Hemmes mathematische Rätsel: Auf welchem Platz steht Bernd auf dem Foto?
Simone Falk-Hiller wurde 1966 in Bremen geboren. Sie ist Betriebswirtin und Programmiererin, arbeitet als Lehrbeauftragte an der Lüneburger Leuphana Universität und bietet an Volkshochschulen Programmierkurse an. Die heutige Kopfnuss schickte sie mir im Dezember 2024.
Der Verein der Zahlenfreunde und -freundinnen (VZF) hat viele tausend Mitglieder in ganz Deutschland. Eines Tages treffen sich in Reppenstedt 21 Mitglieder des VZF, deren Mitgliedsnummern 21 direkt aufeinander folgende Zahlen sind. Wie der Zufall es will, ist jede dieser 21 Zahlen durch mindestens eine der sechs kleinsten Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 und 13 teilbar. Bei ihrem Treffen stellen sich die 21 Mitglieder für ein Gruppenfoto so in einer Reihe auf, dass ihre Mitgliedsnummern von links nach rechts aufsteigen. Simone hat eine durch elf teilbare Mitgliedsnummer und steht in der Reihe auf dem zehnten Platz von links. Auf welchem Platz steht Bernd, dessen Mitgliedsnummer durch 13 teilbar ist?
Die 21 aufeinander folgenden Zahlen sind n1, n2 … und n21. Da n10 laut Aufgabe von 11 geteilt wird, muss auch n21 von 11 geteilt werden. Deshalb lassen wir n21 in den weiteren Betrachtungen fort. Von den 20 verbleibenden Zahlen sind zehn gerade und werden somit von 2 geteilt. Von den zehn ungeraden Zahlen wird jeweils höchstens eine von 11 und eine von 13 geteilt. Von den 20 Zahlen werden höchstens drei von 7 geteilt, davon sind aber höchstens zwei ungerade. Außerdem werden von den 20 Zahlen höchstens vier von 5 geteilt, von denen aber nur höchstens zwei ungerade sind. Von den 20 Zahlen werden höchstens sieben von 3 geteilt, darunter sind aber nur höchstens vier ungerade Zahlen. Da es zehn ungerade Zahlen gibt und die Summe der Maximalwerte 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10 beträgt, müssen sie auch alle erreicht werden. Folglich hat jede der zehn ungeraden Zahlen genau einen Teiler. Da n10 von 11 geteilt wird und darum weder von 2 noch von 3 geteilt werden darf, muss n1 von 2 und n2 von 3 geteilt werden. Der Rest ist nun einfach. Die ungeraden Zahlen haben somit folgende Teiler:
n2: 3
n4: 7
n6: 5
n8: 3
n10: 11
n12: 13
n14: 3
n16: 5
n18: 7
n20: 11
Da die 13 nur n12 teilt, steht Bernd in der Reihe auf dem zwölften Platz. Die kleinsten Zahlen, die die Bedingungen erfüllen, sind übrigens die 21 Zahlen von 9440 bis 9460.
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