Von der Flugbahn eines Kometen bis hin zu Börsentrends: Kurven gehören zu den einfachsten Objekten der Mathematik. Aber obwohl sie seit Jahrtausenden untersucht werden, bergen sie noch immer grundlegende Fragen, die unbeantwortet sind. Nun haben Fachleute einen wichtigen Fortschritt erzielt.

Besonders interessiert sind Mathematiker an speziellen Punkten auf einer Kurve, deren Koordinaten entweder ganzen Zahlen oder Brüchen entsprechen. Diese seltenen Punkte stehen oft in komplizierten und bedeutungsvollen Beziehungen zueinander. Das kann nützlich sein; die rationalen Punkte auf »elliptischen Kurven« haben beispielsweise einen ganzen Zweig der Kryptografie hervorgebracht.

Es gibt eine riesige Vielfalt an Kurven, die aus zahlreichen unendlich großen Familien bestehen – und bei jeder folgt die Verteilung der rationalen Punkte einer eigenen Struktur. Fachleute träumen davon, eine konkrete Regel zu finden, die diese Verteilung für jede Art von Kurve vorhersagt. Aber eine solche Formel ist ihnen lange Zeit entgangen.

Das hat sich nun geändert. In einer am 2. Februar 2026 veröffentlichten Arbeit legten drei Mathematiker erstmals eine eindeutige Obergrenze für die Anzahl rationaler Punkte fest, die eine Kurve haben kann. »Das ist wirklich ein erstaunliches Ergebnis, das neue Maßstäbe setzt«, sagt Hector Pasten, Mathematiker an der Päpstlichen Katholischen Universität von Chile, der nicht an der Arbeit beteiligt war.

Endlich oder unendlich?

Kurven lassen sich durch einfache Gleichungen darstellen, sogenannte Polynomgleichungen. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um mehrere Variablen, die miteinander multipliziert und addiert werden. Zum Beispiel beschreibt die Polynomgleichung x² + y² = 1 einen Kreis. Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht einer Lösung dieser Gleichung, etwa der Punkt x = 1 und y = 0, geschrieben als Koordinatenpaar (1, 0).

Einige Lösungen, darunter (1, 0) und (3⁄5, 4⁄5), sind rational, was bedeutet, dass sowohl x als auch y entweder ganze Zahlen oder Bruchzahlen sind. Andere Lösungen, wie (√2, √2) sind irrational. Wenn man diese Werte für x und y einsetzt, erhält man auch eine gültige Lösung für die Gleichung – die Koordinaten liegen genau auf dem Kreis. Man kann sie jedoch nicht als ganze Zahlen oder als Bruch daraus ausdrücken.

Schon die antiken Griechen waren daran interessiert, rationale Punkte entlang von Kurven zu finden. Sie fragten sich, wie viele dieser besonderen Punkte eine bestimmte Kurve hat. Das ist eine der einfachsten Fragen in der Mathematik, aber sie beschäftigt die Fachwelt bis heute. »Diese Probleme stehen im Zentrum der Zahlentheorie«, sagt Shenxuan Zhou, Mathematiker am Institut de Mathématiques de Toulouse und Mitautor der neuen Ergebnisse.

»Das verschafft uns ein umfassendes Verständnis«Barry Mazur, Mathematiker

Der Kreis hat unendlich viele rationale Punkte. Gleiches gilt für jede andere Kurve, deren Gleichung aus zwei Variablen x und y besteht, die höchstens eine Potenz von zwei haben. Diese Gleichungen »zweiten Grades« haben entweder überhaupt keine rationalen Punkte oder aber unendlich viele. Die Anzahl der rationalen Punkte auf einer Kurve dritten Grades ist hingegen manchmal unendlich und manchmal endlich.

1922 stellte Louis Mordell eine berühmte Vermutung auf: Demnach ändern sich diese Regeln bei Gleichungen höheren Grades drastisch. Er vermutete, dass es bei einem Grad von 4 oder mehr immer eine endliche Anzahl rationaler Punkte gibt. 61 Jahre später bewies der renommierte Mathematiker Gerd Faltings, dass Mordell recht hatte – dafür wurde er mit der Fields-Medaille gewürdigt, einer der höchsten Auszeichnungen in der Mathematik. Mordells Vermutung, die heute als Faltings-Theorem bekannt ist, sagt allerdings nichts darüber aus, wie viele rationale Punkte konkret auf diesen Kurven liegen. Seitdem suchen Mathematiker nach einer Formel, um diese Frage zu beantworten. »Wir wissen nur, dass es eine Formel gibt«, sagt Pasten. »Sie ist irgendwo da draußen, und das ist gut. Aber wir wollen sie haben.«

Eine Regel für jede Kurve

Hier kommt der neue Beweis ins Spiel. Die drei Mathematiker präsentieren eine Formel, die sich auf jede Kurve anwenden lässt, unabhängig von ihrem Grad. Die Formel liefert zwar nicht die exakte Anzahl an rationalen Punkten auf einer Kurve, doch sie gibt eine Obergrenze an. Das ist ein enormer Durchbruch. Frühere Formeln dieser Art galten entweder nicht für alle Kurven oder hingen von der spezifischen Gleichung ab, mit der sie definiert wurden. Die neue Formel ist etwas, worauf Mathematiker seit Faltings’ Beweis gehofft haben: eine »einheitliche« Aussage, die für alle Kurven gilt, ohne von den Details der Gleichungen abzuhängen. »Das verschafft uns ein umfassendes Verständnis«, sagt Barry Mazur von der Harvard University.

Die Formel hängt nur von zwei Dingen ab. Erstens vom Grad des Polynoms, das die Kurve definiert: Je höher der Grad, desto schwächer wird die Aussage. Zweitens hängt sie von der »Jacobischen Varietät« ab, einer bestimmten Fläche, die sich aus jeder Kurve konstruieren lässt. Jacobische Varietäten sind an sich schon interessant, und die Formel bietet einen spannenden Ansatz für ihre Untersuchung.

»Derzeit geschehen große Dinge«Barry Mazur, Mathematiker

Das neue Ergebnis ist ein erster Schritt, um zu erfahren, wie viele rationale Punkte auf Kurven liegen. »Aber es gibt noch mehr Fragen«, sagt Pasten. »Wir können jetzt ehrgeiziger werden.« Denn Kurven sind nur ein erster Einstieg in die mathematische Welt der algebraischen Geometrie. Polynomgleichungen mit zusätzlichen Variablen neben x und y können komplexere Objekte erzeugen, wie Oberflächen oder ihre höherdimensionalen Entsprechungen, sogenannte Mannigfaltigkeiten. Diese spielen eine zentrale Rolle in der modernen Mathematik und der theoretischen Physik.

Die Frage nach rationalen Punkten ist auch für diese höherdimensionalen Objekte von Bedeutung. Pasten und sein Kollege Jerson Caro haben beispielsweise in einer 2023 erschienenen Veröffentlichung eine Obergrenze für die Anzahl rationaler Punkte für bestimmte Oberflächen festgelegt. Das neue Ergebnis macht Pasten Hoffnung auf weitere Fortschritte in dieser umfassenden Forschungsfrage. »Dies ist ein spannendes, sich schnell entwickelndes Gebiet«, sagt Mazur. »Derzeit geschehen große Dinge.«