Riemannsche Vermutung: Lösen Quantencomputer das größte Problem der Mathematik?
Falls die riemannsche Vermutung korrekt ist, ordnen sich die Primzahlen strukturiert auf der unendlichen Zahlengeraden an. Doch auch 167 Jahre nach der von Bernhard Riemann geäußerten Hypothese – und trotz eines Preisgelds in Millionenhöhe – ist bis heute unklar, wie sie sich beweisen ließe.
Das möchte ein Forschungsteam aus China nun ändern. Fachleute um den Physiker Shijie Wei von der Beijing Academy of Quantum Information Sciences haben die Vermutung zur Primzahlverteilung in einem physikalischen System codiert, um dessen Eigenschaften mit einem Quantencomputer zu untersuchen. Ihr Vorgehen haben sie in der Fachzeitschrift »Nature Communications« beschrieben – und machen damit die abstrakte Fragestellung nach der Verteilung der Primzahlen greifbarer als je zuvor. Wei hofft, mit der Arbeit zeigen zu können, dass auch Quantencomputer eine wichtige Rolle bei der Erforschung mathematischer Vermutungen einnehmen.
Die Idee kam Wei in den 2010er-Jahren, als er in einem Vortrag erstmals davon hörte, wie Quantencomputer bei der Untersuchung einer verwandten mathematischen Formel helfen könnten, der Möbiusinversion. »Inspiriert von diesem Ansatz dachte ich, dass vielleicht auch die riemannsche Vermutung mit Quantensystemen in Verbindung stehen könnte«, erzählt er.
Im Zentrum der Vermutung liegt die Zetafunktion, eine Gleichung, die eine Summe unendlich vieler Terme enthält. In diese Funktion setzt man eine komplexe Zahl ein – also einen Wert mit einem Real- und einem Imaginärteil (dem Vielfachen der Wurzel aus minus eins). Nach der Berechnung der unendlichen Summe ergibt sich als Ergebnis eine komplexe Zahl. Riemann zeigte, dass die sogenannten Nullstellen der Zetafunktion – also jene Eingaben, für die die unendliche Summe null ergibt – die Positionen aller Primzahlen auf der Zahlenlinie verschlüsseln.
Hierbei fiel Riemann auf, dass diese Nullstellen offenbar nur dann auftreten, wenn der Realteil der Eingabe 1/2 beträgt. Er vermutete, dass dies immer der Fall sei. Sollte das zutreffen, würde sich hinter dem scheinbaren Chaos der Primzahlen eine bemerkenswerte Ordnung verbergen. Findet man jedoch eine Nullstelle mit einem Realteil ungleich 1/2, wäre die Vermutung widerlegt – und man könnte sich beim Clay Mathematics Institute das Preisgeld von einer Million US-Dollar abholen.
Die riemannsche Vermutung
Seit mehr als 160 Jahren zählt die riemannsche Vermutung zu den härtesten Problemen der Mathematik. Weltweit versuchen sich immer wieder etliche Personen an einem Beweis, doch bisher sind alle gescheitert.
Bernhard Riemann war einer der wichtigsten Mathematiker der vergangenen Jahrhunderte, der die Gebiete der Analysis, der Differentialgeometrie und der Zahlentheorie vollkommen veränderte. In seiner 1859 erschienenen Arbeit »Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe« formulierte er seine berühmte Vermutung. Dies war seine einzige Veröffentlichung im Bereich der Zahlentheorie – und dennoch zählt sie bis heute zu den bedeutendsten Werken dieser Disziplin.
Da Riemann hauptsächlich auf dem Fachgebiet der Analysis tätig war, die sich häufig mit stetigen oder differenzierbaren Funktionen beschäftigt, wählte er auch einen solchen Ansatz, um die Verteilung der Primzahlen zu studieren. Durch Riemanns Arbeit fanden Mathematiker später heraus, dass Primzahlen in kleinen Bereichen des Zahlenstrahls zwar willkürlich verstreut sind, aber asymptotisch (also für Intervallgrößen, die gegen unendlich gehen) regelmäßig erscheinen.
Diese Ordnung spiegelt sich in der von Riemann gefundenen Primzahlfunktion π(x) wider, welche die Anzahl aller Primzahlen bestimmt, die kleiner als eine gegebene Anzahl x sind. Die Funktion hängt von der sogenannten Zetafunktion ζ ab, die Leonhard Euler bereits 1737 eingeführt hatte. Die Primzahlfunktion ist nicht exakt – die Verteilung der Primzahlen schwankt um einen Wert, der durch die Nullstellen der Zetafunktion bestimmt ist. Anders ausgedrückt: Kennt man all die Werte z, für die ζ(z) gleich null ist, kann man daraus sehr genau auf die Verteilung der Primzahlen schließen.
Riemann fiel bereits in diesem Aufsatz auf, dass die Nullstellen der Zetafunktion einem bestimmten Muster zu folgen scheinen. Das Muster entdeckte er aber erst, nachdem er die von Leonhard Euler definierte Funktion erweitert hatte: Anstatt sie nur mit den gewöhnlichen reellen Zahlen zu speisen, setzte er auch komplexe Zahlen ein, die Wurzeln aus negativen Zahlen enthalten. Schnell stieß Riemann auf »triviale« Nullstellen: Er zeigte, dass die Zetafunktion für sämtliche negativen geraden Zahlen verschwindet. Allerdings besitzt sie weitere Nullstellen, die alle auf einer Geraden zu liegen scheinen, überall dort, wo der reelle Anteil einer Nullstelle der Zetafunktion den Wert 1⁄2 hat. Diese Beobachtung ging als »riemannsche Vermutung« in die Mathematikgeschichte ein.
Als der Mathematiker David Hilbert von der Universität Göttingen im Jahr 1900 am internationalen Mathematikerkongress in Paris seine berühmte Rede zu den zehn wichtigsten offenen Problemen der Mathematik hielt, gehörte dazu die riemannsche Vermutung. Von ursprünglich zehn Problemen seiner Liste sind inzwischen acht zumindest teilweise gelöst – doch bei der riemannschen Vermutung gab es bisher kaum Fortschritte.
Anlässlich des 100. Jahrestags von Hilberts prägender Rede formulierte das Clay Mathematics Institute zur Jahrtausendwende sieben »Millennium-Probleme«, deren Lösung mit jeweils einer Million US-Dollar belohnt wird. Darunter ist die riemannsche Vermutung. Das Preisgeld erhält man aber nur für einen Beweis. Liefert man ein Gegenbeispiel, das heißt eine Nullstelle, die nicht auf der erwarteten Geraden liegt, geht man leer aus. Neben den gescheiterten Versuchen eines Beweises haben Mathematiker mit enormer Rechenleistung bisher mehrere Milliarden dieser Nullstellen berechnet, und keine wich von der vorhergesagten Geraden ab.
Liegt die Lösung in der Physik verborgen?
Mehr als 100 Jahre lang wurde das Problem der reinen Zahlentheorie zugeordnet. Doch 1972 traf der Mathematiker Hugh Montgomery, damals Doktorand an der Universität Cambridge, zufällig den bekannten Physiker Freeman Dyson. Im Gespräch über die riemannsche Zetafunktion entdeckten sie eine überraschende Verbindung zwischen deren Nullstellen und den Vorgängen in Atomkernen.
Seitdem vermuten manche Fachleute, dass die Quantenphysik dabei helfen könnte, die Geheimnisse der Primzahlen zu lüften. Jahrzehntelang suchten Forschende nach einem Quantensystem, dessen Energie den Nullstellen der Zetafunktion entspricht. Doch dieses blieb bislang unentdeckt.
Wei und seine Kollegen schlagen nun einen neuen physikalischen Zugang vor: ein System aus wechselwirkenden Atomkernen, das sich im Lauf der Zeit entwickelt und dabei gelegentlich eine Veränderung durchläuft – einen sogenannten Phasenübergang, vergleichbar mit dem Übergang von Wasser zu Eis. Die Forschenden konnten zeigen, dass dieses einzigartige Quantensystem die riemannsche Zetafunktion exakt widerspiegelt: Zu jedem Zeitpunkt entspricht die Temperatur des Systems dem Realteil der Eingabe, während die Zeit, mit der es sich entwickelt, den Imaginärteil codiert. Der Phasenübergang tritt nur dann auf, wenn beide Eingabewerte den Nullstellen der Zetafunktion entsprechen.
Diese Erkenntnis eröffnete Wei und seinem Team eine neue Möglichkeit, nach bislang unbekannten Nullstellen der Zetafunktion zu suchen. Sie präparierten die Temperatur des Systems so, dass es einem Realteil ungleich 1/2 entspricht. Anschließend ließen sie es sich zeitlich entwickeln und warteten auf einen Phasenübergang. Sollte dieser eintreten, wäre das ein Beleg für eine Nullstelle mit Realteil ungleich 1/2 – damit wäre die riemannsche Vermutung widerlegt. Aus theoretischer Sicht kann ein solcher Quantenalgorithmus die Zetafunktion schneller nach Nullstellen absuchen als herkömmliche Computer.
In ihrer Arbeit nutzten die Forschenden ein System aus fünf wechselwirkenden Atomen – den quantenmechanischen Gegenstücken zu Bits, sogenannten Qubits. Bisher haben die Fachleute aber noch keine Nullstelle gefunden, die der Mathematik entgangen wäre. Wenn es jedoch gelänge, das System auf 100 Qubits zu erweitern, könnte es laut Wei und seinem Team mehr Nullstellen prüfen als jeder existierende Computer.
Die Studie bringt die Forschenden dem ehrgeizigen Ziel näher, von dem schon Dyson und Montgomery träumten: eine Antwort auf Riemanns Frage in der physischen Welt zu finden.
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.