Paris im Jahr 1900: Auf dem zweiten internationalen Mathematikerkongress lauschen zahlreiche Fachleute einer Rede von David Hilbert, die in die Geschichtsbücher eingehen wird. Der deutsche Mathematiker trägt damals 23 Probleme seines Fachs vor, die den Forschungsverlauf des 20. Jahrhunderts prägen werden. Mehr als 125 Jahre später, im Juli 2026, wird dem chinesischen Forscher Yu Deng auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Philadelphia die renommierte Fields-Medaille verliehen – für die Lösung eines Kernstücks eines der von Hilbert vorgestellten Probleme.

Die entsprechende Frage handelt nicht von reiner Mathematik, sondern hat auch einen Bezug zur Physik. Hilbert war ebenso an diesem Fach interessiert – und setzte sich dafür ein, es auf eine solide mathematische Grundlage zu stellen. Besondere Schwierigkeiten bereitete dabei die Fluiddynamik, mit der Flüssigkeiten und Gase beschrieben werden.

Je nach Ebene, auf der man Fluide beschreibt, verwenden Physikerinnen und Physiker unterschiedliche Modelle: von einzelnen kollidierenden Kugeln, die den Regeln der newtonschen Dynamik folgen, über eine statistische »Boltzmann-Beschreibung« der Objekte, bis hin zu den Navier-Stokes-Gleichungen, mit denen kontinuierliche Strömungen modelliert werden.

Alle drei Modelle beschreiben Fluide auf unterschiedlichen Skalen erfolgreich, doch sie stehen für sich. Was fehlte, war ein Beweis, der aufzeigt, wie sie im Grenzfall ineinander übergehen. Hilberts sechstes Problem dreht sich darum, eine Verbindung zwischen den einzelnen Skalen herzustellen, also zu beweisen, dass die Grenzwerte der jeweiligen Theorien zueinanderführen.

Jahrzehntelang hatten Fachleute den Übergang der einzelnen Modelle untersucht. Eine besondere Schwierigkeit ergab sich dabei bei Newtons Kugelbild: Die unendlich vielen Möglichkeiten, wie die Kugeln aneinander abprallen könnten, schienen eine Beschreibung durch die Boltzmann-Gleichung unmöglich zu machen. 

1975 konnte der US-Mathematiker Oscar Lanford zeigen, dass sich die Boltzmann-Gleichung aus einem System harter, elastisch kollidierender Kugeln herleiten lässt. Sein Beweis galt jedoch nur für extrem kurze Zeitspannen, in denen sich die Stoßprozesse kontrollieren lassen. Der Zeitrahmen war jedoch zu kurz, um Hilberts Programm wirklich bis zu den Gleichungen der Fluiddynamik weiterzuführen.

Yu Deng betrachtete partielle Differenzialgleichungen, also Gleichungen, die neben gewöhnlichen Variablen auch deren Ableitungen enthalten. Mit ihnen lassen sich daher veränderliche Prozesse untersuchen, etwa die Dichte, Strömungsgeschwindigkeit und Temperatur eines Fluids. »Sie ermöglichen, dass wir uns mit tiefgreifenden wissenschaftlichen Fragen auseinandersetzen können«, sagte Deng in einem Interview. »Einige dieser Fragen lassen sich nur schwer direkt angehen, aber viele von ihnen führen zu wunderschöner Mathematik.«

Im Jahr 2022 tauschte sich Deng auf einer Konferenz mit seinem Kollegen Xiao Ma über sein Fachgebiet aus. Deng hatte sich bislang mit kontinuierlichen Objekten wie Flüssigkeiten beschäftigt. Während des Gesprächs erkannten die beiden Mathematiker, dass eine Übertragung der von Deng entwickelten Methoden auf einzelne Kugeln zu Fortschritten bei Hilberts sechstem Problem führen könnte. Kurz darauf veröffentlichten sie eine Arbeit, in der sie ihr Vorhaben erklärten. »Ich hätte das nicht für möglich gehalten«, sagte Pierre Germain vom Imperial College London zu »Quanta Magazine«.

Doch im Jahr 2025 haben sie ihr ehrgeiziges Ziel erfüllt. Sie starteten mit dem mikroskopischen Modell kleiner, harter Kugeln und bewiesen, dass diese auch über lange Zeiträume mit vielen Stößen zum Boltzmann-Modell führen und auf noch größeren Skalen schließlich in die Navier-Stokes-Gleichungen münden. Dafür erstellten sie Diagramme der möglichen Stöße und werteten diese mit Methoden aus der Quantenfeldtheorie aus, einem völlig anderen Bereich der Physik.

Als Hilbert im Jahr 1900 seine berühmte Liste vorstellte, ging es ihm nicht nur um abstrakte Mathematik. Er wollte auch verstehen, warum die Gleichungen der Physik so zuverlässig funktionieren – und ob sie sich aus tieferen Prinzipien ableiten lassen. Mehr als ein Jahrhundert später hat Deng mit seinen Kollegen diese Verbindung für ein zentrales Beispiel hergestellt. Der Weg von der mikroskopischen Unordnung zur großflächigen Strömung ist damit ein gutes Stück verständlicher geworden.