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Apfelsaft

Treitz-Rätsel

Alex hat zum Schulfest einen großen Vorrat an Apfelsaft mitgebracht und angekündigt, dass der erste Gast 1 Liter bekommt, der zweite 1/2 Liter, der dritte 1/3 Liter und so weiter.

Wie groß muss der Vorrat sein, wenn die Zahl der Gäste nicht begrenzt ist?

Können Sie die Antwort auf grafischem Wege begründen?

Fassen Sie jeweils (grafisch als Flächen) Glieder der Summe zusammen, die eine gewisse Teilsumme überschreiten.

Die Menge muss unendlich sein, d. h. es gibt keine endliche Menge, die sich nicht irgendwann beim Ausschenken an einen neuen Gast als zu klein erweisen würde. Mathematisch handelt es sich um eine Summe aus unendlich vielen Summanden, die selbst nicht endlich ist, d. h. jede noch so große endliche Schranke überschreitet. Die Summe über die Kehrwerte der nichtnegativen ganzen Zahlen heißt harmonische Reihe (weil jeder Summand in ihr das harmonische Mittel seiner beiden Nachbarn ist).

Hier sind nur die Kehrwerte der Zahlen von 1 bis 127 zu sehen, für die von 128 bis 255 muss man eine Etage aufstocken, für 256 bis 511 wieder eine, und so für jede (fast genaue) Verdopplung eine weitere, aber es hört nie auf.

Die Etagen sind zwar nicht ganz ausgefüllt, aber es ist doch offensichtlich jede einzelne mehr als zur Hälfte gefüllt, nämlich an jedem linken Ende ist das schwarz umrahmte Kästchen genau ausgefüllt, am rechten noch etwas mehr als zur Hälfte, denn erst in der nächsthöheren Etage wird genau die Hälfte erreicht, aber dort haben wir auch halb so große "Behälter".

Wenn man ganz grob annimmt, dass sich der "Füllungsfaktor" der Etagen wenigstens weit oben nicht mehr wesentlich ändert, kommt man zu der (richtigen) Vermutung, dass die Summe der Kehrwerte (abgesehen von einem konstanten, nach Euler und Mascheroni benannten Summanden als Startwert) logarithmisch mit der Zahl der Glieder wächst, also immer schleichender, je weiter man kommt. Was damit gemeint ist, macht man sich klar, wenn man sich vorstellt, man habe gerade von 1 bis 1000 gezählt hat und werde dann aufgefordert, nun auch bis 10000 weiter zu zählen, oder um noch eine Null mehr, das kann doch nicht so viel sein? Anders gesagt: Wenn man unendlich lange zählt, nimmt die Zahl der Dezimalstellen immer weiter zu und findet kein Ende, aber es wird doch zunehmend zäher.

Schon der Bischof Nicolas d'Oresme (1323–1382) hat bewiesen, dass die harmonische Reihe keinen endlichen (Grenz-)Wert hat.

Vergleichen Sie auch die Aufgaben zum Orangensaft, zum Apfelkuchen und zum Pflaumenkuchen, die auf dem gleichen Schulfest stattfinden und sich ähnlich anhören, wenigstens auf den ersten Blick (?).

Außerdem gibt es noch eine andere Aufgabe, die von der harmonischen Reihe handelt, es mindert aber deren Reiz, wenn man es vorher ankündigt.

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