Menschen denken linear.

Das heißt, wenn wir an Zahlen denken, neigen wir dazu, dies linear zu tun: 1 + 1 = 2, die Differenz zwischen ganzen Zahlen ist eine Konstante gleich 1 und so weiter. Das Lustige daran ist, dass das Universum eben nicht linear ist. Auch unsere Art, mit der Welt zu interagieren, ist oft nicht linear!

Schon unsere Augen nehmen die Welt nicht linear wahr: Wir nehmen Helligkeit auf einer modifizierten logarithmischen Skala wahr. Auch unsere Hörempfindlichkeit ist logarithmisch. Diese Wahrnehmungsweisen verschaffen uns einen größeren Empfindlichkeitsbereich, um die Außenwelt zu erleben.

Es ist also seltsam, dass unser Gehirn darauf zu bestehen scheint, Zahlen linear zu verarbeiten. Wir haben ein intuitives Verständnis dafür, 1 zu einer Zahl hinzuzufügen oder zwei Zahlen miteinander zu addieren. Wenn diese Zahlen jedoch exponentiell steigen, lässt uns unser Gehirn oft im Stich.

Hier ist ein praktisches Beispiel, das ziemlich schnell unpraktisch wird: Wenn man ein Blatt Papier in der Mitte faltet, wird es dicker, oder? Tatsächlich verdoppelt sich seine Dicke. Wie oft muss man also ein Blatt Papier in der Mitte falten, damit seine Dicke dem Abstand zum Mond entspricht?

Falls es hilft: Der Mond ist im Durchschnitt 384 000 Kilometer von der Erde entfernt. Okay, jetzt raten Sie mal!

Haben Sie eine Zahl? Hier ist die richtige Antwort: Um ein Blatt Papier mit einer Dicke von 384 000 km zu erhalten, müssten Sie es 42 Mal in der Mitte falten.

Ja. Nur 42 (vielleicht hat Douglas Adams genau daran gedacht, als er diese Zahl ausgewählt hat). Wie kann das sein?

Das liegt am exponentiellen Wachstum. Jedes Mal, wenn man ein Blatt Papier faltet, fügt man nicht einfach zwei Teile zusammen, sondern verdoppelt sie. Das summiert sich viel schneller, als man erwarten würde.

Ein Blatt Papier im Format 20 × 28 Zentimeter (8,5 × 11 Zoll) ist etwa 0,1 Millimeter dick (wie wir gleich sehen werden, spielt die genaue Dicke keine große Rolle). Faltet man es einmal, ist das Papier 0,2 mm dick. Faltet man es erneut, sind es 0,4 mm.

Die Dicke nimmt mit 2 hoch der Anzahl der Faltungen zu. Nach fünf Faltungen ist das Papier also 32-mal dicker. Nach 10 Faltungen ist es 1024-mal dicker (im Fall unseres Blattes Papier wäre es jetzt etwa einen Meter dick).

Unser Verstand sträubt sich dagegen. Nach weiteren 10 Faltungen könnte man meinen, es wäre 2048-mal dicker als ursprünglich, doch tatsächlich ist das bereits nach der nächsten Faltung der Fall (also insgesamt 11)! Nach 20 Faltungen ist das Papier 1 048 576-mal dicker – fast 105 Meter, länger als ein Fußballfeld. Noch mal 10 Faltungen, also insgesamt 30, und es ist über 107 Kilometer dick. Weitere 10 (insgesamt 40) bringen es auf fast 110 000 km, und nur zwei weitere machen es 440 000 km dick – damit hat es den Mond locker überholt. (Eine Falte weniger bringt uns nur auf 220 000 km.)

Da haben wir es: Wir sind nur 42 Faltungen vom Mond entfernt. Man könnte einwenden, dass es mehr Faltungen braucht, wenn das Papier dünner ist – oder weniger, wenn es dicker ist. Und das stimmt auch – aber wenn euer Papier nur halb so dick ist, kommt nur eine Faltung dazu! Ist es doppelt so dick, braucht es eine Falte weniger, sodass unsere Schätzung der Papierstärke ehrlich gesagt reichlich Spielraum für Fehler lässt.

Um ehrlich zu sein: Ein Blatt Papier so oft zu falten, ist, gelinde gesagt, physisch schwierig. Das Problem dabei ist der Knick in der Mitte, der beim Falten entsteht. Bei den ersten paar Faltungen ist es noch nicht allzu schwer, diesen Knick flach zu drücken, aber die Dicke des Papiers selbst wird schnell zum Hindernis, was das weitere Falten immer schwieriger macht.

Vielleicht haben Sie schon einmal die Legende gehört, dass ein Blatt Papier nur sieben Mal gefaltet werden kann, bevor es unmöglich wird, dies noch einmal zu tun. Bei einem Blatt im Format 20 × 28 Zentimeter ist das nicht ganz falsch; nach sieben Faltungen ist ein weiteres Vorankommen sehr schwierig. Ich möchte jedoch anmerken, dass die damalige Highschool-Schülerin Britney Gallivan im Jahr 2001 diesen Rekord brach, indem sie ein 1200 Meter langes Stück Papier zwölf Mal faltete! Sie leitete sogar eine mathematische Formel ab, die zeigt, dass die Krümmung des Knicks die maximale Anzahl möglicher Wiederholungen bestimmt. Auch die Fernsehsendung »MythBusters« hat dies getestet, und den Teilnehmern gelang es, ein gigantisches, 52 mal 67 Meter großes Stück Papier elf Mal in der Mitte zu falten – allerdings mussten sie dafür eine Dampfwalze und einen Gabelstapler einsetzen (und, amüsanterweise, ein wenig auf dem monströs verdickten Blatt auf und ab hüpfen).

Hätten sie doch nur noch 31 Mal weitergefaltet. Die NASA könnte eine Menge Geld für Raketen sparen.

Oder, wenn man es sich recht überlegt, wahrscheinlich doch nicht. Jedes Mal, wenn man das Papier faltet, wird es zwar dicker, seine Fläche aber gleichzeitig schmaler. Nach zwei Faltungen hat jede Seite nur noch die Hälfte ihrer ursprünglichen Länge. Nach 42 Faltungen kann man das Papier nicht einmal mehr großzügig als Blatt bezeichnen; es würde an jeder Seite etwa 0,1 Mikrometer (0,00001 cm) groß sein. Das ist kleiner als ein Bakterium! Damit zum Mond zu klettern, würde sich als problematisch erweisen. Offensichtlich sind wir in den Bereich des Unmöglichen vorgedrungen.

Aber hey, da wir schon einmal hier sind – warum beim Mond aufhören? Es gibt noch weiter entfernte Objekte.

Die Sonne ist 150 Millionen km von der Erde entfernt. Nach 50 Faltungen ist das Papier etwa 113 Millionen km dick, also reicht eine weitere Faltung, um an der Sonne vorbeizukommen – 51 Faltungen entsprechen etwa 225 Millionen km.

Der der Sonne am nächsten gelegene Stern ist der Rote Zwerg Proxima Centauri. Er ist etwa 4,25 Lichtjahre entfernt (oder, in etwas vertrauteren Einheiten: ein kleines bisschen mehr als 40 Billionen km). Wie viele Faltungen sind das? Raten Sie erst einmal.

Wenn Sie auch nur annähernd 69 getippt haben, geben Sie sich selbst einen Stern (einen roten Zwergstern, falls Sie einen zur Hand haben). Damit wäre das Papier 59 Billionen km dick, oder etwas mehr als sechs Lichtjahre (was übrigens gerade noch über einen weiteren roten Zwerg hinausreicht, Barnards Stern).

Wie gefällt Ihnen dieses nicht lineare Denken? Wir können noch weitermachen.

Die Milchstraße hat einen Durchmesser von grob geschätzt 100 000 Lichtjahren. Das sind 83 Faltungen.

Die Andromeda-Galaxie ist 2,5 Millionen Lichtjahre entfernt: 88 Faltungen (mit etwas Spielraum).

Okay, noch ein letztes Gedankenspiel: Das beobachtbare Universum hat einen Durchmesser von knapp 103 Faltungen eines Stück Papiers – das sind etwa 93 Milliarden Lichtjahre oder 880 Sextillionen Kilometer (8,8 × 10²³ km).

Wir sprechen also von lediglich 103 Faltungen, um das gesamte Universum zu durchqueren. Eine Schwierigkeit dabei (unter vielen anderen) ist, dass das Papier so schmal wird, dass es auf schwerwiegende quantenmechanische Probleme stoßen würde; es wäre etwa so breit wie eine Planck-Länge, in gewisser Weise die theoretische Grenze dafür, wie klein ein physikalisches Objekt sein kann. (Ein Proton hat einen Durchmesser von etwa 100 Quintillionen Planck-Längen, um Ihnen ein Gefühl für die Größenordnung zu vermitteln.)

Es ist ein wenig seltsam, sich vorzustellen, dass man nur etwas mehr als 100 Faltungen von allem im gesamten Kosmos entfernt ist, aber genau darum geht es ja: Dies ist ein Beweis dafür, dass wir nicht gut im nicht linearen Denken sind.