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Hemmes mathematische Rätsel: 77777777777…

ZahlenLaden...

Der Brite W. Tom Williams war Lehrer und unterrichtete englische Literatur und schrieb auch etliche Schulbücher zu diesem Thema. Aber er hatte noch eine andere Leidenschaft: Denksportaufgaben. Unter dem Pseudonym Tantalus schrieb er in den 1930er und 1940er Jahren eine wöchentliche Rätselkolumne mit dem Titel »Literary Competitions« für die englische Zeitschrift »John o' London's Weekly«. Der wohl weltweit größte Rätselerfinder Henry Ernest Dudeney verfasste von 1910 bis zu seinem Tod 1930 in der englischen Zeitschrift »The Strand Magazine« die Denksportecke »Perplexities«. Williams trat Dudeneys Erbe an und führte gemeinsam mit dem englischen Mathematiker G. H. Savage die Kolumne fort. Williams und Savage fassten ihre Rätsel auch zu vier Büchern zusammen: »The Strand Problems Book« (um 1940), »The Penguin Problems Book« (1940), »The Second Penguin Problems Book« (1944) und »The Third Penguin Problems Book« (1946). Das heutige Rätsel stammt aus dem »Strand Problems Book«.

Eine Zahl, von der jede Ziffer eine 7 ist, wird durch 199 geteilt und führt zu einem ganzzahligen Quotienten. Wie lauten die letzten vier Ziffern dieses Quotienten?

Kürzt man den ganzzahligen Quotienten mit Q ab, kann man die Beziehung aus der Aufgabe auch ganz knapp als 199 · Q = 77777… darstellen.

Dies ist identisch mit 200 · Q − Q = 77777… Das Produkt 200 · Q endet auf 00. Bezeichnen wir die viert- und drittletzte Ziffer von 200 · Q mit r und s und die vier letzten Ziffern von Q mit a, b, c und d, lässt sich die Gleichung auch als …rs00 − …abcd = …77777 schreiben.

Daraus ergibt sich cd = 23. Die Ziffer s ist Einerziffer des Doppelten von d. Da aber d nur 3 beträgt, ist das 2 · d einstellig und somit s = 6. Aus entsprechenden Überlegungen folgt r = 4. Dadurch wird die Gleichung zu …4600 − …ab23 = …77777 und man erhält ab = 68. Der Quotient endet somit auf 6823.

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