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Hemmes mathematische Rätsel: Anna, Bella und Christina

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Der Mathematiker James Alston Hope Hunter (1902–1986) aus Toronto in Kanada hat mehr als ein halbes Dutzend Bücher mit selbst erfundenen mathematischen Denksportaufgaben veröffentlicht. Alle Probleme sind in kleine Geschichten gekleidet und oft sogar in Versform gebracht worden. Seine Bücher waren sehr erfolgreich und wurden immer wieder neu aufgelegt. Die vier Bände »Challenging Mathematical Teasers«, »Entertaining Mathematical Teasers and How to Solve Them«, »Mathematical Brain-Teasers« und »Mathematical Diversions« sind sogar noch heute erhältlich. Aus seinem 1958 in Toronto erschienenem Buch »Figurets: More Fun with Figures« stammt ein Rätsel mit recht kryptischen Altersangaben.

Wenn Anna so alt ist, wie Bella wäre, wenn diese so alt ist wie Christinas heutiges Alter plus Annas Alter, wenn diese doppelt so alt ist, wie Bella wäre, wenn diese elf Jahre jünger ist, als Anna wäre, wenn diese sieben Jahre älter wäre, dann ist Anna zwölf Jahre älter als der Unterschied zwischen ihrem und Bellas Alter. Der Altersunterschied von Anna und Bella ist größer als zehn Jahre und zusammen sind sie so alt wie Christina. Wie alt ist Anna?

Anna ist a und Bella b Jahre alt. Da Christina so alt ist wie Anna und Bella zusammen, ist sie a + b Jahre alt. Nun rollen wir die ganzen Abhängigkeiten aus der Aufgabe Stück für Stück von hinten ab.

  1. Wenn Anna sieben Jahre älter wäre, wäre sie a + 7 Jahre alt.
  2. Wenn Bella elf Jahre jünger wäre, als Anna bei (1) ist, wäre sie a + 7 − 11 = a − 4 Jahre alt.
  3. Wenn Anna doppelt so alt wäre, wie Bella bei (2) ist, dann wäre sie 2(a − 4) Jahre alt.
  4. Wenn Bellas Alter die Summe wäre aus Christinas heutigem Alter und Annas Alter bei (3), wäre sie (a + b) + 2(a − 4) = 3a + b − 8 Jahre alt.
  5. Wenn Anna so alt wäre, wie Bella bei (4) ist, wäre sie 3a + b − 8 Jahre alt.

Wenn also Anna 3a + b − 8 Jahre alt wäre, wäre sie um zwölf Jahre älter als der Unterschied zwischen Annas und Bellas heutigem Alter. Da wir aber nicht wissen, wer von den beiden die Ältere ist, gibt es zwei Möglichkeiten: 3a + b − 8 = a − b + 12 und 3a + b − 8 = b − a + 12. Die erste Gleichung kann man zu a + b = 10 vereinfachen. Da aber der Altersunterschied von Anna und Bella mehr als zehn Jahre beträgt, ist dies unmöglich. Die zweite Gleichung lässt sich zu a = 5 umformen. Folglich ist Anna fünf Jahre alt.

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