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Hemmes mathematische Rätsel: Bedrohen sich Turm und Springer?

Schachfiguren

Ein weißer Turm und ein schwarzer Springer werden auf zwei zufällig gewählte Felder eines gewöhnlichen 64-feldigen Schachbretts gestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Figuren die andere bedroht? Selbstverständlich gelten für die beiden Figuren die üblichen Schachregeln.

Ein Turm bedroht in der Zeile und in der Spalte, in denen er steht, immer je sieben Felder. Da er 64 Felder zur Auswahl hat, gibt es insgesamt 64 ∙ 2 ∙ 7 = 896 Möglichkeiten, wo ein Turm und ein von ihm bedrohter Springer stehen können. Ein Springer hingegen bedroht nicht immer gleich viele Felder. In dem Bild ist in jedem Feld notiert, wie viele Felder er von dort aus bedroht. Zählt man sie zusammen, erhält man 336 Möglichkeiten, wo ein Springer und ein von ihm bedrohter Turm stehen können. Da es keine Stellung der beiden Figuren gibt, bei der sie sich gegenseitig bedrohen können, kann man die Zahlen der Möglichkeiten einfach addieren, um die Zahl der Stellungen zu erhalten, in der eine der beiden Figuren die andere bedroht: 896 + 336 = 1232.

Es gibt insgesamt 64 Möglichkeiten, den Turm auf das Brett zu stellen. Nun bleiben noch 63 Felder frei, um den Springer unterzubringen. Insgesamt gibt es also 64 ∙ 63 = 4032 Möglichkeiten, beide Figuren auf das Schachbrett zu stellen. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Figur die andere bedroht, 1232/4032 = 11/36 ≈ 30,6 %.

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