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Mathematische Knobelei: Am Ende einer ewigen Jagd

Diese Geschichte könnte überall spielen, denn das Verbrechen trägt auf der ganzen Welt die gleiche Fratze. Wie gut, dass manche Hüter des Gesetzes niemals aufgeben, jene Leute zu suchen, die uns alle nachts nicht ruhig schlafen lassen.
"Du hättest wissen müssen, dass ich dich eines Tages finden werde, Rick."

Meine Stimme durchschnitt hart die Stille des Raumes. Winzige Staubfäden schwebten in der Luft, reflektierten das Sonnenlicht, dem eine verschmutzte Fensterscheibe kaum Einlass gewährte. In dem altmodischen kargen Mobiliar, das nur aus einem Kleiderschrank mit abblätterndem Eichenfurnier, einem billigen Kiefernholztisch, einer Kommode mit fünf Schubladen und einem Schaukelstuhl, den selbst die Holzwürmer inzwischen verschmähten, bestand, fiel Rick selbst nicht weiter auf. Zusammengesunken saß er in dem Schaukelstuhl. Seine verbeulte Hose reichte ihm bis fast unter die Achseln und schluckte das knittrige Hemd, auf dessen Kragen noch Reste vom Frühstück klebten, beinahe gänzlich in ihrem stoffigen Bauch. Kaum zu glauben, dass dieses menschliche Häufchen Elend einmal der gerissenste Gauner des ganzen Kontinents gewesen war. Damals, in seinen besseren Zeiten.

"Du weißt, ich gebe niemals auf. Ich nicht!", gab ich ihm zu verstehen. Langsam wandte er mir sein Gesicht zu, die trüben Augen blickten mich kraftlos an. War das wirklich derselbe Mensch? Der strahlende Sunnyboy, der mich so viele Jahre an der Nase herumgeführt hatte? Jener Ganove, dem Mafia und Policedepartment gleichermaßen aufgesessen waren, weil sie geglaubt hatten, er würde nur für sie arbeiten? Als wenn Rick jemals einen anderen Herren als sich selbst akzeptiert hätte.

Ich zündete mir eine Zigarette an. Rick tat das gleiche. Der Rauch stieg in der stickigen Luft träge aus beiden Mündern zur Decke. "Zugegeben", gestand ich ein, "beinahe wärest du mir entkommen. Deine vielen Seitenwechsel, die Reisen ins Ausland und dann dein Unfall... Hätte dich fast das Leben gekostet, hat man mir erzählt. Die Ärzte hatten dich schon aufgeben wollen, bis schließlich so ein Hirnchirurg mit seiner neuen Operationstechnik dich wieder in diese Welt zurückgeholt hat." Ich erlaubte meiner Mimik keinerlei Anzeichen von Mitgefühl, während ich Rick an den tragischen Wendepunkt in seinem Leben erinnerte. Auch er blieb äußerlich völlig ruhig, verzog keine Mine.

"Von da an hast du Fehler gemacht", setzte ich fort. "Wolltest wohl deine ramponierten grauen Zellen wieder aufbauen. Du hättest dich dabei besser auf Kreuzworträtsel beschränken sollen. Das fällt weniger auf." Rick und ich wedelten gleichzeitig ein wenig mit einer Hand, um den Zigarettenrauch zu verteilen. Allmählich dämmerte es draußen. Im Herbst verschwindet die Sonne in diesem Stadtviertel früh hinter den Blocks von gegenüber.

"Jeder auf dem Revier wusste, dass du Mathematik studiert hast. Wir brauchten nur die Tagungen und Wettbewerbe zu überprüfen, um auf deine Spur zu kommen." Über meine Lippen ging ein zynisches Lächeln, dass ich mir nicht verkneifen konnte. Eigenartigerweise zog auch Rick seine Mundwinkel spöttisch nach oben. Hatte er vielleicht noch einen Trumpf, von dem ich nichts wusste, in der Hinterhand, schoss es mir durch den Kopf.

"Mir war sofort klar, dass du es warst, der bei den Distriktmeisterschaften den Sieg davongetragen hatte. Wie war doch gleich die Aufgabe? Man sollte eine Summe bilden. Eine Summe von Potenzen. Alle mit der gleichen Basis n, einer gewöhnlichen natürlichen Zahl, und den Exponenten von 0 bis 1500. Gefragt war dann nach der letzten Ziffer der Summe. Du hattest das Ergebnis in drei Minuten. Ich habe alleine drei Jahre gebraucht, um die Aufgabenstellung zu verstehen. Und ich bin bis heute nicht fertig damit, die Potenzen auszurechnen und zu addieren. Aber es dauert nicht mehr lange, Rick. Nur noch fünf Summanden, dann ist es soweit. Dann kann ich beweisen, wer du wirklich bist, Rick. Dann werde ich dich vor deinen Richter bringen, Rick."

Ich beugte mich vor, und auch Rick reckte den Oberkörper. Wir starrten uns gegenseitig in die Augen. Todfeinde, die sich in einem finalen Ringen gegenüberstehen.

"Sprechen Sie schon wieder mit ihrem Spiegelbild, Herr Knottertan?", fragte eine sanfte Frauenstimme schräg hinter mir. "Sie wissen doch, dass es Ihnen nicht antwortet. Und außerdem ist das Rauchen auf den Zimmern strengstens verboten. Das habe ich Ihnen nun schon so oft gesagt. Wenn Sie das nicht lassen können, müssen Sie in den Aufenthaltsraum gehen." Unnachgiebige Hände schoben mich in den Schaukelstuhl zurück und drehten ihn in Richtung Tisch. "Jetzt ist aber erstmal Zeit für das Abendessen", sagte die Frau. "Und danach dürfen Sie wieder mit Ihren Zahlen spielen." 'Mit Zahlen spielen' - oh, wenn diese Dame wüsste. Heute war Rick mir abermals knapp entwischt. Aber morgen werde ich ihn wieder stellen. Und schon bald habe ich das Rätsel gelöst und den Beweis, der ihn hinter Gitter bringen wird. Die Jagd ist noch nicht zu Ende.

Wissen Sie, welche Ziffer Rick zum Verhängnis werden soll?
Wir möchten doch hoffen, dass keiner unserer Leser beim Grübeln über unsere mathematische Knobelei dem Wahnsinn verfallen ist wie unser armer Protagonist Herr Knottertan alias "Rick". Für alle, die sich immer noch auf der ewigen Jagd befinden, wollen wir die Suche mit unserer Musterlösung mal lieber schnell beenden.
Gefragt ist nach der letzten Ziffer der Summe über alle Potenzen mit den Exponenten zwischen 0 und 1500 bei beliebiger Basis n, wobei n eine natürliche Zahl ist. Klar, dass wir keine Potenzen bis zum Exponenten 1500 berechnen wollen - schon gar nicht für alle natürlichen Zahlen, aber sicherlich lässt sich die Aufgabe auch ohne diese Fleißarbeit lösen.

Zunächst einmal betrachten wir die jeweils erste Potenz also n0. Offensichtlich ist diese für beliebiges n stets 1. Wenden wir uns nun den restlichen 1500 Potenzen zu. Dabei brauchen wir nicht alle natürlichen Zahlen betrachten, sondern nur die Zahlen 0 bis 9. Alle Zahlen größer als 9 lassen sich bezüglich der letzten Stelle wieder auf eine einstellige Zahl zurückführen, denn nur die jeweils letzte Stelle zweier Zahlen verändert die letzte Stelle ihres Produkts.

Betrachten wir nun nacheinander die Fälle n = 0 bis n = 9.

n = 0:

Dieser Fall ist trivial, denn alle Potenzen mit einem Exponenten größer als 0 sind 0, damit ist auch deren Summe 0 und die letzte Ziffer ebenfalls 0.

n = 1:

Auch dieser Fall ist einfach. Denn jede Potenz ist 1. Damit steht nur noch die Summer über 1500 mal 1. Macht 1500. Die letzte Ziffer ist also auch hier 0.

n = 2:

Hier müssen wir ein bisschen mehr überlegen. Schauen wir uns die ersten Potenzen von 2 an:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,…

Was fällt auf? Nun, offensichtlich wiederholen sich ab einer bestimmten Potenz die letzten Ziffern. Das ist auch logisch, da wie wir oben gesehen haben, die letzte Ziffer eines Produkts zweier Zahlen nur durch die letzten Ziffern der Faktoren bestimmt wird. Da die Auswahl an Ziffern endlich ist, müssen sich Ziffern zwangsläufig wiederholen. Schreiben wir nur die Folge der letzten Ziffern auf:

2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, ….

Wir haben eine Periodenlänge von 4. Das heißt, die Summe 2+4+8+6 = 20 taucht 1500/4 = 375 mal in der Summe aller Potenzen auf. Da 375·20 = 7500 gilt, ist die letzte Ziffer der Summe auf jeden Fall 0.

n = 3:

Schreiben wir wieder die ersten Potenzen auf:

3, 9, 27, 81, 243, 729,….

und die Folge der letzten Ziffern:

3, 9, 7, 1, 3, 9,…

Die Periodenlänge ist hier ebenfalls 4. Und auch die sich wiederholende Summe ist 3+9+7+1 = 20. Damit endet auch in diesem Fall die Summe über alle 3er-Potenzen von 3 bis 31500 auf eine 0.

n = 4:

Die Folge der Potenzen lautet:

4, 16, 64, 256, 1024,…

Die Folge der letzten Ziffern:

4, 6, 4, 6,….

Die Periodenlänge ist hier 2, die Summe der letzten Ziffern innerhalb einer Periode:

4+6 = 10

Macht also:

1500/2·10=7500

Was also wieder eine 0 auf der letzten Stelle liefert.

n = 5:

Die Folge der letzten Ziffern ist hier ganz einfach, sie besteht aus lautet Fünfen, den eine Zahl auf 5 liefert mit sich selbst multipliziert in jedem Fall eine 5 auf der letzten Stelle.

Damit gilt also:

1500·5 = 7500

Also einmal mehr eine 0 auf der letzten Stelle.

n = 6:

Die Folge der Potenzen ist ebenso einfach wie für 5, nur dass jetzt immer eine 6 an letzter Stelle steht. Damit erhalten wir also als Summenbeitrag der jeweils letzten Ziffern, der Potenzreihe:

1500·6 = 9000

Also abermals eine 0 auf der letzten Stelle.

n = 7:

Sie ahnen schon, was kommt, dennoch hier noch einmal die Folge der Potenzen mit 7 zur Basis:

7, 49, 343, 2401, 16807, …

Und die Folge der letzten Ziffern:

7, 9, 3, 1, 7,….

Die Länge der Periode ist hier wieder 4. Die Summe der letzten Ziffern einer Periode beträgt:

7+9+3+1 = 20

Also endet auch wieder die Summe der letzten Ziffern auf 0:

1500/4·20 = 7500

n = 8:

Auch für die 8 schreiben wir die Potenzfolge auf:

8, 64, 512, 4096, 32768,…

Und natürlich auch die Folge der letzten Ziffern:

8, 4, 2, 6, 8,….

Die Periode ist erneut 4 und auch die Summe der letzten Ziffern innerhalb einer Periode ist wieder 20. Damit landet wie oben abermals eine 0 auf der letzten Ziffer der Potenzsumme.

n = 9:

Gleich ist es geschafft. Nur noch die 9er-Potenzen aufschreiben:

9, 81, 729,…

Die Folge der letzten Ziffern…

9, 1, 9,…

… liefert eine 2er-Periode mit der Summe 10. Das lässt zu guter Letzt auch die Summe der 9er-Potenzen auf 0 enden.

Alles 0 also? Nein nicht ganz, wir haben ja noch das erste Glied der Reihe, das - wie wir ganz zu Anfang festgestellt haben - stets 1 ist. Also ist die Summe aller Potenzen der Exponenten 0 bis 1500 für jede natürliche Basis n gleich 1.

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