Ein Zug ist außer Kontrolle geraten und rast auf eine Kreuzung zu. Die Stellung einer Weiche entscheidet, auf welchem Gleis er weiterfährt. Doch die Gleise sind nicht leer: Auf ihnen befindet sich je ein mathematisches Konzept, das geopfert werden muss. Die Mathematikerin Anna Wienhard, Direktorin am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften, und ihr Kollege Jürgen Richter-Gebert von der TU München stehen an der Weiche. Somit kontrollieren sie den weiteren Verlauf des Zugs – welches mathematische Konzept werden sie aufgeben und welches werden sie retten?

Vor solche Dilemmata nach Art des »Trolley-Problems« stellte Spektrum-Autor Demian Nahuel Goos die beiden Fachleute während einer Tagung, die zu Ehren des Mathematikers Felix Klein (1849–1925) im September 2025 in Leipzig stattfand. Klein prägte das Fach durch seine wegweisenden Beiträge zur Geometrie, zur Invariantentheorie und zur Mathematischen Didaktik und setzte sich leidenschaftlich dafür ein, Mathematik zugänglich und verständlich zu gestalten. Ganz in diesem Sinn soll das Trolley-Problem mathematische Konzepte auf spielerische Weise vermitteln.

Es folgt eine redigierte und gekürzte verschriftlichte Fassung des Gesprächs. Sie können das Interview als Ganzes hier anhören:

Spektrum: Eine Bahn fährt mit rasender Geschwindigkeit auf eine Kreuzung mit zwei Objekten zu. Auf der einen Seite befinden sich die rationalen Zahlen, auf der anderen die irrationalen Zahlen. Sie müssen sich einigen, was Sie retten würden – und erklären, worum es sich dabei handelt.

Wienhard: Die rationalen Zahlen bauen auf den natürlichen Zahlen auf, also eins, zwei, drei, vier, fünf und so weiter. Wenn wir das Minuszeichen hinzunehmen, erhalten wir die ganzen Zahlen. Aber stellen Sie sich vor, es gibt zwei Kuchen und zehn Leute. Mit ganzen Zahlen allein lässt sich dieser nicht aufteilen. Man braucht also rationale Zahlen; einen Bruch aus ganzen Zahlen.

Richter-Gebert: Die irrationalen Zahlen sind der ganze Rest auf dem Zahlenstrahl. Denn das, was Anna Wienhard gerade erklärt hat, ist bloß ein löchriger Käse. Zwischen zwei Brüchen gibt es stets viele andere Brüche, doch dazwischen gibt es noch viel, viel mehr irrationale Zahlen. Das sind Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, die keine Periodizität aufweisen. Und man kann beweisen, dass es unglaublich viel mehr irrationale Zahlen gibt als rationale – was nicht heißt, dass ich die Dinger gut finde.

Und jetzt müssen Sie sich entscheiden: Möchten Sie lieber in einer Welt nur mit rationalen oder nur mit irrationalen Zahlen leben?

Wienhard: Ich bin ganz klar für die rationalen Zahlen.

Richter-Gebert: Ich auch. Ich habe in meinem Leben noch keine irrationale Zahl gebraucht.

Wienhard: Das stimmt nicht. Du hast vielleicht nicht die Eigenschaft gebraucht, dass die Zahlen wirklich irrational sind. Aber ohne Symbole wie Wurzel 2 oder Pi kommst du nicht aus.

Also entscheiden Sie sich für einen löchrigen Käse. 

Wienhard: Ja. Denn aus den rationalen Zahlen lassen sich ganz viele der irrationalen Zahlen konstruieren.

Das geht umgekehrt genauso.

Wienhard: Das ist aber deutlich komplizierter, weil der Ausgangspunkt viel komplizierter ist.

Ich hätte mich trotzdem dafür entschieden, die rationalen Zahlen aufzugeben. Ich denke, es ist spannend, sich eine Welt vorzustellen, in der irrationale Zahlen als intuitives Konzept vorliegen – und mit diesen schließlich rationale Zahlen zu entdecken. Was für eine Welt könnte so aussehen?

Richter-Gebert: Das erinnert mich daran, dass Menschen früher zwischen Messzahlen und Zählzahlen unterschieden haben – je nachdem, ob man eine Strecke misst oder eben zählt: 1, 2, 3, 4, 5, … Es hat Jahrhunderte gedauert, bis daraus ein einheitliches Konzept wurde. Die irrationalen Zahlen sind in diesem Sinne alle Messzahlen, wohingegen sich die Brüche aus Zählzahlen ergeben.

Schauen wir uns die nächste Situation an. Auf dem einen Gleis ist die euklidische Geometrie und auf dem anderen die nichteuklidische Geometrie. Sie müssen wieder entscheiden, was Sie opfern würden – und kurz erklären, worum es sich dabei handelt.

Richter-Gebert: Die euklidische Geometrie ist die Geometrie, die Euklid gemacht hat. Das ist die Geometrie, in der es durch einen Punkt zu einer Geraden genau eine Parallele gibt, die Geometrie, in der der Satz des Pythagoras gilt. Oder wie Felix Klein sagte: Es ist die Geometrie auf einer glatten Oberfläche ohne Krümmung. 

Wienhard: Nichteuklidische Geometrie ist alles, was nicht euklidisch ist. Euklid hat einen axiomatischen Zugang zur Geometrie genutzt: Er hat fünf Postulate verfasst, aus denen etliche Dinge folgen, die wir aus der Schule kennen, etwa dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180 Grad beträgt. Das fünfte Postulat, das Parallelenpostulat, besagt: Zu einer Geraden und einem Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, gibt es eine eindeutige Parallele, die durch diesen Punkt führt.

Über Jahrhunderte haben Mathematiker versucht zu zeigen, dass das fünfte Postulat aus den anderen vier folgt. Bis sie feststellten: Das stimmt nicht. Und das heißt, dass Mathematiker über Jahrhunderte Geometrie mit nur vier Postulaten gemacht haben, was nichteuklidischer Geometrie entspricht – obwohl sie gar nicht wussten, dass nichteuklidische Geometrie überhaupt existiert.

Gibt es anschauliche Beispiele für nichteuklidische Geometrien?

Wienhard: Die Kugeloberfläche. Da gibt es überhaupt keine Parallelen, sondern je zwei Geraden schneiden sich. Wirklich revolutionär war die Entdeckung der hyperbolischen Geometrie im 19. Jahrhundert. Und dann gibt es noch ganz viele andere nichteuklidische Geometrien in höheren Dimensionen, die wesentlich komplizierter sind.

Die Bahn rast nun auf beide Arten von Geometrie zu. Was machen Sie?

Richter-Gebert: Ich muss eine gemeine Antwort im Sinne von Felix Klein geben: Du bekommst nur beide oder keine tot. Sobald es eine der beiden Geometrien gibt, muss es auch die andere geben. Klein hat bewiesen, dass man aus einer euklidischen Geometrie immer ein Modell von projektiver Geometrie konstruieren kann, und aus diesem lässt sich dann eine nichteuklidische Geometrie machen. Umgekehrt ist das genauso. Aus nichteuklidischer Geometrie kann man projektive Geometrie erhalten – und in der findet sich die euklidische Geometrie wieder. Das heißt, es ist egal, wohin die Bahn fährt, in der Welt ist immer beides realisiert. Aber schöner ist die nichteuklidische. Viel schöner.

Wienhard: Ich bin auch dafür, die nichteuklidische Geometrie zu behalten. Denn es täte uns gut – auch in der Schulmathematik – , zu lernen, dass Mathematik nicht abgeschlossen ist, sondern dass es noch viele offene Fragen gibt. Und das sieht man viel besser mit der nichteuklidischen Geometrie.

Unter euklidischer Geometrie kann sich doch jeder etwas vorstellen. Wozu brauchen wir dann noch die nichteuklidische?

Richter-Gebert: Stellen Sie sich vor, wir würden euklidisch auf der Kugeloberfläche agieren. Flüge von New York nach Leipzig müssten dann durch einen Tunnel führen. Wenn man alle großen Städte derart verbinden wollte, müsste man sehr viele Löcher durch die Erde bohren.

Da sind wir wieder beim Schweizer Käse. Schauen wir uns das nächste Dilemma an: Torus oder kleinsche Flasche?

Wienhard: Ein Torus entspricht der Oberfläche eines Donuts. Man erhält einen Torus, wenn man einen Zylinder aus Gummi nimmt und beide Enden miteinander verklebt.

Richter-Gebert: Es ergibt sich auch eine kleinsche Flasche, wenn man die beiden Enden eines Zylinders verklebt – aber anders als zuvor geschildert. Bei der kleinschen Flasche geht man erst durch die Wand und klebt die Enden dann von der anderen Seite zusammen.

Und welches Objekt würden Sie retten? 

Wienhard: Ich bin dafür, die kleinsche Flasche zu behalten.

Richter-Gebert: Da sind wir unterschiedlicher Meinung; ich bin für einen Torus. Allein aus kulinarischen Gründen: Ein Donut ist lecker. Und jetzt stellen Sie sich mal vor, Sie verdauen einen Donut. Der muss irgendwo rein und wieder raus. Das geht nur, weil unser Körper im Prinzip ein Torus ist. Und wenn ich mir jetzt vorstelle, was passiert, wenn unser Körper eine kleinsche Flasche wäre … Ich habe mal Wasser in eine kleinsche Flasche geschüttet, und es war unglaublich schwierig, es wieder herauszubekommen. Ich möchte mir nicht vorstellen, was es bedeuten würde, wenn der menschliche Körper die Form einer solchen Flasche hätte. Aber da Anna Wienhard und ich uns einigen müssen und wir auf den Felix-Klein-Tagen sind, gebe ich nach. Tschüss, Donut.

Das ging aber schnell. Lasst uns noch ein letztes Trolley-Problem durchführen: Würden Sie lieber auf 3D-Modelle oder 2D-Illustrationen verzichten? 

Wienhard: Schwierig. Man könnte ja argumentieren, dass sich aus 3D-Modellen zweidimensionale Visualisierungen gewinnen lassen. Man muss die Modelle dafür einfach nur durchschneiden und die Ebene in den dreidimensionalen Raum einbetten. Andererseits lässt sich mit zweidimensionalen Bildern oft einfacher umgehen als mit 3D-Modellen.

Richter-Gebert: Mir fällt die Auswahl auch extrem schwer. Die Frage ist auch, ob es sich um 2D-Illustrationen in einem Buch oder auf einem Computer handelt, die man auch bewegen kann. Falls Letzteres der Fall ist, wäre ich eher für die 2D-Illustrationen. Wenn beides aber starr ist, finde ich 3D-Modelle interessanter.

Wann greifen Sie denn auf 2D-Illustrationen zurück und wann auf 3D-Modelle? Vielleicht vereinfacht das ja die Antwort. 

Richter-Gebert: Ich nutze beides sowohl in der Lehre als auch in der Forschung. In der Lehre zur Visualisierung und in der Forschung, um Dinge zu verstehen. Es gibt ein tolles Zitat von Klein, der sagt, dass der Zweck des Modells nicht ist, die Schwäche der Anschauung auszugleichen, sondern eine lebhafte Vorstellung von den Objekten zu entwickeln. Das wird hervorragend durch das Anfertigen von 3D-Modellen erreicht – aber auch von 2D-Modellen am Computer.

Wienhard: Ich nutze 2D-Illustrationen in mathematischen Artikeln, aber auch während des kreativen Prozesses. Und durch 3D-Modelle machen wir Mathematik anfassbar und erfahrbar. Da finde ich das dreidimensionale Objekt, das man in die Hand nehmen und sich von allen Seiten ansehen kann, sogar ein bisschen schöner. Daher würde ich mich dafür aussprechen.

Richter-Gebert: Ja, ich auch.