Ob Physik, Wirtschaft oder KI-Forschung: In vielen Disziplinen taucht ein und dieselbe mathematische Struktur auf, die Boltzmann-Verteilung. Sie beschreibt nicht nur, wie sich Moleküle statistisch verteilen, sondern bildet auch die Grundlage für Modelle in Ökonomie und KI – etwa beim Wahlverhalten oder in neuronalen Netzen. In den verschiedensten Fachbereichen trifft man immer wieder auf die Formel, die Ludwig Boltzmann 1872 veröffentlichte.

Der Wirtschaftsmathematiker Omer Tamuz vom Caltech hat gemeinsam mit seinem Kollegen Fedor Sandomirskiy von der Princeton University untersucht, ob sich auch andere statistische Verteilungen zur Modellierung der verschiedenen Systeme eignen – und fand eine überraschende Antwort: Die Boltzmann-Verteilung ist die einzige, die unabhängige Systeme im Gleichgewicht korrekt beschreibt. Ihre Ergebnisse haben die beiden Forscher im Fachjournal »Mathematische Annalen« veröffentlicht.

Die Boltzmann-Verteilung gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass sich ein System bei gegebener Temperatur in einem bestimmten Energiezustand befindet. Demnach nehmen zum Beispiel in einer Menge aus Gasen viele Teilchen den Grundzustand ein, aber nicht alle: Es gibt immer statistische Ausreißer. Da der Begriff »System« dabei sehr allgemein verwendet wird, lässt sich die Verteilung auf unterschiedlichste Bereiche übertragen – von Gasen bis zu ökonomischen Entscheidungen. Da besagt sie zum Beispiel: Gute Optionen werden häufiger gewählt, aber schlechte Optionen nicht nie.

Was unabhängig ist, bleibt unverbunden

Zudem hat die Boltzmann-Verteilung eine wichtige Eigenschaft, wenn man Systeme aus zwei nicht miteinander wechselwirkenden Teilen beschreiben möchte, etwa zwei unabhängige Märkte oder zwei unterschiedliche neuronale Einheiten. Die beiden Teilsysteme lassen sich in diesem Fall unabhängig voneinander durch die statistische Verteilung modellieren, ohne dass dabei Korrelationen in ihrer gemeinsamen Beschreibung entstehen.

Damit eignet sich die Boltzmann-Verteilung dafür, das Verhalten von unabhängigen Systemen zu beschreiben. Doch womöglich könnte man auch andere Verteilungen dafür nutzen, überlegten Tamuz und Sandomirskiy: »Welche anderen Theorien haben diese Eigenschaft, dass sie die fehlende Verbindung zwischen den nicht miteinander verbundenen Verhaltensweisen korrekt beibehalten?« Um das zu überprüfen, nutzten die Forscher ein einfaches Werkzeug, mit dem man zufällige Verteilungen von zwei unabhängigen Systemen erzeugen kann: Würfelpaare.

»Wir haben einen neuen Blick auf ein Konzept eröffnet, das seit über einem Jahrhundert ein fester Bestandteil von Lehrbüchern ist«Fedor Sandomirskiy, Wirtschaftsmathematiker

Beim Würfeln sind die beiden Würfel vollkommen unabhängig voneinander. Eine Verteilung, die die Summe ihrer Augenzahlen beschreibt, darf daher keine künstlichen Abhängigkeiten erzeugen. Und wie Tamuz und Sandomirskiy beweisen konnten, erfüllt lediglich die Boltzmann-Verteilung diese Bedingung.

Die Würfel stehen dabei nur symbolisch für alle Arten zufälliger Prozesse. Die zentrale Aussage der Arbeit lautet deshalb: Sobald man verlangt, dass unabhängige Systeme auch mathematisch unabhängig bleiben, gibt es bloß eine mögliche Gleichgewichtsverteilung: die Boltzmann-Verteilung. »Wir wussten nicht, wohin uns unsere Überlegungen führen würden«, sagt Sandomirskiy. »Und nun haben wir einen neuen Blick auf ein Konzept eröffnet, das seit über einem Jahrhundert ein fester Bestandteil von Lehrbüchern ist.«