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Hemmes mathematische Rätsel: Abstandsquadrat

Können Sie die Zahlen 1 bis 15 so auf die weißen Felder verteilen, dass der räumliche Abstand zur nächstgrößeren Zahl je größer ist als der Abstand zur nächstkleineren Zahl?
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Der 1963 in Denver geborene amerikanische Mathematiker Edward T. Pegg ist einer der produktivsten Autoren im Bereich der Unterhaltungsmathematik. Beispielsweise betreibt er seit fünfzehn Jahren die Internetseite MathPuzzle.com, auf der immer das Neueste aus dem mathematischen Denksport zu finden ist. Für die Mathematical Association of America schreibt er seit 2003 die Kolumne »Ed Pegg Jr.'s Math Games« und für das Magazin »Skyward« der Japan Airlines die Rätselecke »Brain Busters«. Pegg hat im Jahr 2000 eine Rätselidee des ebenfalls 1963 geborenen amerikanischen Mathematikers und Denksportaufgabenerfinders Eric Friedman aufgegriffen und vereinfacht.

Verteilen Sie die Zahlen von 1 bis 15 so auf die fünfzehn weißen Felder des Quadrats, dass für jede Zahl der räumliche Abstand zur nächstgrößeren Zahl größer ist als der räumliche Abstand zur nächstkleineren Zahl. Der Abstand der 2 von der 3 muss also größer sein als der Abstand der 2 von der 1, und der Abstand der 3 von der 4 muss größer sein als der Abstand der 3 von der 2 usw. Dabei wird ein Abstand immer von Feldmitte zu Feldmitte gemessen. Die Lösung ist eindeutig.

Die einzelnen Felder des Quadrats können nur 14 verschiedene Abstände voneinander haben. Diese lassen sich leicht mit dem Satz des Pythagoras berechnen und sind √1, √2, √4, √5, √8, √9, √10, √13, √16, √17, √18, √20, √25 und √32.

Da zwischen den Plätzen der 15 Zahlen auch genau 14 Abstände benachbarter Zahlen vorkommen, die mit der Größe der Zahlenpaare ansteigen müssen, liegt die Zuordnung der Abstände zu den Zahlenpaaren eindeutig fest.

Am einfachsten ist es, mit der 15 beginnend, die Zahlen absteigend in das Quadrat zu füllen. Die 15 und die 14 müssen auf sich diagonal gegenüberliegenden Feldern des Quadrates stehen. Dafür gibt es nur zwei Möglichkeiten. Die 13 muss nun auf einem Nachbarfeld der 15 und die 12 auf einem Nachbarfeld der 14 stehen. Nun bleibt für die 11 nur noch das zweite Nachbarfeld der 15 übrig. Auf diese Weise kann man leicht alle Möglichkeiten ausschließen, die in eine Sackgasse führen und schnell alle 15 Zahlen unterbringen.

Abstandsquadrat

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