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Achilleus und die Schildkröte

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In der wohl bekanntesten der Paradoxien Zenons (Nr. 2 bei Aristoteles) findet ein Wettrennen zwischen einem sehr schnellen und einem langsamen Läufer statt (man nennt sie aus alter Gewohnheit Achilleus und die Schildkröte). Fairerweise bekommt die Schildkröte eine Vorgabe, d. h. sie darf näher am Ziel starten.

Nun sagt Zenon: Während Achilleus diese Vorgabe durchläuft, kommt auch die Schildkröte ein Stück weiter, das für den weiteren Verlauf die neue Vorgabe ist. Wir denken uns nun dieses Argument unendlich oft nacheinander angewendet: immer hat die Schildkröte einen Vorsprung, auch wenn dieser immer kleiner wird. Also kann Achilleus sie nicht überholen und nicht einmal einholen.
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Wie kann man den Widerspruch zur Realität auflösen?

Mit der geometrischen Reihe sehen wir sofort ein, dass der ganze Gedankengang nur Zeiten erfasst, die früher als der Überholzeitpunkt liegen, denn auch die Zeitintervalle addieren sich zu einer geometrischen Reihe. In seinen Carmina Mathematica verweist der frühere Aachener Mathematikprofessor Hubert Cremer, der als Student gelegentlich Übungsaufgaben in Gedichtform abgegeben hat, bei diesem Thema auf ein Analysis-Lehrbuch: "Oh Zenon, Zenon, alter Wicht, kennst du den Kowalewski nicht?", und er empfiehlt am Schluss noch ein anderes: "Und die Moral von der Geschicht: Es geht halt ohne Mangoldt nicht!".

Kann man sich nun auch ohne Analysiskenntnisse vor dem Trugschluss hüten? Das Argument selbst ist ja nicht von der Hand zu weisen, dass bei jedem der gedachten Teilvorgänge ein neuer Vorsprung herauskommt. Der Fehler liegt genau darin, dass man das Ergebnis leichtsinnigerweise auf alle Zeiten ausdehnt: es gilt nur für die bei den gedachten Schritten vorkommenden Zeitpunkte, dass die Schildkröte "nie" eingeholt wird.

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Das wird noch klarer, wenn man sich das Weg-Zeit-Diagramm in ein Diagramm umzeichnet, bei dem die Orte gegen die Nummern der Denkschritte aufgetragen werden: Die Zeitachse wird dadurch so verzerrt (transformiert), dass der Überholpunkt ins Unendliche entwischt. Dass es dahinter auch noch Zeit gibt, gerät hier buchstäblich aus dem Blick. Man kann diese Überlegungen vielleicht auch bei Fragen nach Endlichkeit oder Unendlichkeit der Zeit in der Kosmologie bedenken.

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  • Quellen
Hubert Cremer: Carmina mathematica. J. A. Mayer, Aachen 1982

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