Riemannsche Vermutung: Nein, die KI hat nicht das größte Problem der Mathematik gelöst
Das berühmteste ungelöste Problem der Mathematik ist auch heute noch genauso weit von einer Lösung entfernt, wie noch eine Woche zuvor. Weder Menschen noch KI haben bei der riemannschen Vermutung Fortschritte erzielt. Doch ein KI-Modell hat nun erstmals einen bedeutenden Schritt in Richtung des zugrunde liegenden Problems gemacht: der Verteilung der Primzahlen.
In einem Blogbeitrag kündigte das Unternehmen Anthropic ein wissenschaftliches Ergebnis an, das eine noch unveröffentlichte Variante des Sprachmodells Claude verfasst hat. Das Resultat liefert wichtige Fortschritte bei einem bislang ungelösten Aspekt der sogenannten riemannschen Zetafunktion, die beschreibt, wie sich Primzahlen auf der Zahlengeraden verteilen. Fachleute zeigen sich beeindruckt.
»Das Problem braucht eine neue, echte Idee – und genau das scheint dieses Ergebnis zu liefern«, sagt der Mathematiker James Maynard von der University of Oxford. »Es sieht so aus, als habe die KI einen wirklich interessanten mathematischen Beitrag geleistet.«
Die riemannsche Zetafunktion wird mit »komplexen« Zahlen gespeist, also Werten mit einem Real- und einem Imaginärteil (Wurzeln aus negativen Zahlen). Die Funktion liefert eine unendlich lange Summe, die zu einer endlichen Zahl – dem Ergebnis – führt. Bernhard Riemann (1826–1866) vermutete, dass die Summe genau dann null wird, wenn der Realteil der Eingabe exakt 1⁄2 beträgt. Diese Annahme würde der mathematischen Welt eine ungeahnte Ordnung verleihen, weil die Funktion eng mit Primzahlen verbunden ist.
Die riemannsche Vermutung
Seit mehr als 160 Jahren zählt die riemannsche Vermutung zu den härtesten Problemen der Mathematik. Weltweit versuchen sich immer wieder etliche Personen an einem Beweis, doch bisher sind alle gescheitert.
Bernhard Riemann war einer der wichtigsten Mathematiker der vergangenen Jahrhunderte, der die Gebiete der Analysis, der Differentialgeometrie und der Zahlentheorie vollkommen veränderte. In seiner 1859 erschienenen Arbeit »Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe« formulierte er seine berühmte Vermutung. Dies war seine einzige Veröffentlichung im Bereich der Zahlentheorie – und dennoch zählt sie bis heute zu den bedeutendsten Werken dieser Disziplin.
Da Riemann hauptsächlich auf dem Fachgebiet der Analysis tätig war, die sich häufig mit stetigen oder differenzierbaren Funktionen beschäftigt, wählte er auch einen solchen Ansatz, um die Verteilung der Primzahlen zu studieren. Durch Riemanns Arbeit fanden Mathematiker später heraus, dass Primzahlen in kleinen Bereichen des Zahlenstrahls zwar willkürlich verstreut sind, aber asymptotisch (also für Intervallgrößen, die gegen unendlich gehen) regelmäßig erscheinen.
Diese Ordnung spiegelt sich in der von Riemann gefundenen Primzahlfunktion π(x) wider, welche die Anzahl aller Primzahlen bestimmt, die kleiner als eine gegebene Anzahl x sind. Die Funktion hängt von der sogenannten Zetafunktion ζ ab, die Leonhard Euler bereits 1737 eingeführt hatte. Die Primzahlfunktion ist nicht exakt – die Verteilung der Primzahlen schwankt um einen Wert, der durch die Nullstellen der Zetafunktion bestimmt ist. Anders ausgedrückt: Kennt man all die Werte z, für die ζ(z) gleich null ist, kann man daraus sehr genau auf die Verteilung der Primzahlen schließen.
Riemann fiel bereits in diesem Aufsatz auf, dass die Nullstellen der Zetafunktion einem bestimmten Muster zu folgen scheinen. Das Muster entdeckte er aber erst, nachdem er die von Leonhard Euler definierte Funktion erweitert hatte: Anstatt sie nur mit den gewöhnlichen reellen Zahlen zu speisen, setzte er auch komplexe Zahlen ein, die Wurzeln aus negativen Zahlen enthalten. Schnell stieß Riemann auf »triviale« Nullstellen: Er zeigte, dass die Zetafunktion für sämtliche negativen geraden Zahlen verschwindet. Allerdings besitzt sie weitere Nullstellen, die alle auf einer Geraden zu liegen scheinen, überall dort, wo der reelle Anteil einer Nullstelle der Zetafunktion den Wert 1⁄2 hat. Diese Beobachtung ging als »riemannsche Vermutung« in die Mathematikgeschichte ein.
Als der Mathematiker David Hilbert von der Universität Göttingen im Jahr 1900 am internationalen Mathematikerkongress in Paris seine berühmte Rede zu den zehn wichtigsten offenen Problemen der Mathematik hielt, gehörte dazu die riemannsche Vermutung. Von ursprünglich zehn Problemen seiner Liste sind inzwischen acht zumindest teilweise gelöst – doch bei der riemannschen Vermutung gab es bisher kaum Fortschritte.
Anlässlich des 100. Jahrestags von Hilberts prägender Rede formulierte das Clay Mathematics Institute zur Jahrtausendwende sieben »Millennium-Probleme«, deren Lösung mit jeweils einer Million US-Dollar belohnt wird. Darunter ist die riemannsche Vermutung. Das Preisgeld erhält man aber nur für einen Beweis. Liefert man ein Gegenbeispiel, das heißt eine Nullstelle, die nicht auf der erwarteten Geraden liegt, geht man leer aus. Neben den gescheiterten Versuchen eines Beweises haben Mathematiker mit enormer Rechenleistung bisher mehrere Milliarden dieser Nullstellen berechnet, und keine wich von der vorhergesagten Geraden ab.
Die riemannsche Vermutung ist seit fast 170 Jahren ungelöst. Das Problem gilt als so schwer zugänglich, dass sich die meisten Fachleute gar nicht erst daran versuchen. Ein Team bei Anthropic dachte sich deshalb, dass Claude einen Versuch wagen sollte. Laut Blogbeitrag gab das Sprachmodell zwar schnell auf, wandte sich aber einer verwandten Fragestellung zu.
Die Zetafunktion wird für unendlich viele Eingabewerte null. Falls die riemannsche Vermutung wahr ist, haben alle einen Realteil von 1⁄2. Bisher konnten Forschende aber nur zeigen, dass mindestens 41,6 Prozent der Nullstellen einen Realteil von 1⁄2 haben. Claude konnte diese untere Schranke nun auf 67,2 Prozent erhöhen.
»Selbst mit allem Optimismus gibt es keinen Weg, wie diese Ansätze die eigentliche riemannsche Vermutung lösen könnten«John Maynard, Mathematiker
Dieses verwandte Problem erinnert so stark an die riemannsche Vermutung, dass es leicht zu Missverständnissen kommt: »Selbst mit allem Optimismus gibt es keinen Weg, wie diese Ansätze die eigentliche riemannsche Vermutung lösen könnten«, sagt Maynard. Selbst wenn Claude die Schranke auf 100 Prozent gebracht hätte, wäre das keine Lösung. Denn paradoxerweise würde das nicht ausschließen, dass eine winzige Teilmenge von Nullstellen einen anderen Realteil als 1⁄2 besitzt.
Während seiner Forschungsarbeit verfolgte das Sprachmodell 650 verschiedene, erfolglose Ansätze. Dafür delegierte das Programm die Überprüfung an 60 verschiedene, eigenständige Claude-Agenten, die dem Modell untergeordnet zuarbeiteten. Die Anthropic-Mitarbeitenden gaben kaum mehr Input als aufmunternde Worte wie »Glaub an dich« und »Mach weiter so«.
»Das ist ein weiterer Beleg dafür, dass KI in der Lage ist, interessante mathematische Forschung zu betreiben – und nicht nur vorgegebene Probleme zu lösen«, sagt der Mathematiker Andrew Sutherland vom Massachusetts Institute of Technology. Maynard lobt darüber hinaus die Vorstellung des Ergebnisses durch das Unternehmen: Der Blogbeitrag sei »bemerkenswert zurückhaltend, verzichtete auf Übertreibungen und würdigte die Beiträge früherer Arbeiten angemessen«.
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