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Hemmes mathematische Rätsel: Bierglaskreise

Ist die mittig eingeschlossene Fläche kleiner oder größer als die eines Viertelkreises?
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Zwischen 1959 und 1964 warb die Firma Litton Industries in den Zeitschriften »Aviation Week« und »Electronic News« für ihre Produkte mit Anzeigen, die jedes Mal eine mathematische Denksportaufgabe enthielten. Diese Aufgaben waren ein so großer Erfolg, dass Litton Industries sie in gesammelter Form als eine Reihe kleiner Hefte mit dem Titel »Problematical Recreations« herausgab. Später erschienen die besten dieser Problemstellungen noch einmal in drei Büchern, von denen zwei auch heute noch erhältlich sind. Am 3. August 1964 erschien in »Electronic News« folgende Aufgabe:

Joe Tankard stellt sein überschäumendes Bierglas dreimal nacheinander ab, und jedes Mal bleibt ein feuchter Ring auf der Theke zurück. Dabei liegt zufällig der Mittelpunkt jedes Kreises auf einem der Schnittpunkte der Umfänge der beiden anderen Kreise. Der Wirt sagt zu Joe: »Ich wette, dass die Fläche, die allen drei Kreisen gemeinsam ist, kleiner ist als die eines Viertelkreis.« Joe hingegen glaubt, dass sie größer ist als die eines Viertelkreises. Wer hat Recht, oder irren sich beide?

Die Zeichnung aus der Aufgabe kann nach dem gleichen Schema mit beliebig vielen Kreisen erweitert werden. Die Zeichnung zeigt einen Ausschnitt des unendlich großen Musters.

Bierglaskreise

Jede Kreisfläche besteht jetzt aus zwölf linsenförmigen Zweiecken B und aus sechs konkaven Bogendreiecken A. Ein Viertelkreis hat daher die Fläche (12B + 6A)/4 = 3B + 32A. Die rote Fläche, die von allen drei Bierglaskreisen umschlossen wird, setzt sich aus drei Zweiecken B und einem Dreieck A zusammen und hat deshalb den Inhalt 3B + A. Folglich ist sie um eine halbe Bogendreiecksfläche kleiner als der Viertelkreis.

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