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Beltrami

Treitz-Rätsel

Welcher (auch sonst nicht unbekannte) Punkt ist der Schwerpunkt aus den Mittelpunkten des Inkreises und der 3 Ankreise eines (beliebigen) Dreiecks? Dabei sei vorausgesetzt, dass in jedem der vier Punkte eine gleich schwere Masse sitzt.

Zeigen Sie vorher, wo der Schwerpunkt der drei Ecken eines Dreiecks und seines Höhenschnittpunktes (als 4 gleiche Punktmassen anzunehmen) ist. Nehmen Sie dazu als bekannt an, wie sich die Abstände auf der Euler-Geraden zueinander verhalten.

Auf der Euler-Geraden verhalten sich die Strecken HF:FG wie 3:1, wobei G der Schwerpunkt der 3 Ecken (oder auch der Fläche) ist, H der Höhenschnittpunkt und F der Mittelpunkt des Neunpunktekreises. Der Schwerpunkt aller vier Punkte (H und Ecken) ist also F.

Die Bezeichnungen im Bild beziehen sich auf das (große) Dreieck A'B'C' aus den Ankreismittelpunkten zum Dreieck ABC. Das Dreieck A'B'C' hat den Inkreismittelpunkt von ABC als seinen Höhenschnittpunkt H. Sein Neunpunktekreis ist nichts anderes als der Umkreis von ABC.

Das Bild zeigt das ursprüngliche Dreieck ABC gefärbt, darin orange seinen Inkreis. Die Ankreise sind hellgrün, das Dreieck aus den Ankreismittelpunkten ist (z. T.) hellgelb getönt, sein Schwerpunkt ist G, sein Höhenschnittpunkt H (der Inkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks) und sein Neunpunktekreis-Mittelpunkt der gesuchte Schwerpunkt, also der Umkreismittelpunkt F des Ausgangsdreiecks.

Der Schwerpunkt der In- und Ankreismittelpunkte eines Dreiecks ist also der Umkreismittelpunkt F desselben Dreiecks (Satz von Beltrami).

Das Interessanteste dieser Aufgabe sind also die Identitäten bzw. Zuordnungen gewisser besonderer Punkte, Linien und Kreise der beiden Dreiecke:

ABC (klein)A'B'C' (groß)
AnkreismittenEcken
EckenHöhenfußpunkte
WinkelhalbierendeHöhen
InkreismitteHöhenschnittpunkt
UmkreisNeunpunktekreis

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