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Ankreise am rechtwinkligen Dreieck

Treitz-Rätsel

Welche Radien haben der Inkreis und die Ankreise in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b?

Die Berührpunkte haben von mehreren Ecken des Dreiecks aus interessante Abstände.

Radien der Ankreise am rechtwinkligen Dreieck

Aus diesem Bild kann man (mit einfacher Anwendung von Addition und Subtraktion) ablesen, dass der Inkreis den Radius \((a + b – c)/2\) hat, der Ankreis an der Hypotenuse \((a + b + c)/2\), der an der Kathete \(a\) den Radius \((c + a – b)/2\) und der an \(b\) den Radius \((c + b – a)/2\) (siehe auch das Rätsel zum Inkreis). Daraus folgt sofort, dass der Radius des Hypotenusen-Ankreises so lang ist wie die anderen drei (!) zusammen. Am folgenden Bild können Sie nachvollziehen, dass die vier Kreise je zwei von vier speziellen Loten auf die Hypotenuse bzw. ihre Verlängerung berühren:

Hätten Sie das dem gewöhnlichen rechtwinkligen Dreieck zugetraut?

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  • Quellen
Hiroshi Okumura, Math. Gaz. 74 (1990), 278

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