Wenn ich mit einem Mathematiker oder einer Mathematikerin einen Kaffee trinke, frage ich fast immer, welches der siebenMillennium-Probleme wohl als nächstes gelöst wird. Diese zählen zu den berühmtesten offenen Problemen der Mathematik. Wer eines davon knackt, erhält eine Million US-Dollar – doch seit der Bekanntgabe der Liste durch das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 ist das erst einmal gelungen.

Fachleute nutzen die Millennium-Probleme manchmal als Maßstab, um ihre eigene Arbeit einzuordnen und zu zeigen, wie nahe sie an einem millionenschweren Durchbruch sind. Für mich sind sie ein Indikator für Bewegung in einem Fachgebiet, in dem bahnbrechende Fortschritte oft Jahrzehnte brauchen.

In letzter Zeit höre ich immer öfter eine neue Antwort. Die Befragten nennen eines der sieben Probleme, das Experten früher als Jahrhunderte entfernt von einer Lösung einschätzten. Und das, obwohl es etwas viel Vertrauteres als Primzahlen oder Quantenfeldtheorie betrifft: Es geht um die rätselhaften Bewegungen von Flüssigkeiten und Gasen. Viele physikalische Gesetze gelten für Gase und Flüssigkeiten gleichermaßen, sodass beide unter dem Begriff Fluide zusammengefasst werden.

Die komplexen Strömungen einer brechenden Welle oder eines rauschenden Wasserfalls bergen tiefgreifende mathematische Herausforderungen. Sie hindern uns daran, genau zu verstehen, wie Flugzeuge fliegen, oder das Wetter der nächsten Woche perfekt vorherzusagen. Seit Jahrhunderten kämpfen Mathematiker mit den Gleichungen, die diese Strömungen beschreiben – und haben mit der Zeit wichtige Erkenntnisse gewonnen. Doch eine grundlegende Frage bleibt ungelöst, und dabei half auch die Aussicht auf eine hohe Prämie nicht.

Das könnte sich bald ändern. Eine Reihe jüngster Durchbrüche, insbesondere ermöglicht durch den Einsatz von KI, hat nun einige prominente Mathematiker davon überzeugt, dass die Lösung nahe ist. Andere argumentieren dagegen, ein tieferes, erfahrungsbasiertes Verständnis sei der bessere Weg. Die Zeit wird zeigen, ob ein Mensch oder eine Maschine das Rennen gewinnt.

Ein explodierender Strudel

Stellen Sie sich vor, Sie wollten die Strömung eines Flusses mathematisch erfassen. Als Ausgangspunkt bräuchten Sie eine perfekte Momentaufnahme des Gewässers, mit Position und Geschwindigkeit jedes einzelnen Tropfens. Dann würden bekannte Erhaltungsgesetze – etwa von Energie und Impuls – bestimmen, was als Nächstes mit der Flüssigkeit geschieht. Werfen Sie eine Gummiente in diese Strömung, sollten die Regeln jede ihrer Bewegungen vorhersagen – egal, ob für die nächsten 20 Minuten oder 20 000 Jahre.

Solche Gesetze, angewandt auf Wasser oder jede andere inkompressible Flüssigkeit, bestehen aus vier Gleichungen: den dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen. Jede nur denkbare Art, wie eine Flüssigkeit strömen kann – von einem ruhigen See bis zum tosenden Tsunami – entspricht einer Lösung der Gleichungen.

• Die Navier-Stokes-Gleichungen

  In der Strömungsmechanik spielen die Navier-Stokes-Gleichungen eine zentrale Rolle. Sie beschreiben das Verhalten von Fluiden und besitzen folgende Form: $$\rho \left(\frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}\right)=-\nabla p+\mu (\nabla \cdot \nabla )\overrightarrow{v}+(\lambda +\frac{\mu }{3})\nabla (\nabla \cdot \overrightarrow{v}).$$
  Nicht zurückschrecken! Die Gleichungen sind kompliziert, lassen sich aber veranschaulichen.

  Zunächst bestehen die Gleichungen eigentlich aus drei – eine für jede Raumrichtung. In ihnen findet man, ebenfalls für jede räumliche Komponente, die Geschwindigkeit des Fluids $\overrightarrow{v}$, dessen Druck $p$ sowie dessen Dichte $\rho$ (griechisch r, ausgesprochen als »rho«).

  Dazwischen stehen die Materialparameter $\lambda$ (griechisch l, ausgesprochen als »lambda«) und $\mu$ (griechisch m, ausgesprochen als »mü«). Sie drücken durch Zahlenwerte die Viskosität des Fluids aus, also seine Zähflüssigkeit.

  Um die Bewegung des Fluids analytisch zu beschreiben, braucht man sogenannte Differenzialoperatoren. Zum einen $\frac{D}{Dt}$ als die absolute Ableitung nach der Zeit, zum anderen $\stackrel{}{\nabla }$ (ausgesprochen als »nabla«), welches die räumlichen Ableitungen beinhaltet. Die mathematischen Ableitungen wirken auf Geschwindigkeit, Druck und Dichte und legen damit fest, wie diese sich durch den Raum und über die Zeit verändern.

• Die Kontinuitätsgleichung

  Die drei Navier-Stokes-Gleichungen besitzen fünf Unbekannte (die drei Geschwindigkeiten sowie Druck und Dichte). Um sie lösen zu können, braucht man somit weitere Gleichungen. Eine davon ist die Kontinuitätsgleichung, $${\partial }_t\rho =\nabla \cdot \left(\rho \overrightarrow{v}\right).$$ Ihre Grundlage ist die physikalische Überlegung, dass die Partikelbewegung des Fluids mit sich selbst konsistent sein muss: Wie die Fluiddichte sich zeitlich verändert (links), entspricht ihrem Stromfluss durch den Raum (rechts).

• Die inkompressiblen Gleichungen

  Um die Berechnungen zu erleichtern, wird das Fluid häufig als »inkompressibel« angenommen. Physikalisch gesehen dehnt es sich dadurch nicht aus und wird nicht zusammengedrückt; mathematisch betrachtet schreibt sich das als $${\partial }_t\rho =0.$$ Die Dichte selbst verändert sich somit mit der Zeit nicht.

  Die rechte Seite der Kontinuitätsgleichung wird dann ebenfalls gleich null: $$\nabla \cdot \overrightarrow{v}=0.$$

  Dadurch vereinfachen sich die Navier-Stokes-Gleichungen zu $$\rho \left(\frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}\right)=-\nabla p+\mu (\nabla \cdot \nabla )\overrightarrow{v}\mathrm{.}$$

  Die letzten beiden Gleichungen bilden die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.

• Zusammenhang mit der newtonschen Mechanik

  Die Navier-Stokes-Gleichungen verkörpern in komplizierter Form das newtonsche Gesetz $$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}.$$ Dieses besagt, dass die Kraft eines Körpers $\overrightarrow{F}$ gleich der Beschleunigung seiner Masse $m\overrightarrow{a}$ ist.

  Auf der linken Seite der Navier-Stokes-Gleichungen steht die Dichte mal der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit. Da die Dichte gleich der Masse pro Volumen ist, $$\rho =\frac{m}{V},$$ und die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit gleich der Beschleunigung, $$\frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}=\overrightarrow{a},$$ verkörpert die linke Seite Masse mal Beschleunigung.

  Auf der rechten Seite steht die resultierende Kraft in Form der inneren Kräfte des Fluids. Sie entstehen aufgrund der unterschiedlichen Beschleunigungen seiner Dichte.

  $$\underset{m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}}{\underbrace{\rho \left(\frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}\right)=-\nabla p+\mu (\nabla \cdot \nabla )\overrightarrow{v}}}.$$

Diese unendliche Vielfalt an Strömungen, verborgen in scheinbar einfachen Formeln, macht Fachleuten zu schaffen. Sie wollen sicher sein, dass die Navier-Stokes-Gleichungen aus mathematischer Sicht einwandfrei sind – dass sie immer sinnvoll bleiben und der Realität entsprechen. Sie wollen ausschließen, dass sich im riesigen Strömungsuniversum unrealistische Unendlichkeiten verbergen.

Mathematiker nennen diese hypothetischen Phänomene »Blow-ups«: Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen, bei denen die Geschwindigkeit des Fluids unendlich wird. Wenn ein Strudel oder eine Stromlinie so stark zunehmen könnte, dass die Mathematik zusammenbricht – vergleichbar mit einem winzigen Tornado, der plötzlich durch Ihren Kaffee wirbelt –, wären die Gleichungen nicht mehr vertrauenswürdig.

Das Millennium-Problem dreht sich um die Frage, ob die Navier-Stokes-Gleichungen auf diese Weise gewissermaßen explodieren können. Nach einem Vierteljahrhundert zögerlicher Fortschritte sagen manche nun, der Durchbruch stehe kurz bevor.

Die neuen Bemühungen beginnen mit einer Vereinfachung: Man entfernt die Reibung aus der Gleichung. Reibung ist für Fluide essenziell – sie verleiht ihnen Viskosität. Ohne sie wäre zum Beispiel Fischen die Fortbewegung unmöglich. Doch gerade diese Rückkopplung zwischen Bewegung und Medium macht die Mathematik der Fluide besonders kompliziert.

Daher hoffen Mathematiker, einen Blow-up zunächst in der reibungsfreien Version der Navier-Stokes-Gleichungen zu finden, den Euler-Gleichungen. »Der natürliche Weg zu Navier-Stokes führt über Euler«, sagt Javier Gómez-Serrano von der Brown University.

2022 gelang es dem Mathematiker Frank Merle auf diese Weise, Blow-ups in kompressiblen Fluiden wie Luft zu identifizieren. Das brachte ihm im Jahr 2026 den renommierten Breakthrough Prize in Mathematik ein.

Doch inkompressible Flüssigkeiten wie Wasser bringen zusätzliche Schwierigkeiten mit sich. Wer in ein Schwimmbecken springt, hebt den Wasserpegel, auch am anderen Ende des Beckens. Alles beeinflusst sich gegenseitig, was die Mathematik deutlich erschwert. Deshalb wenden sich viele Computern zu. Mit ihnen suchen sie in der riesigen Landschaft der Möglichkeiten nach einem Blow-up.

Ein Blick ins Unendliche

Im September 2025 berichtete ein Team um Gómez-Serrano, mithilfe einer KI – entwickelt in Kooperation mit Googles DeepMind-Team – erste Anzeichen von Unendlichkeiten entdeckt zu haben. Es simulierte eine reibungsfreie Flüssigkeit in einem Zylinder, ähnlich wie Kaffee, der in einer Tasse geschwenkt wird und Wirbel bildet. Die KI identifizierte einen Punkt nahe dem Rand der Tasse, an dem die Geschwindigkeit der Flüssigkeit rasant anwuchs – ein Indiz für einen Blow-up.

»Ich will einen Blow-up finden. Es ist mir egal, ob mit oder ohne KI«, sagte Gómez-Serrano im März bei einem Kolloquium an der Columbia University. »Das ist ein Werkzeug, das mir erlaubt hat, weiterzukommen, also habe ich es genutzt.«

Es könnte Jahre dauern, bis das Team mathematisch beweisen kann, dass der vermeintliche Blow-up tatsächlich einer Lösung der Euler-Gleichungen entspricht. Das Millennium-Problem wäre damit jedoch noch nicht gelöst. Denn es verlangt einen Blow-up in einer unendlich ausgedehnten Flüssigkeit. Gómez-Serrano und seine Kollegen betrachten jedoch ein zylindrisches Gefäß. Das Ergebnis verdeutlicht aber, dass ein computergestützter Ansatz eines Tages die Euler-Gleichungen – und damit vielleicht auch das Navier-Stokes-Problem – knacken könnte.

»Das Paper zeigt, dass die Methode in ihrer jetzigen Form nicht funktioniert«Frank Merle, Mathematiker

Die von Gómez-Serrano genutzte KI hat wenig mit den großen Sprachmodellen gemein, die heute fast alle Bereiche der Gesellschaft verändern. Dennoch können sich manche Experten vorstellen, dass Computerprogramme zuerst Navier-Stokes und danach alle anderen offenen mathematischen Probleme lösen werden – und die Rolle des Menschen an der Spitze des Fachgebiets ungewiss wird.

Im Februar 2026 belegten drei Mathematiker jedoch, dass ein Blow-up in den Navier-Stokes-Gleichungen noch weit entfernt ist. Die DeepMind-KI und andere computergestützte Modelle nehmen an, dass die Flüssigkeit um eine zentrale Achse rotiert, weil das die Simulationen selbst für moderne Rechner erst handhabbar macht. Doch der neue Beweis zeigt, dass praktisch jeder Blow-up der Euler-Gleichungen mit dieser zylindrischen Symmetrie nicht auf den Navier-Stokes-Fall übertragbar ist. Das Einbringen von Reibung zerstört die Unendlichkeit. Die Viskosität Ihres Kaffees verhindert, dass jemals ein winziger Tornado entsteht.

»Das sieht nicht vielversprechend aus«, urteilt Vlad Vicol von der New York University, Mitautor der neuen, noch nicht begutachteten Arbeit. »Für zylindrische Symmetrien bräuchte es wirklich ein Wunder.« Merle stimmt zu: »Das Paper zeigt, dass die Methode in ihrer jetzigen Form nicht funktioniert.«

Es wäre eine enorme Leistung, wenn das DeepMind-Team einen Blow-up der Euler-Gleichungen für eine unendlich ausgedehnte Flüssigkeit fände, betont Vicol. »Und ich denke, das könnte tatsächlich im Bereich des Machbaren liegen«, sagt er. »Unser Paper sagt im Grunde: Nur weil man die Euler-Gleichungen versteht, bekommt man die Navier-Stokes-Gleichungen nicht automatisch dazu.« Falls ein Blow-up bei den Navier-Stokes-Gleichungen möglich ist, besagt der Beweis, dass er aus dem komplexen Zusammenspiel von Viskosität und Strömung entstehen muss.

Um dieses Zusammenspiel zu erfassen, müssten Mathematikerinnen und Mathematiker auf die vereinfachenden Tricks verzichten, die Computer brauchen. Tatsächlich könnte eine rein mathematische Herleitung eines Blow-ups intuitives Gespür erfordern – ein Verständnis von Fluiden, das sich nicht so einfach in heutige KI-Modelle einpflegen lässt.

Auf der Welle reiten

Steve Shkoller entwickelt dieses schwer fassbare Gespür für das Meer, seit er fünf Jahre alt ist und in San Diego aufwuchs. »Wenn man von klein auf surft, vermittelt einem der Ozean ein Gefühl, das die Gleichungen allein nicht bieten«, sagt er.

Shkoller ist heute Mathematikprofessor an der University of California in Davis, verbringt aber weiterhin mindestens zwei Stunden täglich auf dem Wasser nahe seinem Zuhause in Marin County. »Man bekommt ein Gespür für Timing, Geometrie, Position – man meint fast, die Welle sei ein lebendiges Wesen«, erzählt er. »Und dann kommen einem die Ideen.«

Als ein Muskelriss ihn im Herbst 2025 für den Rest des Jahres lahmlegte, fühlten sich seine beiden großen Leidenschaften – Surfen und Mathematik – plötzlich unerreichbar an. Eines Tages im Oktober, während er auf seinem Sofa lag, schloss er die Augen und versuchte, sich zurück aufs Wasser zu träumen. »Ich wollte die Energie spüren. Und gleichzeitig dachte ich an Mathematik.«

Während er in Gedanken auf einer riesigen Welle surfte, stellte er sie sich als ein Gebilde mit unendlicher Geschwindigkeit vor – er hatte ein lebendiges Bild eines Blow-ups vor Augen. Und plötzlich erkannte er, dass die Fachleute einen wichtigen Punkt übersahen.

Viele der jüngsten, computergestützten Euler-Durchbrüche behandeln den Blow-up als quasi statische Erscheinung – eine sogenannte selbstähnliche Form. Stellen Sie sich dazu eine Standbildaufnahme einer großen Welle vor, bei der Sie in die Spitze hineinzoomen und immer wieder dieselbe Form des sich einrollenden Wellenkamms sehen.

Es gibt gute Gründe anzunehmen, dass Blow-ups selbstähnlich sind. Trotz der chaotischen Mathematik treten auf fast jeder Skala nahezu identische Wirbel auf. Immer wieder entdeckten Fachleute solche erstaunlichen Symmetrien in Fluiden und nutzten sie für ihre Arbeit. Viele gingen deshalb davon aus, dass Blow-ups keine Ausnahme bilden. Doch damit ließen sie das außer Acht, was Shkoller als essenziellen Bestandteil von Fluiden bezeichnet: Veränderung.

Eine Welle auf dem Meer mag aus der Ferne wie eine abgeschlossene Einheit wirken. Doch kein Wassertropfen entfernt sich wirklich weit von seinem Ausgangspunkt, während der Inhalt der Welle ständig wechselt.

Vielleicht ist diese ständige Veränderung die entscheidende Zutat, der Ursprung des gesuchten Blow-ups, überlegte Shkoller. Er griff zu seinem iPad und begann, diesen Verdacht in Mathematik zu fassen.

In der folgenden Woche lag er täglich zwölf Stunden auf dem Rücken, das Tablet über sich haltend, und kritzelte Gleichungen und Skizzen, um ein vereinfachtes Bild eines Blow-ups zu entwerfen. »Die ersten drei Tage war ich so aufgeregt, dass ich kaum schlafen konnte«, erzählt er.

Seine »Welle« – ein unendlich schnelles Flüssigkeitsgebilde – war weder selbstähnlich noch statisch. »Man macht einen Film, nicht nur ein einzelnes Bild«, sagt Shkoller. Außerdem erzeugte er den Blow-up aus dem ständigen Austausch von Flüssigkeit, die in die »Welle« ein- und austritt: »Stellen Sie sich vor, in jedem Bild des Films spielt eine völlig neue Besetzung mit.« Dann bewies er, dass ein Blow-up den echten Euler-Gleichungen aus seinem mathematischen Entwurf entsprechen kann.

»Niemand hielt es für möglich, doch Steve scheint es geschafft zu haben«Scott Armstrong, Mathematiker

Im März 2026 veröffentlichte Shkoller seinen umfangreichen Beweis zur Existenz von Blow-ups in den Euler-Gleichungen. Mit mehr als 100 Seiten dichter Mathematik wird die Überprüfung durch die Fachwelt wohl noch Monate dauern. Die ersten Reaktionen sind allerdings vielversprechend. »Niemand hielt es für möglich, doch Steve scheint es geschafft zu haben«, sagt Mathematiker Scott Armstrong von der New York University.

Auch wenn Shkollers Beweis nicht auf einer zylindrischen Begrenzung wie bei der DeepMind-Arbeit beruht, nutzt er andere Vereinfachungen, die eine Übertragung auf das Millennium-Problem erschweren. Zudem wird womöglich in diesem Fall die Hinzunahme von Reibung den Blow-up zerstören, sodass man ihn nicht auf die Navier-Stokes-Gleichungen übertragen kann.

Doch Shkoller ist überzeugt, dass seine zentrale Erkenntnis Bestand haben wird. Denn sie berühre eine tiefe Wahrheit, die er sein Leben lang gespürt habe: »Man ist in einer Umgebung, die sich ständig verändert. Jede Welle ist anders« – ähnlich wie die Einsichten, die er erlangt, wenn er auf seinem Surfbrett auf dem Meer treibt. »Sie treffen einen einfach und man fragt sich: Warum bin ich da nicht früher drauf gekommen?«