Hemmes mathematische Rätsel: Ali, Baba und die Kamele
Eines Tages kommt ein Ölscheich zu Ali und will dessen Kamelherde kaufen. »Welchen Preis bist du bereit zu zahlen?«, fragt Ali ihn. »Ich zahle dir für jedes Kamel so viele Dirham, wie du Kamele in der Herde hast.« Ali überlegt und kommt zu dem Schluss, dass das Angebot zu niedrig ist. Darum sagt er: »Mein Nachbar Baba hat genauso viele Kamele wie ich. Wärst du bereit, unter gleichen Zahlungsbedingungen beide Herden zu kaufen?« »Selbstverständlich«, erwidert der Ölscheich. Ali läuft zu Baba, unterbreitet ihm den Handel, und Baba ist damit einverstanden.
Beide treiben ihre Herden zusammen, und der Ölscheich zahlt für jedes Kamel so viele Dirham, wie Kamele in der Gesamtherde sind. Er bezahlt ausschließlich mit 10-Dirham-Scheinen und nur den Restbetrag, der geringer als 10 Dirham ist, mit Münzen. Anschließend teilt Ali das Geld: »Ich 10 Dirham, du 10 Dirham, ich 10 Dirham, du 10 Dirham, ...., ich 10 Dirham«. Zum Schluss gibt er Baba die Münzen. Dieser protestiert, da er mit dem Restgeld nicht einverstanden ist. Ali sagt: »Ich biete dir als Zahlungsausgleich mein Messer an.« Baba ist einverstanden. Welchen Wert hat das Messer?
Ali hat k Kamele. Folglich beträgt der Gesamtpreis der Doppelherde p = (2k)2 = 4k2 Dirham. Die Kamelzahl lässt sich als k = 10n + m schreiben, wobei m die letzte Stelle von k ist und n die Zahl, die von den vorderen Ziffern von k gebildet wird.
Daraus ergibt sich für den Preis: p = 4(10n + m)2 = 400n2 + 80nm + 4m2. Da beim Verteilen der 10-Dirham-Scheine Ali den ersten und auch den letzten bekommt und für Baba schließlich noch Kleingeld übrig bleibt, muss die Zehnerstelle von p ungerade und die Einerstelle größer als 0 sein.
Die Terme 400n2 und 80nm tragen nichts zur Einerstelle von p bei, folglich darf m nicht 0 oder 5 sein, denn sonst wäre die Endziffer von p eine 0.
Der Term 400n2 trägt auch nichts zur Zehnerstelle von p bei. Die Zehnerstelle von 80nm ist für alle Werte von n und m immer gerade. Also braucht man nur den Term 4m2 zu betrachten.
Für m = 2, 3, 7 und 9 ist die Einerziffer von 4m2 eine 6 und die Zehnerziffer ungerade und für m = 1, 4, 6 und 9 ist die Einerziffer von 4m2 eine 4 und die Zehnerziffer gerade. Darum kommt nur der erste Fall in Frage.
Das Kleingeld beträgt somit 6 Dirham. Ali gibt einen Messerwert ab und Baba bekommt ihn hinzu. Also muss das Messer 2 Dirham wert sein.
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