Von dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker (1823-1891) stammt der Ausspruch: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk." Er meinte damit, die Zahlen Null, Eins und so weiter spielten eine fundamentale Rolle in der Mathematik. Doch für heutige Physiker nimmt das Zitat eine Überzeugung vorweg, die sich in den letzten Jahrzehnten immer fester etabliert hat: Die Natur sei im Grunde diskret, die Bausteine der Materie und der Raumzeit ließen sich einzeln abzählen. Diese Idee geht auf die Atomisten der griechischen Antike zurück, gewinnt aber im digitalen Zeitalter zusätzliche Plausibilität. Viele Physiker stellen sich das Universum als einen gewaltigen Computer vor (siehe "Spektrum" Spezial 3/2007), in dem die physikalischen Gesetze als Algorithmus für diskrete Informationsbits dienen – wie der grüne Ziffernregen, den die Hauptfigur Neo am Ende des Films "Matrix" an Stelle der vermeintlichen Realität sieht.

Aber funktionieren die Naturgesetze wirklich so? In scheinbarem Gegensatz zum Zeitgeist glaube ich wie viele andere auch, dass die Realität letztlich nicht digital, sondern analog ist. Nach dieser Ansicht ist die Welt ein echtes Kontinuum. Selbst bei noch so feiner Vergrößerung wird man keine irreduziblen Bausteine finden. Physikalische Daten sind nicht ganze, sondern reelle Zahlen – das heißt kontinuierliche Größen mit unendlich vielen Dezimalstellen. Auch wenn es "Matrix"-Fans enttäuschen mag: Niemand weiß, wie ein noch so gigantischer Computer sämtliche Details der bekannten physikalischen Gesetze simulieren soll. Nur mit dieser Einsicht lässt sich eine umfassend vereinheitlichte Theorie der Physik entwickeln.

Ein altes Rätsel

Seit jeher herrscht in der Physik eine Debatte zwischen digitalen und analogen Ansätzen. Während die antiken Atomisten die Realität als diskret beschrieben, stellte sich der Philosoph Aristoteles (384-322 v. Chr.) ein Kontinuum vor. In der Ära von Isaac Newton (1642-1726) schwankten die Naturphilosophen zwischen Theorien mit diskreten Teilchen oder kontinuierlichen Wellen. Zu Kroneckers Lebzeiten schließlich leiteten Atomisten – insbesondere die Briten John Dalton (1766-1844) und James Clerk Maxwell (1831-1879) sowie der Österreicher Ludwig Boltzmann (1844-1906) – chemische und thermodynamische Grundgesetze her. Doch viele Forscher überzeugte der atomistische Ansatz nicht. Der deutsche Chemiker Wilhelm Ostwald (1853-1932) wandte ein, die thermodynamischen Gesetze bezögen sich nur auf kontinuierliche Größen wie die Energie. Auch Maxwells Theorie des Elektromagnetismus beschreibt elektrische und magnetische Felder als kontinuierlich. Im Jahr 1882 erklärte ausgerechnet der junge Max Planck (1858-1947), der später die Quantentheorie begründen sollte, "dass man trotz der bisherigen Erfolge der atomistischen Theorie sich schließlich doch einmal zu einer Aufgabe derselben und zur Annahme einer kontinuierlichen Materie wird entschließen müssen".

Eines der stärksten Argumente der Kontinuumsverfechter war die Beliebigkeit des Diskreten. Wie viele Planeten gibt es im Sonnensystem? In der Schule lernte ich: neun. Doch 2006 strichen die Astronomen Pluto offiziell aus der Liste und ließen nur acht übrig. Zugleich schufen sie eine Nebenliste von Zwergplaneten. Wenn man diese dazuzählt, steigt die Gesamtzahl auf 13. Das heißt, die Anzahl der Planeten hängt von der Zählweise ab. Der jenseits von Neptun liegende Kuipergürtel umfasst Objekte, deren Größe von wenigen tausendstel Millimetern bis zu einigen tausend Kilometern reicht. Man kann die Anzahl der Planeten nur feststellen, wenn man eine ziemlich beliebige Unterscheidung zwischen Planeten, Zwergplaneten und bloßen Fels- oder Eisbrocken trifft.

Doch dann gab die Quantenmechanik der Digital-Analog-Debatte eine neue Wendung. Die Definition eines Planeten mag Ansichtssache sein, aber nicht die eines Atoms oder Elementarteilchens. Die Ordnungszahlen der chemischen Elemente, die, wie wir heute wissen, die Anzahl der Protonen im Atomkern angeben, sind objektive ganzzahlige Größen. Ich nehme gern jede Wette an, dass wir – ungeachtet aller künftigen physikalischen Errungenschaften – niemals ein Element mit √500 = 22,360679775 Protonen beobachten werden, das im Periodensystem zwischen Titan (Ordnungszahl 22) und Vanadium (23) sitzt. Die ganzen Zahlen werden in der Atomphysik ihren Platz behaupten.

Ein weiteres Beispiel bietet die Spektroskopie, welche die Emission und Absorption von Licht durch Materie analysiert. Eine bestimmte Atomsorte vermag nur gewisse typische Wellenlängen auszusenden, die quasi einen Fingerabdruck des Atoms liefern. Im Gegensatz zu menschlichen Fingerabdrücken gehorchen die Atomspektren festen mathematischen Regeln, in denen ganze Zahlen eine entscheidende Rolle spielen. Die ersten Versuche, die Quantentheorie zu deuten, insbesondere durch den dänischen Physiker Niels Bohr (1885-1962), stellten denn auch die Diskretheit der Spektrallinien in den Mittelpunkt.

Emergente Ganzzahligkeit

Doch Bohr behielt nicht das letzte Wort. Der österreichische Theoretiker Erwin Schrödinger (1887-1961) entwickelte 1925 einen anderen Ansatz, der auf einem Wellenmodell beruht. Die Gleichung, die solche Quantenwellen beschreibt, enthält keine ganzen Zahlen, sondern nur kontinuierliche Größen. Erst wenn man die Schrödinger-Gleichung für ein spezielles System löst, geschieht ein kleines mathematisches Wunder. Im einfachen Fall des Wasserstoffatoms umkreist ein Elektron ein Proton in ganz speziellen Abständen. Die diskreten Umlaufbahnen definieren die charakteristischen Spektrallinien. Das Atom entspricht einer Orgel, die eine diskrete Tonfolge erzeugt, obwohl die Luft sich kontinuierlich bewegt. Zumindest für das Atom gilt, unter Bezugnahme auf Kroneckers Ausspruch: Gott hat die ganzen Zahlen nicht gemacht. Er schuf kontinuierliche Größen, und der Rest resultiert aus der Schrödinger-Gleichung.

Demnach sind die ganzen Zahlen nicht die Inputs der Theorie, sondern Outputs. Sie stellen ein Beispiel für eine so genannte emergente Größe dar. Somit trifft die Bezeichnung "Quantenmechanik" eigentlich nicht zu, denn die Theorie ist im Grunde nicht quantenhaft. Erst die durch die Theorie beschriebenen Prozesse formen in Systemen wie dem Wasserstoffatom diskrete Resultate aus einer tiefer liegenden Kontinuität.

Was vielleicht noch überraschender ist: Auch die Existenz von Atomen oder Elementarteilchen ist kein Input unserer Theorien. Physiker lehren gewöhnlich, die Natur sei aus diskreten Teilchen wie Elektronen oder Quarks zusammengesetzt. Das ist falsch. Die Bausteine unserer Theorien sind nicht Teilchen, sondern Felder: kontinuierliche Objekte, die den Raum ähnlich erfüllen wie Gase oder Flüssigkeiten. Bekannte Beispiele sind Elektrik und Magnetismus, doch es gibt auch ein Elektronfeld, ein Quarkfeld, ein Higgsfeld und einige mehr. Was wir fundamentale Teilchen nennen, sind gar keine grundlegenden Objekte, sondern Kräuselungen kontinuierlicher Felder.

Ein Skeptiker könnte einwenden, dass die physikalischen Gesetze doch einige ganze Zahlen enthalten. Zum Beispiel beschreiben die Gesetze drei Arten von Neutrinos, sechs Arten von Quarks – von denen jede in drei so genannten Farben vorkommt – und so fort. Überall ganze Zahlen! Aber stimmt das? All diese Beispiele geben die Anzahl der Teilchentypen im Standardmodell an, und diese Größe ist mathematisch ungeheuer schwer zu präzisieren, wenn Partikel miteinander wechselwirken. Teilchen können sich verwandeln: Ein Neutron zerfällt in ein Proton, ein Elektron und ein Neutrino. Sollen wir es als ein, drei oder gar vier Teilchen zählen? Die Behauptung, es gebe drei Arten von Neutrinos, sechserlei Quarks und so weiter, ignoriert die Wechselwirkungen.

Ein weiteres Beispiel für eine ganze Zahl betrifft die Anzahl der Raumdimensionen, die wir beobachten, nämlich drei. Aber der prominente Mathematiker Benoît Mandelbrot (1924-2010) wies darauf hin, dass Raumdimensionen keine ganze Zahl ergeben müssen. Die Küstenlinie von Großbritannien etwa hat eine Dimension von rund 1,3. Außerdem sind in vielen Ansätzen zu einer vereinheitlichten Theorie der Physik, etwa in der Stringtheorie, die Raumdimensionen nicht eindeutig definiert: Sie können entstehen oder vergehen. Ich wage zu behaupten, dass es in der gesamten Physik nur eine echte ganze Zahl gibt, die Eins. Denn die physikalischen Gesetze beziehen sich auf nur eine Dimension der Zeit. Ohne exakt eine Zeitdimension scheint die Physik widersprüchlich zu werden.

Ich wage zu behaupten, dass es in der gesamten Physik nur eine echte ganze Zahl gibt: die Eins.

Obgleich unsere gängigen Theorien annehmen, dass die Realität kontinuierlich ist, glauben viele meiner Kollegen dennoch, dem Kontinuum liege eine diskrete Realität zu Grunde. Sie verweisen auf Beispiele für die Emergenz von Kontinuierlichem aus Diskretem. In der makroskopischen Größenordnung der Alltagserfahrung erscheint das Wasser im Glas als glatt und kontinuierlich. Erst bei viel genauerer Betrachtung werden die atomaren Bestandteile sichtbar. Könnte ein derartiger Mechanismus die Grundlage der Physik bilden? Vielleicht werden wir hinter den glatten Quantenfeldern des Standardmodells – oder gar hinter der Raumzeit selbst – eine diskrete Struktur entdecken.

Vom Quantum zum Kontinuum

Die Antwort auf diese Frage wissen wir nicht; aber nachdem 40 Jahre lang versucht wurde, das Standardmodell auf dem Computer zu simulieren, können wir eine Vermutung riskieren. Um eine solche Simulation durchzuführen, muss man zunächst Gleichungen für kontinuierliche Größen nehmen und dafür eine diskrete Formulierung finden, die zu den in Computern verarbeiteten Informationsbits passt. Trotz jahrzehntelanger Anstrengung ist das noch niemandem gelungen. Dies bleibt eines der wichtigsten – obwohl selten erwähnten – offenen Probleme der theoretischen Physik.

Immerhin haben die Physiker eine diskrete Version von Quantenfeldern entwickelt, die so genannte Gitterfeldtheorie. Sie ersetzt die Raumzeit durch eine Punktmenge. Computer berechnen an diesen Punkten Werte, um näherungsweise ein kontinuierliches Feld darzustellen. Doch das Verfahren hat seine Grenzen. Die Schwierigkeit steckt in den Elektronen, Quarks und anderen Materieteilchen, so genannten Fermionen. Wenn man ein Fermion um 360 Grad dreht, findet man seltsamerweise nicht mehr dasselbe Objekt vor; erst nach einer Rotation um 720 Grad erhält man wieder das ursprüngliche Fermion. Das ist eine Folge der speziellen Quantenstatistik für diese Partikel; sie hat insbesondere das so genannte Ausschließungsprinzip zur Folge, welches verbietet, dass zwei Elektronen eines Atoms in allen Quantenzahlen übereinstimmen. Diese Teilchen lassen sich deshalb nicht ohne Weiteres auf ein Gitter setzen. In den 1980er Jahren bewiesen Holger Bech Nielsen vom Niels-Bohr-Institut in Kopenhagen und Masao Ninomiya vom Okayama-Institut für Quantenphysik in Japan ein berühmtes Theorem, wonach es grundsätzlich unmöglich ist, den einfachsten Fermiontyp zu diskretisieren.

Solche Theoreme sind freilich nur so stark wie ihre Annahmen. In den 1990er Jahren gelang es David Kaplan von der University of Washington in Seattle, Herbert Neuberger von der Rutgers University in New Jersey und anderen Theoretikern mit unterschiedlichen Tricks, Fermionen auf dem Gitter zu platzieren. Es gibt alle möglichen Quantenfeldtheorien, jede mit anderen Fermiontypen, und heute lässt sich fast jede Teilchenart auf einem Gitter darstellen. Nur bei einer einzigen Klasse von Quantenfeldtheorien gelingt das nicht, und dazu gehört leider ausgerechnet das Standardmodell. Wir können alle Arten von hypothetischen Fermionen behandeln, aber nicht diejenigen, die wirklich existieren.

Die Fermionen des Standardmodells haben eine sehr spezielle Eigenschaft. Diejenigen, deren Spin einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn entspricht, spüren die schwache Kernkraft, die mit Spin im Uhrzeigersinn jedoch nicht. Die entsprechende Theorie heißt chiral. Eine chirale Theorie ist delikat: Subtile Effekte, so genannte Anomalien, drohen sie fortwährend in Widersprüche zu verwickeln. Solche Theorien lassen sich bisher nicht im Computermodell darstellen.

Doch die Chiralität ist kein Makel des Standardmodells, der im Rahmen einer tiefer liegenden Theorie verschwinden würde; sie ist ein wesentlicher Bestandteil. Auf den ersten Blick erscheint das Standardmodell, das auf drei verketteten Kräften beruht, als eine beliebige Konstruktion. Erst wenn man die chiralen Fermionen bedenkt, offenbart sich seine wahre Schönheit. Es gleicht einem perfekten Puzzle, dessen drei Stücke auf die einzig mögliche Art verbunden sind. Die Chiralität der Fermionen sorgt dafür, dass im Standardmodell alles zusammenpasst.

Die Forscher wissen noch nicht so recht, was sie von unserer Unfähigkeit halten sollen, das Standardmodell im Computer zu simulieren. Es ist schwierig, aus dem Scheitern an einem Problem solide Schlüsse zu ziehen. Möglicherweise handelt es sich nur um ein besonders kniffliges Rätsel, das darauf wartet, mit herkömmlichen Verfahren gelöst zu werden. Doch gewisse Aspekte des Problems sprechen dagegen. Die Hindernisse hängen eng mit mathematischen Details von Topologie und Geometrie zusammen. Vielleicht besagt die Schwierigkeit, chirale Fermionen auf dem Gitter zu platzieren, etwas Wichtiges: Die physikalischen Gesetze sind in letzter Instanz nicht diskret – wir leben nicht in einer Computersimulation.