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News: Risiko!

Hobbystrategen führen heiße Debatten darüber, welche Taktik beim Brettspiel "Risiko" am ehesten zum Sieg führt. Mathematiker sind über derlei Vermutungen erhaben und rechnen kurzerhand nach.
Risiko
Zugegeben, so ganz politisch korrekt war es wohl nicht. Aber es hat schlichtweg einen Mordsspaß gemacht, mit Freunden nächtelang um die Weltherrschaft zu ringen. Heute muss einen das schlechte Gewissen nicht mehr plagen, denn laut Regelwerk ist nicht mehr die Weltherrschaft, sondern die Befreiung des Globus das ruhmreiche Ziel. Sei's drum, das Strategiespiel "Risiko" hat auch mit überarbeiteter Anleitung nicht an Reiz verloren.

Das finden offensichtlich auch Mathematiker, die selbstredend der Würfelei mit all den strategischen Überlegungen eine ganz andere Sichtweise abgewinnen. Da zählt nicht die glorreiche Befreiung der amerikanischen Weststaaten durch einen gewagten Ausfall von Ontario, und auch nicht die Scharmützel, die sich Ost- gegen Westaustralien um die Vorherrschaft in Down Under liefern. Es sind vielmehr die Wahrscheinlichkeiten, die Jason Osborne, seines Zeichens Mathematiker an der North Carolina State University, umtreiben. Und nicht nur ihn, bereits 1997 machte sich sein Kollege Baris Tan von der türkischen Koç University daran, ein für alle Mal zu klären, auf welcher Seite denn nun der Vorteil liegt: beim Verteidiger oder beim Befreier [1].

Diese Frage ist nicht eben leicht zu klären und hängt entscheidend – jeder Risiko-Spieler weiß es – vom Kräftegleichgewicht der Kontrahenten ab. Aber zunächst ganz grob zu den Regeln des Strategie-Klassikers: Sieht man einmal von anderen Spielvarianten ab, so geht es im Grunde darum, alle 42 Länder mit den eigenen Armeen zu besetzen und so die Farben der Mitspieler vom Spielplan zu tilgen. Dabei dürfen Befreiungsversuche nur von benachbarten Territorien erfolgen, wobei der Angreifer mindestens eine, maximal alle bis auf eine Armee von dem bereits besetzten Land in das neu zu erobernde bewegt.

Je nach Zahl der Armeen, die sich nun gegenüberstehen, wird mit unterschiedlicher Anzahl von Würfeln um das Schicksal des Landes gespielt. Dabei darf sich die Besatzungsmacht lediglich mit zwei Würfeln wehren – vorausgesetzt mindestens zwei Armeen stehen zur Verfügung. Ist es eine allein, dann entscheidet ein Würfel für sie. Der Befreier kann hingegen mit maximal drei Würfeln angreifen, wenn er denn drei oder mehr Armeen einsetzt. Sind es zwei oder nur eine Armee, dann führt er die Attacke mit eben dieser Würfelanzahl aus.

Nachdem entschieden ist, mit wie vielen Würfeln die beiden Kriegsparteien ihren Konflikt bestreiten, wird gewürfelt und anschließend das Ergebnis verglichen – wobei zunächst die höchsten Würfe gegenüberzustellen sind und dann die kleineren Augenzahlen. Bei jedem Vergleich verliert stets die Partei mit der geringeren Augenzahl und muss eine Armee vom Spielfeld nehmen. Ist die Augenzahl jedoch gleich, dann gewinnt immer der Verteidiger.

Ein Beispiel: Die grünen Streitkräfte versuchen, ihr Territorium mit einer 5 und einer 3 zu verteidigen. Die blauen Befreier greifen mit einer 2, einer 1 und einer 6 an. Das heißt, sowohl grün als auch blau verlieren je eine Armee. Denn die 5 muss sich mit der 6 messen und zieht den Kürzeren, dafür ist die 3 größer als die 2, und so verliert auch der Herausforderer. Die Schlacht dauert so lange, bis entweder alle Einheiten der Besatzungsmacht oder der Befreier aufgerieben sind oder letztere mit den verbliebenen Armeen zum Rückzug blasen.

Soweit zum Regelwerk. Um nun die Chancen für einen erfolgreichen Angriff auszurechnen, behandelte Tan das Problem wie eine so genannte Markow-Kette, bei der sich die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Kräfteverhältnis allein aus dem vorangehenden Kräfteverhältnis berechnet – und zwar mit Hilfe einer so genannten Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix, in der sich die Würfelstatistik widerspiegelt. Resultat des Ganzen: Die Angreifer tun sich im Schnitt etwas schwerer als die Verteidiger – jeder Befreiungsversuch birgt also ein vergleichsweise hohes Risiko.

Doch Tan machte offenbar einen entscheidenden Fehler bei seinen Berechnungen, wie Osborne nun feststellte [2]. So nahm der türkische Wissenschaftler an, dass die Würfelergebnisse unabhängig voneinander sind. Doch was normalerweise für aufeinander folgende Würfe gilt – schließlich ist auch beim zehnten Versuch, die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln, immer noch 1/6 –, ist für Risiko nicht richtig. Denn, so argumentiert Osborne, die Würfe werden geordnet und paarweise verglichen.

Und das ändert die Chancen für die Befreier erheblich. Stehen sich etwa gleiche Truppenstärken gegenüber, so liegt der Vorteil ab fünf Einheiten deutlich bei den einmarschierenden Verbänden. "Die Chancen, die Schlacht zu gewinnen, sind viel deutlicher auf Seiten der Angreifer als bisher vermutet", fasst Osborne das Ergebnis zusammen. Ein mutiges Vorpreschen wird also belohnt.

Aber im Grunde wussten das Risiko-Spieler schon immer. Unvergessen die Abende, an denen vom strategisch gut gelegenen Indonesien mit einem guten Dutzend Einheiten ein Durchmarsch durch halb Asien gelang.

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