Vermutung des einsamen Läufers erst einige Jahrzehnte alt ist, reicht ihr Ursprung weit zurück. Denn tatsächlich entspringt die zugrunde liegende den Eigenschaften irrationaler Zahlen, deren Existenz bis in die griechische Antike zurückgeht.

Durch die Beschäftigung mit geometrischen Figuren wie Kreis, Kugel, Quadrat und Würfel waren die Menschen schon damals mit irrationalen Werten wie Pi, √2 oder √3 vertraut. Diese Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, die sich niemals periodisch wiederholen, faszinierten die Menschen – aber sie waren ihnen auch unheimlich. Der Sage nach wurde die erste Person, die das Irrationale entdeckte, in der Ägäis ertränkt.

Abseits solcher Legenden ist jedoch gesichert, dass schon damals eine besonders gute Näherung von Pi bekannt war: nämlich durch den Bruch ²²/₇. Tatsächlich ist dieser Wert näher an der Kreiszahl als jede andere Bruchzahl mit ähnlich kleinem Nenner. Das zu erklären – und solche Näherungen auf andere irrationale Zahlen auszuweiten – war der Anfang der diophantischen Approximation, die der Vermutung der einsamen Läufer zugrunde liegt.

Um zu verstehen, wie die diophantische Approximation mit der Vermutung zusammenhängt, sehen wir uns die Näherung der Kreiszahl Pi durch den Bruch ²²/₇ etwas genauer an. Im Prinzip bedeutet es nichts anderes, als dass 7π fast 22 ist. Und tatsächlich weicht 7π = 21,9911… um weniger als ¹/₁₀₀ von der ganzen Zahl 22 ab.

Die Frage nach einem Bruch mit kleinem Nenner, der Pi gut annähert, ist damit gleichwertig zur Frage nach einem kleinen Vielfachen von Pi, das möglichst nahe an einer ganzen Zahl liegt. Ein Griff zu einem Taschenrechner oder Computer verrät, dass unter den ersten 100 Vielfachen π, 2π, 3π, …, 100π die Zahl 7π am nächsten an einer ganzen Zahl liegt.

Diese Erkenntnis lässt sich verallgemeinern. Der französische Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet hat 1840 gezeigt, dass für jede Zahl r – irrational oder nicht – immer mindestens eines ihrer ersten N Vielfachen r, 2r, …, Nr höchstens ¹/_N von einer ganzen Zahl entfernt ist. Für r = √3 und N = 100 ist zum Beispiel 56√3 dichter als ¹/₁₀₀ an der ganzen Zahl 97.

Von irrationalen Zahlen zu einsamen Läufern

Es sollte jedoch mehr als 120 Jahre dauern, bis einer der Autoren, Jörg Wills, das entgegengesetzte Problem 1965 in seiner Dissertation an der Technischen Universität in Berlin formulierte: das der schlechtesten diophantischen Approximation.

Im Wesentlichen geht es hierbei um die Frage, ob man die ersten N Vielfache einer Zahl r (also r, 2r, …, Nr) durch irgendwelche N Vielfache (die Geschwindigkeiten der Läufer) ersetzen kann, um die Näherung von Dirichlet zu verbessern. Die LRC behauptet, dass dies nicht möglich ist: Demnach sind die Geschwindigkeiten 1, 2, …, N bereits eine optimale Wahl.

Mathematisch ausgedrückt lautet die Vermutung: Gegeben sei eine beliebige Auswahl N von paarweise verschiedenen ganzen Zahlen g₁,…, g_N , die den Geschwindigkeiten der Läufer entsprechen. Laut LRC gibt es für jede Zahl g_i eine reelle Zahl t (der Zeitpunkt der Einsamkeit für den i-ten Läufer), bei der für jede der N – 1 anderen Läufergeschwindigkeiten g ≠ g_i die Zahl t(g_i – g) mindestens ¹/_N von einer ganzen Zahl entfernt ist. Die Distanz von t(g_i – g) zur nächsten ganzen Zahl beschreibt hierbei den Abstand der beiden Läufer auf der Kreisbahn der Länge 1 zum Zeitpunkt t.

In ihrer ursprünglichen Form hatte die Fragestellung nichts mit Läufern zu tun. Wills war damals am zahlentheoretischen Problem interessiert.

In der Mathematik lassen sich Probleme aber oft aus vielen verschiedenen Perspektiven formulieren und untersuchen. So auch hier. Die Lonely-Runner-Version ist nur eine von mittlerweile fünf Interpretationen des Problems – und die weitaus populärste. Sie geht auf den Mathematiker Luis Goddyn von der Simon Fraser University in Vancouver zurück, der sie 1998 in einer Facharbeit vorstellte.

Ein mathematischer Marathonlauf

In den vergangenen 60 Jahren arbeiteten zahlreiche Fachleute mit wachsender Intensität an einer Lösung. Es ist ein langer wissenschaftlicher Marathonlauf, der mit der Zeit verschiedene Abzweigungen nahm. Zum Beispiel führten einige Forschende »unsichtbare Läufer« ein, die dem einsamen Läufer nah bleiben dürfen, oder nutzten »einsame Hasen«, die hüpfen, statt sich kontinuierlich fortzubewegen. Aber all das schien nicht näher ans Ziel zu führen.

Dennoch gab es Teillösungen. So ist seit 1965 bekannt, dass die Vermutung richtig ist, wenn der garantierte Mindestabstand ¹/_N zu allen anderen Läufern (man spricht auch von der »Einsamkeit«) auf grob die Hälfte ¹/_2(N-1) herabgesetzt wird. Aber das ist natürlich nicht das Ziel. In der Mathematik sucht man nach der bestmöglichen Antwort auf ein Forschungsproblem: Was ist der größtmögliche Abstand, den alle Läufer irgendwann aufweisen?

Viele Anstrengungen wurden über die Jahre unternommen, um weiter voranzukommen. Nach wichtiger Vorarbeit des Fields-Medaillen-Trägers Terence Tao von der University of California in Los Angeles, fand 2025 Benjamin Bedert von der Cambridge University die bisher beste Einsamkeitsschranke von ¹/_2(N-1) + ¹/N^5/3.

Auch wenn dieses Ergebnis in der Forschungsgemeinschaft als signifikanter Fortschritt angesehen wird, ist die Schranke für große Läuferzahlen N weiterhin viel dichter an der »halben« Antwort ¹/_2(N-1) als an der vollständigen Vermutung.

Neue Einsichten, einsame Teams

Deshalb widmeten sich Fachleute anderen Ansätzen, um das Problem anzugehen: Sie suchten nach einem Team von N Läufern, für das mindestens ein Teammitglied garantiert niemals einsam wird. Das heißt, man untersucht verschiedene Konstellationen von N Geschwindigkeiten und prüft, wie sich die entsprechenden Läufer mit der Zeit voneinander entfernen. Findet man ein solches Team ohne einsames Mitglied, dann ist die Vermutung widerlegt. Lässt sich hingegen beweisen, dass es derartige Teams nicht gibt, hat man einen Beweis für die LRC.

Ziel des Ansatzes ist also, Schritt für Schritt potenziell »nicht einsame« Teams auszuschließen.

Zunächst haben Forschende versucht, für eine feste Läuferzahl N direkt alle möglichen einsamen Teams zu identifizieren. Mit wachsender Anzahl N wird das jedoch immer schwieriger. Im Jahr 2008 stagnierte diese Strategie mit der Lösung des Problems für sieben Läufer.

Ein Durchbruch kam erneut durch Terence Tao, der zeigte, dass es genügt, nur jene Teams zu betrachten, in denen alle Läufer relativ langsam sind. Damit wurde das zu lösende Problem endlich, weil man nicht mehr alle denkbar großen Geschwindigkeiten berücksichtigen musste.

Die Mathematik braucht mehr solcher zündenden Ideen, damit der Zieleinlauf gelingt

Das war zwar ein theoretischer Fortschritt, in der Praxis brachte es die Forschenden aber zunächst nicht weiter. Denn es waren immer noch extrem viele Geschwindigkeitskonstellationen innerhalb der Teams möglich. Für den nächsten offenen Fall mit acht Läufern musste man auch nach Taos Ergebnis immer noch mehr Teams testen, als es Atome im Universum gibt. Verschiedene Fachleute schafften es nach und nach, diese enorme Anzahl an Möglichkeiten zu verringern. Das Problem blieb aber noch immer jenseits möglicher Computerberechnungen.

Doch dann fand der theoretische Informatiker Mathieu Rosenfeld von der Université de Montpellier im Jahr 2025 einen neuen Zugang zum Problem.

Er konnte auch die Teams langsamer Läufer ausschließen. Sein Vorschlag beruht auf abstrakten zahlentheoretischen Überlegungen, die mit dem Auffinden gewisser Primzahlen mit geeigneten Eigenschaften zu tun haben. Gibt es genügend solcher Primzahlen, bleiben keine potenziell »nicht einsamen« Teams übrig – und die Vermutung ist bewiesen.

Umsetzen konnte Rosenfeld seine neue Methode mit Computerunterstützung – und löste damit die Vermutung für acht und neun Läufer. Durch weitere raffinierte Verfeinerungen dieser Idee gelang es den zwei Mathematikern Touch Sungkawichai und Tanupat Trakulthongchai von der University of Oxford im April 2026, die LRC für die Läuferzahlen 10, 11, 12 und 13 zu lösen. Ein riesiger Fortschritt.

Die Methode birgt großes Potenzial für beliebige Läuferzahlen – und damit zur vollständigen Lösung des Problems. Der Marathonlauf geht also weiter. Aber die Mathematik braucht noch mehr solcher zündenden Ideen, damit der Zieleinlauf gelingt. Wir hoffen, einige davon in einer im Oktober 2026 an der Universität Rostock stattfindenden Konferenz sammeln und gemeinsam entwickeln zu können. Bis dahin dreht der einsame Läufer weiter seine Runden.