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Hemmes mathematische Rätsel: Batterien

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Seit etwa vierzig Jahre werden in Brasilien Mathematikolympiaden ausgetragen, auf denen die besten Mathematiker und Mathematikerinnen unter den Schülern aller Altersstufen gegeneinander antreten. Das heutige Rätsel war eine der Herausforderungen der 27. Olympiade, die 2005 stattfand.

Sie haben vier leere und vier volle Batterien vor sich auf dem Tisch liegen. Alle acht Batterien sehen völlig gleich aus, und sie können nicht erkennen, welche leer und welche voll sind. Für Ihre Taschenlampe brauchen Sie zwei Batterien. Sie leuchtet nur dann, wenn beide Batterien voll sind. Die einzige Möglichkeit, die Lampe funktionsfähig zu machen, ist, systematisch so oft die beiden Batterien auszutauschen, bis sie zwei volle enthält. Sie wollen natürlich möglichst schnell zum Ziel gelangen. Darum wählen Sie eine Strategie, die Ihnen garantiert, dass Sie nur höchstens n-mal zwei Batterien in die Lampe setzen müssen, um sicher sein zu können, dass sie anschließend leuchtet. Nach welcher Strategie sollten Sie vorgehen und wie groß ist das kleinstmögliche n?

Es reicht aus, höchstens siebenmal zwei Batterien in die Taschenlampe zu setzen, damit sie anschließend mit Sicherheit leuchtet.

Dazu teilt man die acht Batterien in drei Gruppen ein, von denen die beiden ersten drei Batterien und die dritte zwei Batterien enthält. Da es vier volle Batterien, aber nur drei Gruppen gibt, muss wenigstens eine Gruppe mindestens zwei volle Batterien enthalten.

Die drei Batterien A, B und C der ersten Gruppe kann man zu den drei Paaren AB, AC und BC kombinieren und mit drei Versuchen in der Taschenlampe prüfen, ob sie voll sind. Hat man kein Glück, kann man mit drei weiteren Versuchen die Batterien C, D und E der zweiten Gruppen testen.

Ist man noch immer erfolglos, müssen die beiden Batterien G und H der letzten Gruppe auf jeden Fall voll sein und die Lampe zum Leuchten bringen. Durch eine systematische Untersuchung aller denkbaren Testverfahren zeigt sich, dass man das Problem nicht mit weniger als sieben Batteriewechsel lösen kann.

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