Hemmes mathematische Rätsel: Auf wie viele Weisen kann die natürliche Zahl n dargestellt werden?
Die Zahl 3 kann auf vier verschiedene Weisen als Summe von natürlichen Zahlen dargestellt werden: 3, 1 + 2, 2 + 1 und 1 + 1 + 1. Dabei ist die 3 selbst mitgezählt worden, und unterschiedliche Reihenfolgen der Summanden zählen als verschiedene Weisen. Auf wie viele Weisen kann so die natürliche Zahl n dargestellt werden?
Schreibt man n Einsen nebeneinander, gibt es n – 1 Lücken zwischen den Ziffern. Jede dieser Lücken kann man entweder mit einer Tilde oder mit einem Pluszeichen füllen. Dafür gibt es 2n – 1 Möglichkeiten. Addiert man für jede dieser Möglichkeiten nun die Einsen, die durch eine Tilde miteinander verbunden sind, lässt die Pluszeichen aber stehen, erhält man alle 2n – 1 Weisen, die Zahl n als Summe natürlicher Zahlen zu schreiben. Für n = 3 sieht dies so aus:
1 ~ 1 ~ 1 ⇒ 3
1 ~ 1 + 1 ⇒ 2 + 1
1 + 1 ~ 1 ⇒ 1 + 2
1 + 1 + 1 ⇒ 1 + 1 + 1
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